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1、上页下页铃结束返回首页定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQ)3 . 8(.)(ddDLdxdyyPxQyQxP( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,1. 格林公式.D的正向边界为区域其中L证证 先证)4 . 8(.dDLdxdyyPxP根据区域D 的不同，我们分三种情况进行证明：上页下页铃结束返回首页bxaxyyxyyxD),()(),(21（1）ABBAOxy)(1xyy )(2xyy ab根据曲线积分的性质及计算法，有LxPdBAPdxBBPdxBAPdxAAPdxbadxxyxP)(,(10abdxxyxP)(,(
2、20badxxyxPxyxP.)(,()(,(12另一方面，根据二重积分的计算法，有dxdyyPD baxyxydxdyyyxP)()(21),(dxxyxPxyxPba)(,()(,(12比较上面两式，即得所要的公式（8.4）上页下页铃结束返回首页yxoL(2) 若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个. 则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPk1ddyxyPDddnkDkxP1d.dLxP为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕上页下页铃结束返回首页(3) D 是多连通区域这时仍然可以通过作辅助线的方法将D 分作若干小区域.如图所示
3、.对于每个小区域使用上述公式(8.4),然后相加，即得出对于整个区域D 上公式 (8.4) 成立.1D2D3D4Dxyo上页下页铃结束返回首页),()(),( 21dycyxyyxD设类似地可证 .dxdy DxQQdyL将前面已证明的关于 及 的公式相加，即得到格林公式.LQdyLPdy上页下页铃结束返回首页LxdyydxI,2例例1 求求其中L为正方形ABCD 的边界，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1).A(1,0 )B(0,1 )D(-1,0 )C(0,-1 )xyo解解 利用格林公式，dxdyyPxQID)(Ddxdy) 12(. 2)2(2时，看出，当从例11
4、yPxQ.DL的面积所围成区域曲线LQdyPdx.21DLydxxdy的面积上页下页铃结束返回首页12222byax例例2 求椭圆求椭圆 的面积的面积D.解解 椭圆的边界方程为.20,sin,costtbytaxD 的面积Lydxxdy2120)sin(sincoscos21dttatbtbta.2120ababdt 上页下页铃结束返回首页.L,)()(22为光滑的闭曲线其中Lyxdyyxdxyx例例3 求曲线积分求曲线积分解解,)(),(P22yxyxyx这里,),(Q22yxyxyx),(Pyx在原点处无定义，),(Qyx为利用格林公式，故需分两种情况讨论.(1) 当L所围成的区域D内不包
5、含原点时,P(x,y),Q(x,y)在D 内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出,)(2Q22222yxxxyyyPx于是也即. 0QyPx上页下页铃结束返回首页. 00)()(22DLdxdyyxdyyxdxyx (2) 当L所围的区域D 包含原点作为其内点时，由于P(x,y) ,Q(x,y) 在D内一点（即原点）处无定义，也就不满足 格林公式成立的条件，故不能在区域D 上用格林公式.为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的 r(0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D 内.在挖掉小圆域C 之后的多连通区域 上，可利用格林公式.设C的边界曲线为 ，则有1D. 0
6、0)()(1)(22DLdxdyyxdyyxdxyx上页下页铃结束返回首页按这时的正向边界曲线表示多连通区域这里L.D)(1L因而按顺时针方向逆时针方向，而.)(22)()(LyxdyyxdxyxLyxdyyxdxyx22)()(,)()(22yxdyyxdxyxLyxdyyxdxyx22)()(.)()(22yxdyyxdxyx此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L 的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周 的积分.上页下页铃结束返回首页有令,20 ,sin,costtrytrxLyxdyyxdxyx22)()(dttttrtttrr)(cossin(cos)sin)(sin
7、(cos122022dt201.2 例例 4 设函数设函数u(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上有连续的二阶上有连续的二阶偏导数，偏导数，L 为为D 的边界且逐段光滑的边界且逐段光滑.证明：证明：.LDuddsnu其中其中 表示函数表示函数u(x,y)沿沿L的外法线方向的方向导数，的外法线方向的方向导数，u.2222yuxunu上页下页铃结束返回首页及000 tn应满足0coscos0bakji,)coscos(kba 证证 设 为 的单位切向量，其方向余弦为0tLcos,cos .而 为L 的外法线方向的单位向量.设 与0n),(0ban 0t0n,00ktn其中 为z轴正方向的单位向量.
8、由于k00tn00tn故条件即表为及ktn00, 1coscos, 0coscosbaba上页下页铃结束返回首页即由此解出,cos,cosba).cos,(cos0n 说明 的方向余弦为 .于是由方向导数的定义 ，有 0ncos,cosLdsnuLdsyuxu)coscos(LdxyudyxuDdxdyyuyxux)()(.Dudxdy上页下页铃结束返回首页 例例 5 设区域设区域D的边界为闭曲线的边界为闭曲线L. 某稳定流体某稳定流体(即流体即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关的流速与时间无关，只与点的位置有关)在在 上每上每一点一点(x,y)处的速度为处的速度为LDD),(),(),(
9、yxQyxPyxv其中其中P(x,y),Q(x,y) 在在 上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数.该流体通过该流体通过闭曲线闭曲线L的流量的流量 定义为定义为D,Ldsnv其中其中 为为L的外法线方向的单位向量的外法线方向的单位向量.试证明试证明n.)(dyQxPdsnvDL上页下页铃结束返回首页 证证 设 的切向量的方向余弦为 由例4知 L.cos,cos).cos,(cosnLdsnvLdsQP)coscos(LQdxPdy=由格林公式.)(dxQyPD（格林公式的另一种形式）称函数称函数 为平面向量场为平面向量场 ),(),(yxQyxPv 的散度散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的
10、流量，等稳定流体通过某一闭曲线的流量，等于其散度在该于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值闭曲线所的区域上的二重积分之值.提示 格林公式 设区域设区域D的边界曲线为的边界曲线为L 则则DLdxdyxdyydx2 或在格林公式中在格林公式中 令令Py Q x 则有则有 LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 用格林公式计算区域的面积.LDQPPdxQdydxdyxyO2. 平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件 设设G是一个开区域是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域在区域G内具有一阶内具有一阶连续偏导数连续偏导数 21LLQdyPdxQ
11、dyPdx与路径无关与路径无关 否则说否则说与路径有关与路径有关 如果对于如果对于G内任意指定的两个点内任意指定的两个点A、B以及以及G内从点内从点A到到点点B的任意两条曲线的任意两条曲线L1、L2 等式等式恒成立 就说曲线积分LQdyPdx在 G 内 这是因为这是因为 设设L1和和L2是是D内任意两条从内任意两条从点点A到点到点B的曲线的曲线 则则L1 (L2 )是是D内一条任意内一条任意的闭曲线的闭曲线 而且而且有有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 在D意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭
12、曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关内与路径无关 沿沿 D内任内任ABPdxQdyQdyPdx=0=0C 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) )(闭曲线的曲线积分为零闭曲线的曲线积分为零则曲线积分则曲线积分LQdyPdx在D内与路径无关内与路径无关 或沿或沿 D 内任意内任意( )数数设设函数函数P x y 及Q(x y)在在单连通域单连通域D内具有一阶连续偏导内具有一阶连续偏导在在D内处处成立内处处成立PQyx证证充分性已知上述等式在D内处处成立.在D内任CQdyPdx.)(1dxdyyPxQD. 001dxdyD取一简单闭曲线C，记C所围之区域为 .由于D是单连
13、通区域，因而 被包含在D内，于是在区域 上用格林公式得1D1D1D，DC1D积分与路径无关上页下页铃结束返回首页 必要性 我们假定上述积分与路径无关，要证明等式 在D内处处成立.xQyP用反证法.设在D内一点 处0M上述等式不成立，不妨设. 0| )(0ayPxQM由假设可知函数 在D内连续.因而在D内存在以 为圆心以充分小的正数r为半径的小圆域 ，使在整 上，有 设 的边界线为 ，在 上用格林公式，有yPxQ0D0M0D.2ayPxQ0D0C0D0CQdyPdxdxdyyPxQD)(0. 022ra上页下页铃结束返回首页 但 是D 内的简单闭曲线，由证明假设及前面命题，应 有 于是发生矛盾.
14、证毕, . 0C. 00CQdyPdx应用定理2应注意的问题 (1)区域区域D是单连通区域是单连通区域 (2)(2)函数函数P(x y)及及Q(x y)在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保那么定理的结论不能保证成立证成立 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关讨论 设设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线线 L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向 问问 是否一定成立？是否一定成立？ 022Lyxydxxdy提示在例在例4中已看到中已看到,当
15、当L所围成的区域含有原点时所围成的区域含有原点时,上面的上面的闭路积分不等于闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及及,QPxy连续性条件的点连续性条件的点O.上页下页铃结束返回首页 例 6 求曲线积分AOdyyyxdxyx,)sin()(322.),20( )2(AO沿逆时针方向是上半圆周其中xxxy解解.sin),(,),(322yyxyxQyxyxP这里,1xQyP因为又它们在全平面上连续，所以积分与路径无关.取下列直线段 为积分路径：AO. 0),20(, 0:dyxyAOAOdyyyxdxyx,)sin()(322AOdyyyxdxyx)s
16、in()(322.38022dxxoxyA上页下页铃结束返回首页ABdyyyxdxyx)sin()(322 当曲线积分 与路径无关时，它只是起点A 与点的函数，可记作BAQdxPdx. 下面我们给出第二型曲线积分与路径无关的另一个充分条件.定理定理3 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有一内具有一阶连续偏导数阶连续偏导数 则等式则等式xQyP在在D内恒成立内恒成立的充分必要条件是的充分必要条件是 恰是恰是某个函数某个函数u(x,y)的的全微分全微分，即有，即有P(x y)dx Q(x y)dydu(x,y)=P(x y)dx Q(x y)dy上页下页铃结束返回首
17、页证证 充分性 已知存在函数u(x,y), 使 du=Pdx Qdy.于是于是,Pxu.Qyu由此可得,2yxuyP.2xyuxQ.P,uQ22xQyxyuyxxyP得个混合偏导数相等，即的连续性，从而这两的连续性意味着，由于必要性 已知等式 在D内处处成立，由定理xQyP2，曲线积分ABQdyPdx与路径无关.上页下页铃结束返回首页 现在我们固定起点 而 点B(x,y)可在D 移动，则上述曲线积分就是 点(x,y)的函数，用u(x,y)表示这个函数，即令,),(00DyxA),(),(00,),(yxyxQdyPdxyxu 现在，我们来证明有上式所确定的函数u(x,y)满足关系 式：),(y
18、xPxu).,(yxQyu 在D内任意取定点B(x,y),再任取 且使 也在D内.由于积分与路径无关，因此,),(DyxxBBB BABBABox),(00yxA),(yxB),(yxxBy上页下页铃结束返回首页),(),(yxuyxxuBAQdyPdxABQdyPdxBBQdyPdx),(),(yxxyxBBQdyPdxQdyPdx),( , 0 xxxy:BB xxxdxyxP),(,),(xyP=积分中理值定理积分中理值定理 其中 介于 x与 之间.xxxyxuyxxux),(),(lim0),(lim0yPx), 0(xx当).,(yxP),(yxPxu即).,(yxQyu同理 另一方
19、面，P(x,y),Q(x,y) 的连续性意味着 的连续性，从而推出函数u(x,y)在D 可微且yuxu,上页下页铃结束返回首页dyyudxxudu.),(),(dyyxQdxyxP 推论推论 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有一阶内具有一阶连续偏导数连续偏导数 对任意两点对任意两点 曲线积分曲线积分与与路径无关的充要条件是：路径无关的充要条件是：P(x y)dxQ(x y)dy恰是某一函恰是某一函数数u(x y)的全微分，此外，当的全微分，此外，当PdxQdy是是u(x y)的全微分的全微分时，有时，有,A BDABPdxQdy( )( ).BABAPdxQd
20、yduu Bu A(8.7) 其中其中u(A) 表示函数表示函数u(x,y)在在A点处的函数值，点处的函数值，u(B) 的含意的含意 类似类似.证证 现证公式(8.7). 过A，B两点在D 内任意作一曲线 ,设 的参数方程为ABAB上页下页铃结束返回首页,),(),(ttytx这时我们有点点及分别对应于，其中.BABAdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)()(),()()(),(dtdtdyyudtdxxudtdtttdu)(),(|)(),(ttu)(),()(),(uu).()(AuBu上页下页铃结束返回首页 如果函数如果函数u(x y)满足满足du(x y)=P(x y
21、)dx Q(x y)dy 则则函函数数u(x y)称为称为P(x y)dx Q(x y)dy的的原函数原函数. 例例7 求曲线积分ABxxdyydx,2A(2,1)B(1,2)xyo解解,12yPxxQ又P(x,y),Q(x,y) 在任一包含点A，B且不与y轴相交的单连通区域D内有连续的一阶偏导数，所以曲线积分在D内与路径无关.),(2xydxxdyydx是即)(xy的一个原函数，2xxdyydx于是上页下页铃结束返回首页ABxxdyydx2)2, 1()1 , 2()(xyd)1 , 2()2, 1(| )(| )(xyxy.23求求 的原函的原函PdxQdy求原函数的方法求原函数的方法()
22、(),P x yQ x yD,QPxy若若在单连通域在单连通域中有连续的偏导数中有连续的偏导数,且满足且满足原函数的方法如下原函数的方法如下:xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0 ABC方法一;,:00 xxyyAB终点起点横标，.,:0yyxBC终点常数，起点纵标),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu ),(),(00yxyx_AB_BCdxyxPxx0),(0dyyxQyy0),(ABC;,:00yyxxAB终点起点纵标，.,:0 xxyBC终点常数，起点横标 方法二方法二(1) 先固定先固定 , 将将 看作是看作是 的函数的函数y(),
23、P x yx为了求为了求 的原函数的原函数 ,()(),P x y dxQ x y dy(),u x y显然显然()1,uP x yxuPx()10,uux令令()()( )1,u x yux yy,uQy( )()1,uyQ x yy对对 积分可求出积分可求出y( ).y()1,u x y对对 积分积分x(),P x y( )()1,uyQ x yy 方法三方法三: 凑全微分法凑全微分法上页下页铃结束返回首页 分无关；)0, 3()1, 2(.QdyPdx对平面上任意两点A，B，证明 与积 例 8.56),(,4),(42234yyxyxQxyxyxP设_ABQdyPdx (2) 求 的原函
24、数u(x,y);QdyPdx(3) 求曲线积分解解 (1) 由于P(x,y),Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数,且 所以曲线积分与路径无关.,122yPxyxQ上页下页铃结束返回首页 (2) 方法一方法一 用曲线积分法.选坐标原点为曲线积分的起 点，对平面上任意一点B(x,y),取积分路径为折线OCB，其 中C(x,0).oC(x,0)B(x,y)xyQdydxPyxuBo),(_OCQdyPdx_CBQdyPdxdxxx04dyyyxy0422)56(.2515325yyxx 方法二方法二 固定y,关于 对x求不定积分，得其一原函数344yxx .251),(3251yxxyxu上页下
25、页铃结束返回首页这样， 的原函数 u(x,y) 可表成QdyPdx),(251),(325yyxxyxu)(y其中 是一待定函数.再由,56),()(642222yyxyxQyyxyu得 求原函数得 其中C为任意常数.代入上述u的表示式得 ,5)(4yy ,)(5Cyy.251),(5325Cyyxxyxu方法三方法三dyyyxdxxyx)56()4(42234dyydyyxdxxydxx422345)64(使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！上页下页铃结束返回首页)()2()51(5325ydyxdxd),251(5325yyxxd所以.251),(5325yyxxyxu)0, 3()1, 2()3(QdyPdx)0, 3()1, 2(| ),(yxu.64| )251()0, 3()1, 2(5325yyxx