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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -171 勾股定理教学设计（第 1 课时）一、内容和内容解析 1内容 勾股定理的探究、证明及简洁应用2内容解析 勾 股 定 理 的 内 容 是 ： 如 果 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长 分 别 为 a 、 b , 斜 边 长 为 c, 那 么它揭示了直角三角形三边之间的数量关系在直角三角形中,已知任意两边长,就可以 求出第三边长勾股定理常用来求解线段长度或距离问题勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形动身,到网格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,表达了从特殊到一般的探探究、发觉和证明的过程
2、证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的 正方形的面积, 教学中要留意引导同学通过探究去发觉图形的性质,提出一般的猜想, 并获得定理的证明我国古代在数学方面又很多杰出的争论成果,对于勾股定理的争论就是一个突出的例子教学中可 以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的奉献,以培育同学的民族骄傲感；环绕 证明勾股定理的过程,培育同学学习数学的热忱和信心基于以上分析,确定本节课的教学重点：探究并证明勾股定理二、目标和目标解析 1教学目标（ 1）经受勾股定理的探究过程明白关于勾股定理的文化历史背景,通过对我国古代争论勾股定 理的成就的介绍,培育同学的民族骄傲感（ 2）能用勾股定懂
3、得决一些简洁问题2目标解析（ 1）同学通过观看直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系,归纳并合理地用数学语言 表示勾股定理的结论懂得赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路,能通过割补法构造图形证明勾股定 理明白勾股定理相关的史料,知道我国古代在争论勾股定理上的杰出成就（2）同学能运用勾股定理进行简洁的运算,关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度三、教学问题诊断分析 勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论在正方形网格中比较简洁发觉以等腰直角三 角形三边为边长的正方形的面积关系,进而得出三边之间的关系但要从等腰直角三角形过渡到网格中的 一般直角三角形,提出合理的猜想,同学有较
4、大困难同学第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在 较大的困难,解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积因此,在教学中 需要先引导同学观看网格背景下的正方形的面积关系,然后摸索没有网格背景下的正方形的面积关系,再 将这种关系表示成边长之间的关系,这有利于同学自然合理地发觉和证明勾 股定理本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明四、教学过程设计1 创设情境复习引入 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“ 奥运会” 2002 年在北京召开了第24 届国际数学家大会右图就细心整理归纳 精选
5、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -是大会会徽的图案你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特殊的意 义？前面我们学习了有关三角形的学问,我们知道,三角形有三个角和三条边问题 1 三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？师生活动 老师引导,同学回答；由三角形三边的不【设计意图】 回忆三角形的内角和是 180 以及三角形任何两边的和大于第三边,等关系引导同学摸索,三角形三边之间是否存在等量关系我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三
6、角形,它有很多特殊的性质争论 特例是数学争论的一个方向,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,中国古代人把直角三角形中较 短的直角边叫做“ 勾” ,较长的直角边叫做“ 股” ,斜边叫做“ 弦” 直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系,我们要争论的问题2观看摸索,探究定理有没有更详细的数量关系呢？这就是问题 2 相传 2500 多年前,毕达哥拉斯有一次在伴侣家作客,发觉伴侣家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系三个正方形 A ,B, C 的面积有什么关系？毕达哥拉斯 公元前 572- 前 492 年 , 古希腊闻名的哲学家、数学家、天文学家；师生活动 同学观看图
7、形,分析、摸索其中隐含的规律通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形 A , B 中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论：小正方形 A,B 的面积之和等于大正方形 C 的面积追问 由这三个正方形 A ,B, C 的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？师生活动 老师引导同学直接由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【设计意图】 从最特殊的直角三角形入手,通过观看正方形面积关系得到三边关系,对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化问题 3 在网格中的一般的直角三角形,以它的三边为边长的三个正方形 A , B,C
8、 的面积是否也有类似的关系？师生活动 同学动手运算,分别求出 A, B,C 的面积并寻求它们之间的关系追问 正方形 A, B,C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？师生活动 同学独立摸索后分组争论,难点是求以斜边为边长的正方形面积,可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积,老师在同学回答的基础上归纳方法- 割补法可求得 C 的面积为 13,老师引导同学直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【设计意图】 为便利运算,网格中的直角三角形边长通常设定为整数,进一步体会面积割补法,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,供应方法细心
9、整理归纳 精选学习资料 问题 4 通过前面的探究活动,摸索：直角三角形三边之间应当有什么关系？ 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -师生活动老师引导同学表述：假如直角三角形两直角边长分别为,斜边长为,那么【设计意图】 在网格背景下通过观看和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后,猜想直角三角形的三边关系是很简洁的问题 5 以上直角三角形的边长都是详细的数值,一般情形下, 假如直角三角形的两直角边分别为a, b,
10、斜边长为 c,我们的猜想仍旧成立吗？师 生 活 动 要求同学通过独立摸索,用 a , b 表示 c如图,用“ 割” 的方法可得；用“ 补” 的方法可得这两个式子经过整理都可以得到 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方中国人称它为“ 勾股定理” ,外国人称它为“ 毕达哥拉斯定理” 【设计意图】 从网格验证到脱离网格,通过割补构造图形和运算推导出一般结论问题 6 历史上各国对勾股定理都有争论,下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究,并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理师生活动老师展现“ 弦图” ,并介绍：这个图案是公元3 世纪三国时期的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“
11、 赵爽弦图” ,赵爽依据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形（黄实）我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形,老师介绍勾股定理相关史料,勾股定理的证明方法据说有 400 多种,有爱好的同学可以搜集争论一下【设计意图】 通过拼图活动,调动同学思维的积极性,为同学供应从事数学活动的机会,进展同学的形象思维,使同学对定理的懂得更加深刻,体会数学中数形结合的思想通过对赵爽弦图的介绍,明白我国古代数学家对勾股定理的发觉及证明所做出的奉献,增强民族骄傲感,通过明白勾股定理的证明方法,增强同学学习数学的自信心3初步应用,巩固新知例 1 画一个直角三角形,它的
12、两直角边分别是,量一量它的斜边 是多少厘米？算一算,你量的结果对吗？师生活动 同学操作,老师个别指导【设计意图】 通过运算,培育同学的运算才能并正确运用勾股定懂得决直角三角形的边长问题通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性例 2 在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度师生活动 同学运算,老师检验【设计意图】 勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的所以勾股定理本质上是反映面积关 第 3 页,共 4 页 系的假如直角三角形的两条直角边长分别为,斜边长为,那么通过对等式变细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
13、 - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -形,可以得出直角三角形三边之间的关系：；在直角三角形中,已知两边,求第三边,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题,渗透方程思想例 3 蚂蚁沿图中的折线从 A 点爬到 D 点,一共爬了多少厘米？师生活动 同学观看、摸索、运算,老师检验【设计意图】 设计实际问题背景,提高同学分析问题和解决问题的才能4归纳小结,反思提高 师生共同回忆本节课所学主要内容,并请同学回答以下问题：（ 1）勾股定理总结的是什么数量关系？（ 2）勾股定理有什么作用？（ 3）阅读教科书,总结教科书供应的勾股定理的其他证明方法明
14、白中国人的宏大和外国人的智 慧【设计意图】 让同学从不同角度谈本节课学习的主要内容,在学习过程中感受到中国数学文化博大 精深和数学的美,感悟数形结合的思想,增强对数学学习的自信五、目标检测设计1直角三角形的周长为12,斜边长为5,其面积为（） A 12 B 10 C 8 D 6【设计意图】 勾股定理的简洁运算,结合三角形的周长和面积学问进行求解2等边三角形的高是h,就它的面积是（） D ABC【设计意图】 勾股定理的应用和三角形的面积公式六布置作业 教科书第 28 页第 1 题；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -