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1、 弧弧 度度 制制 一、复习回顾一、复习回顾 如果一条射线没有作如果一条射线没有作任何旋转任何旋转，则称它形，则称它形成了一个成了一个零角零角.按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角;按按顺时针顺时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角1、任意角、任意角 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；是第几象限的角；2、象限角、象限角 S=|=k360，k Z 所有与角所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内所构在内所构成的集合为：成的集合为：3、终边相同的角、终边相同的角 度量长度可以用米、英尺、
2、码等不同的单度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位位制制，度量，度量质量质量可以用千克、磅等不同的单位可以用千克、磅等不同的单位制制.不同的单位制能给解决问题带来方便不同的单位制能给解决问题带来方便.角的角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？这种用角作单位来度量角这种用角作单位来度量角的制度叫做的制度叫做角度制角度制。1 我们知道，角可以用度为单位进行度量，我们知道，角可以用度为单位进行度量，1的角等于周角的的角等于周角的 .下面介绍在数学和其他学科研究中经常采下面介
3、绍在数学和其他学科研究中经常采用的另一种度量角的单位制用的另一种度量角的单位制弧度制弧度制.如图，射线如图，射线OA绕端点绕端点O旋转到旋转到OB形成角形成角.在旋转过程中，射线在旋转过程中，射线OA上的上的一点一点P(不同于点不同于点O)的轨迹的轨迹 是一条是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角圆弧，这条圆弧对应于圆心角.设设=n，OP=r，点，点P所形成的圆弧所形成的圆弧PP1的长为的长为l，由初中所学知识可知：，由初中所学知识可知：探究！探究！如图，在射线如图，在射线OA上的一点上的一点Q(不同于点不同于点O)，OQ=r1.在旋转过程中，点在旋转过程中，点Q所形成的圆弧所形成的圆弧QQ1的长为
4、的长为l1，l1与与r1的比值是多少？你能得出什么结的比值是多少？你能得出什么结论论?二、弧度的概念二、弧度的概念 这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的关系度量圆心角.可以发现，圆心角可以发现，圆心角所对的弧长所对的弧长与半径的比值，只与与半径的比值，只与的大小有关的大小有关.也就是说，这个比值随也就是说，这个比值随的确定而的确定而唯一确定唯一确定.我们规定：我们规定：长度等于半径长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做的圆弧所对的圆心角叫做1弧度弧度的角，弧度单位用符号的角，弧度单位用符号rad表示，表示，读作弧度读作弧度.1radOABr
5、r 我们把半径为我们把半径为1的圆叫的圆叫单位圆单位圆，在单位圆，在单位圆O中，弧中，弧AB长等于长等于1，AOB就是就是1弧度的角弧度的角.其中，其中，的正负由角的正负由角的终边的旋转方向决的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于大于2或小于或小于-2的角的角.这样就可以得到弧度为任这样就可以得到弧度为任意大小的角意大小的角.根据上述规定，在半径为根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角 rad，
6、那么，那么 一般地，一般地，正角正角的弧度数是一个的弧度数是一个正数正数，负角负角的的弧度数是一个弧度数是一个负数负数，零角零角的弧度数是的弧度数是0.探究！探究！角度制、弧度制都是角的度量制，它们之角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？间应该可以换算，如何换算呢？用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同但量数相同(都是都是0)；用角度制和弧度制度量任意；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同量数也不同非零角，单位不同量数也不同.因为因为周角的弧度周角的弧度数是数是2，而在角度制下的度数是，而在角度制下的度数是360，所
7、以，所以 3602rad，180rad.一般地，只需根据一般地，只需根据 180rad就可以进行弧就可以进行弧度与角度的换算了度与角度的换算了.三、度与弧度的换算三、度与弧度的换算 例例4（1）把）把6730化成弧度。化成弧度。（2）把）把 弧度化成度。弧度化成度。53解：解：解：解：弧弧AB的长的长OB旋转旋转方向方向逆时逆时针针逆时逆时针针逆时逆时针针AOB的的弧度数弧度数思考？思考？半径为半径为r的圆的圆心与原的圆的圆心与原点重合，角的始边与点重合，角的始边与 x 轴的非负轴的非负半轴重合半轴重合,交圆于点交圆于点A,终边与圆终边与圆交于点交于点B,下表中下表中AOB的弧度的弧度数分别是
8、多少？数分别是多少？-2xoyABr顺时顺时针针2r2r12r-r顺时顺时针针 根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时，今后用弧度制表示角时，“弧度弧度”二字或二字或“rad”通常通常略去不写略去不写，而只写该角所对应的弧度，而只写该角所对应的弧度数数.如如=2表示表示是是2rad的角的角.060 90180 27000度度30045012001350 15003600弧弧度度 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集实数集R之间建立起一一对应关系
9、之间建立起一一对应关系,每一个角都有每一个角都有唯一的一个实数唯一的一个实数(等于这个角的弧度数等于这个角的弧度数)与它对应；与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即即弧度弧度数等于这个实数的角数等于这个实数的角)与它对应与它对应.角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数对应角的对应角的弧度数弧度数实数集实数集R证明：证明：由公式由公式 立即可得：立即可得：由于半径为由于半径为R，圆心角为，圆心角为n。的扇形的弧长的扇形的弧长公式公式 和面积公式分别是：和面积公式分别是：证明：证明：由公式由公式 立即可得：立即可得：由于
10、半径为由于半径为R，圆心角为，圆心角为n。的的扇形的弧长公式扇形的弧长公式 和面积公式分别是：和面积公式分别是：将将n。转换为弧度，得转换为弧度，得于是于是将将l=R代入上式，即得代入上式，即得四、归纳小结四、归纳小结1、把长度等于、把长度等于半径长的圆弧半径长的圆弧所对的圆心角叫所对的圆心角叫 做做1弧度的角弧度的角，记作，记作1rad，读作，读作1弧度弧度.用用弧弧 度度为单位来度量角的单位制叫做为单位来度量角的单位制叫做弧度制弧度制.2、度与弧度的换算关系，由、度与弧度的换算关系，由1800 rad进行进行 转化，以后我们一般用弧度为单位度量角转化，以后我们一般用弧度为单位度量角.3、利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积、利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积 公式得以简化，这体现了弧度制优点公式得以简化，这体现了弧度制优点.谢谢！谢谢！!