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1、二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件定义定义设设为区域，为区域，在在内具有一阶连续偏导数，内具有一阶连续偏导数，如果对如果对内任意指定内任意指定的两点的两点以及以及内由点内由点到点到点的任意的任意两条曲线两条曲线和和，都有都有成立，成立，则称则称 曲线积分曲线积分在在内与路径无关。内与路径无关。第第1页页/共共33页页命题命题设设为区域，为区域，则曲线积分则曲线积分在在内与路径无关的充分必要条件是：内与路径无关的充分必要条件是：对于对于内的任意一条闭曲线内的任意一条闭曲线,都有都有,定理定理 2 设区域设区域是一个单连通区域，是一个单连通区域，函数函数在在内具有
2、一阶连续偏导数，内具有一阶连续偏导数，则曲线积分则曲线积分在在充分必要条件是：充分必要条件是：内与路径无关的内与路径无关的在在内内.第第2页页/共共33页页证证1、充分性、充分性在在内任取一条闭曲线内任取一条闭曲线(不妨设其方向为逆时针方向不妨设其方向为逆时针方向)所围的闭区域所围的闭区域全部含在全部含在内，内，在在上，上，具有一阶连续偏导数，且有具有一阶连续偏导数，且有因而，因而，由格林公式，得由格林公式，得第第3页页/共共33页页即即曲线积分曲线积分在在内与路径无关内与路径无关(命题）命题）2、必要性、必要性（反证法）（反证法）假设至少有一点假设至少有一点使得使得不妨设不妨设第第4页页/共
3、共33页页在在内连续内连续又又在点在点连续连续存在邻域存在邻域,使得使得 在在上，有上，有第第5页页/共共33页页在在内，内，作一个以作一个以则在则在有有记记的边界曲线为的边界曲线为则由格林公式，得则由格林公式，得为心的闭圆盘为心的闭圆盘,上上(方向取为方向取为的边界曲线正向），的边界曲线正向），第第6页页/共共33页页即即曲线积分曲线积分在在内与路径无关内与路径无关由命题，得由命题，得矛盾！矛盾！，在，在内处处成立内处处成立证毕。证毕。第第7页页/共共33页页三、三、二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 问题：问题：给了两个二元函数给了两个二元函数在什么条件下，存在一个二元函数在什么条件
4、下，存在一个二元函数使得使得？定理定理3 设设是单连通域，是单连通域，在在内具有一阶连续偏导数，则内具有一阶连续偏导数，则在在内为某一函数内为某一函数的全微分的充分必要条件是：的全微分的充分必要条件是：,在在内处处成立内处处成立第第8页页/共共33页页证证1、必要性、必要性，在在内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数，存在函数存在函数，使得使得第第9页页/共共33页页、内连续内连续在在=、内连续内连续在在，即即=，即即第第10页页/共共33页页2、充分性、充分性=在在内处处成立内处处成立由定理由定理2 得：得：曲线积分曲线积分在在内内与路径无关与路径无关在在内任取两点内任取两点和和，可记由点可记
5、由点到点到点的曲线积分为的曲线积分为现在取定起点现在取定起点，则则=，第第11页页/共共33页页下证：下证：=第第12页页/共共33页页=第第13页页/共共33页页=（积分中值定理）（积分中值定理）第第14页页/共共33页页按定义，得按定义，得同理可证：同理可证：、在点在点连续连续在点在点连续连续从而有：从而有：在点在点可微，可微，=且且即即证毕。证毕。第第15页页/共共33页页说明：说明：设设是单连通的区域，是单连通的区域，内有内有若在若在则由定理则由定理3，得：，得：存在函数存在函数使得使得，在在内内.怎样求？怎样求？第第16页页/共共33页页由定理由定理3的证明，知：的证明，知：=即即=
6、第第17页页/共共33页页同理，同理，=即即=第第18页页/共共33页页设设是单连通的区域，是单连通的区域，内有内有若在若在则由定理则由定理3，得：，得：存在函数存在函数使得使得，在在内内.小结：小结：=或或=这里点这里点为为内取定一点。内取定一点。第第19页页/共共33页页例例5 验证：在全平面内，验证：在全平面内，是某个函数是某个函数的全微分，并求出一个的全微分，并求出一个这样的函数这样的函数.解解令令，,在全平面内在全平面内.在全平面内，存在函数在全平面内，存在函数，使得，使得第第20页页/共共33页页在全平面内取定一点在全平面内取定一点则则=第第21页页/共共33页页求函数求函数的另一
7、方法：的另一方法：例例5 另解另解（1）（2）由由(1)得得+为待定函数为待定函数+由由(2)得得+=这里这里第第22页页/共共33页页即即=+第第23页页/共共33页页例例6 验证：在右半平面验证：在右半平面是某个函数是某个函数的全微分，并求出一个的全微分，并求出一个这样的函数这样的函数.解解令令，,内，内，在右半平面内在右半平面内存在函数存在函数，使得，使得第第24页页/共共33页页在右半平面内取定一点在右半平面内取定一点则则=第第25页页/共共33页页四四.全微分方程全微分方程 定义定义 若若则一阶方程则一阶方程称为全微分方程。称为全微分方程。解法：解法：从而从而这就是原方程的通解。这就是原方程的通解。第第26页页/共共33页页例例7 解方程解方程解解,，在全平面成立，在全平面成立.取取,则则这是全微分方程。这是全微分方程。第第27页页/共共33页页所求通解为所求通解为:第第28页页/共共33页页例例7 另解另解（1）（2）由由(1)得得第第29页页/共共33页页原方程的通解为：原方程的通解为：+由由(2)得得第第30页页/共共33页页作作 业业P214,4(1)(3),6(1)(3)(5)，9第第31页页/共共33页页作作 业业P214,8(双双)第第32页页/共共33页页感谢您的观看。感谢您的观看。第第33页页/共共33页页