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1、第九章重积分本讲稿第一页，共六十页2 2 二重积分的计算二重积分的计算统一定义：上函数f(x)的黎曼积分本讲稿第二页，共六十页xozyD二重积分定义：二重积分定义：D本讲稿第三页，共六十页二重积分的几何意义二重积分的几何意义本讲稿第四页，共六十页1.x型区域型区域 与与 y 型区域型区域x型区域：穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个。D表示为：axb1(x)y2(x)xoyDy=2(x)y=1(x)axb一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算本讲稿第五页，共六十页D：c y d 1(x)x 2(x)y型区域型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)y本讲
2、稿第六页，共六十页yxzo2.计算公式的推导计算公式的推导(形式推导形式推导)(1)设f(x,y)0,D为x型区域从几何意义考虑，求曲顶柱体体积用平面x=x0截曲顶柱体，得一截面x0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)本讲稿第七页，共六十页此截面面积为A(xo)，则将之投影到yz平面上，曲边梯形由y=1(xo),y=2(xo),z=0,z=f(xo,y)围成，故本讲稿第八页，共六十页故体积为记为本讲稿第九页，共六十页所以，二重积分的计算公式为(f(x,y)任意符号)(1)(2)同理，对y型区域D：c y d,1(y)x 2(y)(2)本讲稿第十页，共六十页(3)当D既是x
3、型区域：axb,1(x)y 2(x)(3)又是 y型区域：cyd,1(y)x 2(y)有xoyy=2(x)y=1(x)axbydcx=2(y)x=1(y)本讲稿第十一页，共六十页(4)当D是任意区域时，用直线将D先分割为x型区域和y型区域，D1,D2,Dn，再利用积分在区域上的可加性xoyD1D2D3xoyD1D2D3D4本讲稿第十二页，共六十页3.例题：例题：例例1.计算，其中D是由直线y=1,x=2及 y=x 所围成的区域.解法解法1:由图55，D可表示为x型区域：于是，由公式(2)，得本讲稿第十三页，共六十页x0y1D21y=x图 55本讲稿第十四页，共六十页解法解法2:由图55，区域D
4、可表示为y型区域：于是，由公式(3)，得本讲稿第十五页，共六十页例例2.计算解解:本讲稿第十六页，共六十页例例3.计算,其中D是由抛物线y2=x与直线y=x 2所围成的区域。解解:联立方程组解此方程组得D的两条边界线的交点为A(1,1),B(4,2).0 xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x2由图56可知，应将D视为y型区域，选择先对x 后对y的积分顺序.图 56本讲稿第十七页，共六十页由公式(3)，得本讲稿第十八页，共六十页此题若选择先对y后对x的积分顺序，则必须对D进行划分.则用x=1将D分成两个区域D1和D2：本讲稿第十九页，共六十页例例4.交换下列积分的积分顺序：解解:由积分可知
5、，积分区域D为它是由直线 y=0,y=1及曲线x0yy=11D2D3D1本讲稿第二十页，共六十页解方程组得交点：联立方程组本讲稿第二十一页，共六十页利用直线将区域D分成D1，D2和D3三个部分：本讲稿第二十二页，共六十页于是本讲稿第二十三页，共六十页例题例题1.则本讲稿第二十四页，共六十页例例1.求由曲线所围成的平面图形的面积A.解解:由故所求面积为图中的阴影部分D.x0y2y=2x本讲稿第二十五页，共六十页交点为(2,4),(3,2),(5,10).从而联立方程组，求交点：本讲稿第二十六页，共六十页故所求面积本讲稿第二十七页，共六十页例题例题2.求D由y=0,x=1,y=x 围成.解解:思考
6、：前一个不定积分如何求出来的？思考：前一个不定积分如何求出来的？xoy1y=x本讲稿第二十八页，共六十页1.曲线之间的变换与区域之间的变换曲线之间的变换与区域之间的变换二、二重积分换元法二、二重积分换元法本讲稿第二十九页，共六十页将xy面上的区域变换成uv面上的区域.将xy面上线变换成uv面上的线xoyuovMDxyMDuv在一定条件下通过变换将xy面上点变换成uv面上的点 本讲稿第三十页，共六十页例如，u=xy,v=y/x点(1,1)(1,1)xoy(1,1)xy=1xy=2D(1/2,2)(1,4)本讲稿第三十一页，共六十页线xy=1 u=1区域 D D uov(1,1)(2,1)(2,4
7、)(1,4)D xy=2 u=2y=x v=1y=4x v=4本讲稿第三十二页，共六十页 设变换设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将将uv平面上的平面上的有界闭区域有界闭区域Duv变为变为xy平面上的有界闭区域平面上的有界闭区域Dxy，2.定理定理(换元法换元法)且满足且满足本讲稿第三十三页，共六十页本讲稿第三十四页，共六十页注注1：注注2：一定要将有界区域变为有界区域.如将但将本讲稿第三十五页，共六十页例例5:计算解解:作变换即,本讲稿第三十六页，共六十页故本讲稿第三十七页，共六十页例例6.计算解解:积分区域D如图所示.则作变换Tx+y=1 x+y=1x+y=1x y=1xy0本讲
8、稿第三十八页，共六十页而故=0本讲稿第三十九页，共六十页例例2.求由曲线所围成的平面图形D的面积A.解解:令本讲稿第四十页，共六十页在变换T下,由曲线所围成的平面区域D变成区域D：由公式(5)，得所求面积本讲稿第四十一页，共六十页例题例题3.求椭圆所围成的区域的面积.解解:所求面积将题中椭园变为uv面上园:u2+v2=1=ab本讲稿第四十二页，共六十页设直角坐标系下二重积分的积分区域 Dxy 经变换变成相坐标系下的区域 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分=r 因本讲稿第四十三页，共六十页故得利用极坐标计算二重积分的公式其中r,的累次积分上下限的确定不外乎下列诸情形之一.本讲稿
9、第四十四页，共六十页(1)Dr :oA本讲稿第四十五页，共六十页(2)Dr :oA本讲稿第四十六页，共六十页(3)Dr :oA本讲稿第四十七页，共六十页例例7.计算解解:令故(如果直接运用直角坐标进行计算，则由于积分不能用初等函数表示,所以积分算不出来.)本讲稿第四十八页，共六十页P202例例1证明证证:令则由化重积分为累次积分的公式，得注意到夹在以原点为中心,半径分别为a 和的两个圆域之间，本讲稿第四十九页，共六十页其中故xy0本讲稿第五十页，共六十页运用极坐标计算上述不等式左、右两端的二重积分：本讲稿第五十一页，共六十页从而有即本讲稿第五十二页，共六十页例例8.计算解解:令本讲稿第五十三页，共六十页例例9.计算解解:该曲线即令是圆心为xy0本讲稿第五十四页，共六十页由对称性，有本讲稿第五十五页，共六十页例例3.求位于圆r=a以外及圆r=2acos以内的平面部分的面积 A.解解:联立方程组得两圆的交点xoMDN本讲稿第五十六页，共六十页设所求平面部分为D：故由公式(6)，所求面积本讲稿第五十七页，共六十页在下图的情形，例例.圆r=a，D的面积oA本讲稿第五十八页，共六十页例例.求双纽线解解:oTA本讲稿第五十九页，共六十页本讲稿第六十页，共六十页