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1、数列大题优练2优选例题例1已知数列的前n项和为，且（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）在；，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答已知数列满足_，求的前n项和注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分【答案】（1）证明见解析，；（2）答案见解析【解析】（1）当时，因为，所以，两式相减得，所以当时，因为，所以，又，故，于是，所以是以4为首项，2为公比的等比数列所以，两边除以，得又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即（2）若选：，即，因为，所以两式相减得，所以若选：，即，所以若选：，即，所以例2已知数列是各项均为正数的等比数列，且，数列满足（1）求数列，的通
2、项公式；（2）若数列的前项和为，求证：【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）设数列的公比为，由，得，又，得，解的或（舍去），又，即，得当时，得，即，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故（2）由（1），记，则，由，可知当为奇数时，；当为偶数时，综上所述，例3如图，在平面直角坐标系中，已知个圆、与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆（1）求数列的通项公式；（2）记个圆的面积之和为，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且直线过点，在直线上，如下图所示：设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，则，其中，可得，则，为等比数列且首项为，
3、公比为，（2）模拟优练1已知等差数列的公差为，前项和为，且（1）求公差的值；（2）若，是数列的前项和，求使不等式成立的的最小值【答案】（1）；（2）5【解析】（1）由，即，化简得，解得（2）由，得，所以，所以，由，解得，所以n的最小值为52已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，即，当时，验证知，当时，也成立综上，（2）据（1）求解知，又，数列的前项和，-，得，3已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25（1）求的值及通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），()；（2）【解析】（1）由题可得，所以当为偶数时，解
4、得；当为奇数时，此时无整数解，综上可得：，时，当时，当时也成立综上可得：，所以，()（2），两式相减得，则，则4已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）数列的首项，其前项和为，且 ，若数列满足，的前项和为，求的最小值在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题；【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】（1）设数列的公比为，则由前3项和为13，且，成等差数列，得，所以，所以，即，解得或，又因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，所以（2）选择因为，所以，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，因此，因为恒成
5、立，即，所以选择由知是以为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，因为，即，所以选择由知是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，当n为奇数时，由于，故；当n为偶数时，由于，故，由在n为偶数时单调递增，所以当时，综上所述：的最小值为5已知递增的等比数列满足：，（1）求的前n项和；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，由递增的等比数列或（舍），所以（2）由（1）知，所以，所以数列的前项和，数列的前项和6已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），（2），当为偶数时，；当为奇
6、数时，所以7已知为等差数列，数列的前和为，_在，这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】条件选择见解析；（1），；（2）【解析】选解：（1）设等差数列的公差为，由，得，当时，即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）知，选解：（1）设等差数列的公差为，令，得，即，（2）解法同选的第（2）问解法相同8已知正项等比数列，满足，是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，因为是与的等差中项，所以，解得或（舍去），因为数列为正项数列，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以（2）由（1）得，所以，因为，所以，所以，当为偶数时，；当为奇数时，所以