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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：. 与 x 轴相交 ; .x 轴正向 ; . 直线向上方向 . 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为 0 . 0 倾斜角 的范畴 0 0 180 . 0 0 90 , k 0；90 180 , k 0（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值, 而倾斜角为0 90 的直线斜率不存在；（x 1经过两点P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2（x 1x2）的直线的斜率公式是ky2y 1x2x 1x2）每条直线都有倾斜角,但并
2、不是每条直线都有斜率；2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l l ,其斜率分别为k k ,就有l1/ /l2k1k ；特殊地,当直线l l 的斜率都不存在时,l1 与l2的关系为平行；（2）两条直线垂直假如两条直线l l 斜率存在,设为k k ,就l1l2k k21注：两条直线l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1 ,这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1 ,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为 -1 ；假如l l 中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0 时, 1 与l2相互垂直；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,
3、共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称 方程的形式 已知条件 局限性点斜式 y y 1 k x x 1 x 1y 1 为直线上肯定点,不包括垂直于 x 轴的直线k 为斜率斜截式 y kx b k 为斜率, b 是直线在 y 不包括垂直于 x 轴轴上的截距 的直线两点式 y y 1 x x 1 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 是 直 线 上 不包括垂直于 x 轴y 2 y 1 x 2 x 1两定点 和 y 轴的直线 其中 x 1 x 2 , y 1 y 2 截距式 x y1 a 是直线在 x 轴上的非零
4、不包括垂直于 x 轴a b截距, b 是直线在 y 轴上 和 y 轴或过原点的的非零截距 直线一般式 Ax By C 0 A , B , C 为系数 无限制,可表示任何位置的直线 其中 A , B 不同时为 0）注：过两点 P 1 x 1 , y 1 , P 2 x 2 , y 2 的直线是否肯定可用两点式方程表示？（不一定；（1）如 x 1 x 2 且 y 1 y 2,直线垂直于 x 轴,方程为 x 1x；（2）如 x 1 x 2 且 y 1 y 2,直线垂直于 y 轴,方程为 y 1y；（3）（ 3）如 x 1 x 2 且 y 1 y 2,直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式名师
5、归纳总结 如 两 点P 1x 1,y 1,P 2x2,y2, 且 线 段P 1, P 2的 中 点 M 的 坐 标 为x,y, 就第 2 页,共 7 页xx 12x 2x 0y 0的直线系方程为yy 0kxx0；yy 12y 2 3. 过定点的直线系斜率为 k 且过定点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 过两条直线l1:A 1xB 1y学习必备l2:欢迎下载2yC20的交点的直线系方程C 10, A 2xB为A 1xB 1yC1A 2xB 2yC20（为参数）,其中直线 l2 不在直线系中 . 三、直线的交点坐标与距离公式 1. 两条直线的交点设两条直线
6、的方程是l1:A 1xB 1yC10, l2:A 2xB2yC20两条直线的交点坐标就是方程组A 1xB 1yC10 0的解,A 2xB 2yC2如方程组有唯独解,就这两条直线相交,此解就是交点的坐标；如方程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行；反之,亦成立；2. 几种距离（1）两点间的距离平面上的两点P 1x 1,y 1,P 2x2,y2间的距离公式P 1P 2x22x 12y2y 120 ,OPxy2特殊地,原点O0与任一点Px,y 的距离（2）点到直线的距离点Px0y 0到直线l:AxByC0的距离dAx 0By 02C2 AB（3）两条平行线间的距离两条平行线l1:AxByC
7、10, l2:AxByC 20间的距离dC2C 122 AB（留意： 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时,必需将两直线方程化为系数相同的一般形式 后,才能套用公式运算； ）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）已知斜率 k 的范畴,求倾斜角的范畴时,如 k 为正数,就的范围为 0,2的子集,且 k=tan为增函数；如 k 为负数,就的范畴为 2,的子集,且 k=tan为增函数；如 k 的范畴有正有负,就可所范畴按大于等于
8、0 或小于 0 分为两部分,针对每一部分再依据斜率的增减性求倾斜角范畴； 2 、利用斜率证明三点共线的方法：已知A x 1,y 1,B x2,y 2,C x 3,y 3,如x 1x 2x3 或kABkAC,就有 A、B、C三点共线；注：斜率变化分成两段,0 90 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需争论；3. 两条直线位置关系的判定：名师归纳总结 已知l1:AxByC 10, l2:AxByC20,就：第 4 页,共 7 页（1）l1l2A 1A 2B 1B20（2）l1/l2A 1 B2-A 2B 10,A 1 C2A 2C 1;0（3）l1 与l2 重合A 1B 2-A 2B 10 ,A
9、1 C2A 2C 10;（4）1l 与2l 相交A 1B2A 2B 10假如A B C20时,就：1l1l2A 1A 21B 1B 22l1/ l2A 1B 1C1A 2,B 2,C2不为 0）；A 2B 2C231l与2l重合A 1B 1C 1A 2,B2,C2不为 0）A 2B 2C241l与2l相交A 1B 1A 2,B 2不为 0）A 2B2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称x 如 点Mx 1y 1及Nx2y2关 于Pa,b对 称 , 就 由 中 点 坐 标 公 式 得2ax 1
10、y2 by 1直线关于点的对称, 其主要方法是： 在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程, 或者求出一个对称点,再利用l1/ l2,由点斜式得到所求直线方程；（2）轴对称 点关于直线的对称如两点P 1x 1,y 1与P 2x2,y2关于直线l:AxByC0对称,就线段P 1P 2的中点在对称轴 l 上,而且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组A x 12x 2B y 12y2C0x2y2y 1A1y2x 2x 1B可得到点1P 关于 l 对称的点P 的坐标x2y 2（其中A0 ,x 1x 2）直线关于直线的对称此类问题一般
11、转化为点关于直线的对称来解决,与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行；有两种情形： 一是已知直线注：曲线、直线关于始终线 y x b 对称的解法： y 换 x , x 换 y . 例：曲线 f x , y 0 关于直线 y x 2 对称曲线方程是 f y 2 , x 2 0曲线 C : f x , y 0 关于点 a , b 的对称曲线方程是 f 2 a x , 2 b y 05. 两条直线的交角名师归纳总结 直线1l 到l 的角（方向角）；直线1l 到l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针第 5 页,共 7 页方 向 旋 转 到 与2l重 合 时 所 转 动 的 角, 它 的 范 围 是,0
12、, 当90 时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tank2k1. 学习必备欢迎下载1k1k2两条相交直线 1l与 l 的夹角：两条相交直线 1l与 2l的夹角,是指由 1l与 l 相交所成的四个角中最小的正角,又称为 1l 和 2l 所成的角,它的取值范畴是 0 ,2当 90 ,就有 tan k 2 k 1 . 1 k 1 k 26. 直线 l 上一动点 P 到两个定点 A、B的距离“ 最值问题”：1 在直线 l 上求一点 P,使 PA PB 取得最小值, 如点 A、B 位于直线 l 的同侧时,作点 A（或点 B ）关于 l 的对称点 A 或 /B ,
13、 / 连接 A / B 或 AB / 交 l 于 P,就点 P 即为所求点 . 如点 A、B 位于直线的异侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,就 P 为所求点；可简记为“ 同侧对称异侧连”. 即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可 . （2）在直线 l 上求一点 P 使 PA PB 取得最大值,方法与（ 1）恰好相反,即“ 异侧对称同侧连” 如点A、B位于直线 l 的同侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,就 P 为所求点；如点A、B位于直线的异侧时, 作点 A（或点 B ）关于 l 的对称点/ A 或/ B , 连接/ AB或 AB/ 交l于P
14、,就点P 即为所求点.3 PA2PB2的最值：函数思想“ 转换成一元二次函数,找对称轴”；7. 直线过定点问题：名师归纳总结 令含有一个未知参数,x11 0（1）第 6 页,共 7 页ya1 x2a1ya x2 x20x2,将x2 代入1 式,得y3,从而该直线过定点,23 3含有两个未知参数x2ymn xm2nyn0m 3xy n - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令3xyy01x3学习必备欢迎下载17x2y7从而该直线必过定点1,3778. 点到几种特殊直线的距离（1）点P x 0,y 0到 x 轴的距离d|y 0|；d|y0a ；（2）点P x
15、0,y 0到 y 轴的距离d|x 0|. （3）点P x 0,y 0到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离（4）点P x 0,y 0到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离d|x0a . 9. 与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线AxByC0 的直线可表示为AxByb/C/b0C/Cb的全部直线为y（2）平行于直线ykxkxb/10. 易错辨析：（1） 争论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,肯定要分类争论： 斜率不存在时,是否满意题意； 斜率存在时,斜率会有怎样关系；（2）留意“ 截距” 可正可负,不能“ 错认为” 截距就是距离,会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见；）（3） 直线到两定点距离相等,有两种情形：名师归纳总结 直线与两定点所在直线平行；0）第 7 页,共 7 页直线过两定点的中点；（求解过某肯定点的直线方程时,较为常见；（4）过点A x0y 0,平行于 x 轴的直线方程为yy过点A x 0y0,平行于 y 轴的直线方程为xx0- - - - - - -