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1、格林公式及其应用现在学习的是第1页，共23页区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的近域的近处内部靠左内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、格林公式格林公式机动目录上页下页返回结束现在学习的是第2页，共23页证明明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且则定理1 目录上页下页返回结束现在学习的是第3页，共23页即同理可证、两式相加得:定理1 目录上页下页返回结束现在学习的是第4页，共23页2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分
2、割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1 目录上页下页返回结束现在学习的是第5页，共23页推推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积定理1 目录上页下页返回结束现在学习的是第6页，共23页例例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得机动目录上页下页返回结束现在学习的是第7页，共23页例例2.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束现在学习的是第8页，共23页例例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令设 L 所围区域为
3、D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束现在学习的是第9页，共23页在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束现在学习的是第10页，共23页二、平面上曲二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动目录上页下页返回结束现在学习的是第11页，共23页说明明:积分与路径
4、无关时,曲线积分可记为 证明明(1)(2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)定理2 目录上页下页返回结束现在学习的是第12页，共23页证明明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数 定理2 目录上页下页返回结束现在学习的是第13页，共23页证明明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得则P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 目录上页下页返回结束现在学习的是第14页，共23页证明明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式格林公式,得所围区域为证毕定理2 目录上页下
5、页返回结束现在学习的是第15页，共23页说明明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2 目录上页下页返回结束现在学习的是第16页，共23页例例4.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则机动目录上页下页返回结束现在学习的是第17页，共23页例例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2 可知,存在函
6、数 u(x,y)使。机动目录上页下页返回结束现在学习的是第18页，共23页例例6.验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理定理 2 可知存在原函数机动目录上页下页返回结束现在学习的是第19页，共23页或机动目录上页下页返回结束现在学习的是第20页，共23页例例7.设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束现在学习的是第21页，共23页思考思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束现在学习的是第22页，共23页内容小内容小结1.格林公式2.等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有机动目录上页下页返回结束现在学习的是第23页，共23页