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1、高等数学第九章二重积分本讲稿第一页，共三十五页一、二重积分的概念一、二重积分的概念 1定义定义：2几何意义：几何意义：表示曲顶柱体的体积表示曲顶柱体的体积3物理意义：物理意义：的质量的质量.本讲稿第二页，共三十五页二、二重积分的性质二、二重积分的性质1线线性性性性质质：2.可加性：可加性：4.单调性：单调性：3.区域区域 的面积：的面积：若在若在 上上,则则本讲稿第三页，共三十五页设设5估值性质：估值性质：6中值定理：中值定理：则在则在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使得使得是是 的面积，的面积，7.奇偶对称性：奇偶对称性：,是是 的面积的面积0D关于关于x(或或y)轴对称轴对称,f(x,y
2、)为为y(或或x)的奇函数的奇函数设函数设函数 在闭区域在闭区域 上连续上连续,D关于关于x(或或y)轴对称轴对称,f(x,y)为为y(或或x)的偶函数的偶函数则则本讲稿第四页，共三十五页三、二重积分的计算方法三、二重积分的计算方法 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算（1）X-型区域：型区域：.关键：关键：选择积分次序选择积分次序本讲稿第五页，共三十五页（2）Y-型区域：型区域：2利用极坐标计算利用极坐标计算 本讲稿第六页，共三十五页四、二重积分的解题方法四、二重积分的解题方法计算二重积分主要应用直角坐标与极坐标两种方法计算二重积分主要应用直角坐标与极坐标两种方法,在在直角坐标系下进行计算的关
3、键是首先判别区域直角坐标系下进行计算的关键是首先判别区域 的类型的类型(X-型型或或Y-型型),然后把二重积分转化为关于然后把二重积分转化为关于 和和 的二次积分的二次积分.而而应用极坐标进行计算，关键是判别被积函数应用极坐标进行计算，关键是判别被积函数 及区域及区域所具有的特点所具有的特点,如果被积函数如果被积函数 或积分区域是或积分区域是圆域圆域(圆域的一部分圆域的一部分),则把二重积分转化为关于则把二重积分转化为关于 和和 的二的二次积分次积分.本讲稿第七页，共三十五页 应用极坐标应用极坐标 应用直角坐标应用直角坐标D为圆域为圆域 NoYesYesNoNoYesNoYes -X型型 D-
4、Y型型 D-X型型 解题方法流程图解题方法流程图12本讲稿第八页，共三十五页五、交换二次积分次序的方法五、交换二次积分次序的方法 交换二次积分的次序交换二次积分的次序，其实质是把二重积分化为二次，其实质是把二重积分化为二次积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求出其对应的二重积分的积分区域出其对应的二重积分的积分区域 ,其次要判断其次要判断 的类型的类型,然后再根据然后再根据 的类型的类型,将二重积分化为另一次序的二次积将二重积分化为另一次序的二次积分。分。1解题方法流程图解题方法流程图本讲稿第九页，共三十五页改变二次积分的积分次序改
5、变二次积分的积分次序由由 分别确定分别确定 由由 分别确定分别确定 YesYesNoNoD-Y型型D-X型型本讲稿第十页，共三十五页六、二重积分的应用六、二重积分的应用1几何应用几何应用（其中（其中 ）2物理应用物理应用（1）质量）质量（2）质心）质心（3）转动惯量）转动惯量 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 本讲稿第十一页，共三十五页【例【例1】根据二重积分的性质，比较积分】根据二重积分的性质，比较积分 与与 的大小；其中的大小；其中 是三角形的闭区域是三角形的闭区域,三个三个顶点分别为顶点分别为 ,.解解:积分区域如图所示积分区域如图所示.2.典型例题典型例题 分析分析 由二重积分的性质可知，
6、比较两个积分的大小由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小,只需只需比较被积函数在积分区域上的大小即可。比较被积函数在积分区域上的大小即可。一般要考虑到所围成的区域一般要考虑到所围成的区域 特点，特点，二要恰当运用不等式证明的方法。二要恰当运用不等式证明的方法。.本讲稿第十二页，共三十五页从而从而 故故 于是于是 由二重积分的性质可知：由二重积分的性质可知：【例【例2】利用二重积分的性质，估计积分】利用二重积分的性质，估计积分 的值；其中的值；其中分析分析 由二重积分的性质可知，估计积分由二重积分的性质可知，估计积分 的值，只需估计被积函数在积分区域上的最大值和最小值即可。的值，只需估计被积函
7、数在积分区域上的最大值和最小值即可。所以所以 ;又因为又因为 内的点满足内的点满足由于由于 位于直线位于直线 的下方的下方,故在故在 内有内有 ,本讲稿第十三页，共三十五页解解:积分区域如图所示积分区域如图所示.故由二重积分的性质可知故由二重积分的性质可知即即 亦即亦即 由于在由于在 上上.本讲稿第十四页，共三十五页【例【例3】计算二重积分】计算二重积分 ,其中其中 是由直线是由直线及曲线及曲线 所围成的闭区域所围成的闭区域.分析分析 首先应画出区域首先应画出区域 的图形的图形,然后根据图形的特点选择然后根据图形的特点选择适适当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算，即框图中线路当的坐标计算。本题
8、可采用直角坐标计算，即框图中线路1的方法。注意到的方法。注意到 既是既是X-型区域型区域,又是又是Y-型区域型区域,但若用但若用Y-型区域计算，需把型区域计算，需把 分割成两个分割成两个Y-型区域的和的形式型区域的和的形式.故故本题选择先对本题选择先对 积分后对积分后对 积分的次序计算比较简单积分的次序计算比较简单.本讲稿第十五页，共三十五页解：解：积分区域如图所示积分区域如图所示.将二重积分转化为先对将二重积分转化为先对 对后对后 的二次积分的二次积分，得得注：若本题将二重积分转化为先对注：若本题将二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分的二次积分,则计算相对复杂。则计算相对复杂。积分区域积
9、分区域 为为X-型区域，型区域，.本讲稿第十六页，共三十五页【例【例4】计算二重积分】计算二重积分 其中其中分析分析 首先应画出区域首先应画出区域 的图形的图形,然后根据图形的特点选择适当然后根据图形的特点选择适当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算的坐标计算。本题可采用直角坐标计算,即框图中线路即框图中线路1的方法。的方法。注意到注意到 既是既是 型区域型区域,又是又是 型区域，而无论型区域，而无论 型区域型区域或或 型区域都不能用一个不等式组表出型区域都不能用一个不等式组表出,均需要把均需要把 分割成分割成两个两个 型区域或两个型区域或两个 型区域的和的形式。型区域的和的形式。不妨把不妨把
10、分成分成解解:积分区域如图所示积分区域如图所示.型区域的和型区域的和 来计算来计算两个两个本讲稿第十七页，共三十五页将二重积分转化为先对将二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分的二次积分,得得因因 其中其中本讲稿第十八页，共三十五页分析分析 首先画出区域首先画出区域 的图形。由于积分区域的图形。由于积分区域 为扇形区域为扇形区域的一部分，且被积函数呈现的一部分，且被积函数呈现 的形式的形式,故可考虑利用极坐故可考虑利用极坐标进行计算，即用框图中线路标进行计算，即用框图中线路2的方法计算本题比较简便。的方法计算本题比较简便。解解:积分区域如图所示积分区域如图所示.在极坐标系下，由于在极坐标系下
11、，由于【例【例5】计算二重积分】计算二重积分 其中其中 是由圆周是由圆周 ,及直线及直线 ,所围成的第一象限内的闭区域所围成的第一象限内的闭区域.本讲稿第十九页，共三十五页将二重积分转化为极坐标系下先对将二重积分转化为极坐标系下先对 后对后对 的二次积分的二次积分,得得【例【例6】计算二重积分计算二重积分 .其中其中 是圆周是圆周所围成的闭区域。所围成的闭区域。分析分析 由于积分区域由于积分区域 为圆域，且被积函数呈现为圆域，且被积函数呈现 的形式的形式,故本题利用极坐标进行计算，即用框图中线路故本题利用极坐标进行计算，即用框图中线路2的方法计算比较简便。的方法计算比较简便。本讲稿第二十页，共
12、三十五页在极坐标系下，由于在极坐标系下，由于解解:积分区域如图所示积分区域如图所示.将二重积分转化为极坐标系下先对将二重积分转化为极坐标系下先对 后对后对 的二次积分的二次积分,得得.本讲稿第二十一页，共三十五页注注:若注意到积分区域若注意到积分区域 关于关于 轴对称轴对称,而被积函数而被积函数关于关于 为偶数为偶数,则利用对称性可得则利用对称性可得（其中（其中 )这样在计算中就不会出现这样在计算中就不会出现 的形势的形势,也就避免了出现计算错也就避免了出现计算错误误.本讲稿第二十二页，共三十五页【例【例7】计算二重积分】计算二重积分其中其中分析分析 由于被积函数由于被积函数 中含有绝对值中含
13、有绝对值,所以应首先所以应首先在给定的积分区域在给定的积分区域 内内,求出求出 的解析表达式，的解析表达式，即去掉绝对值。利用曲线即去掉绝对值。利用曲线 将积分区域将积分区域 分成两部分分成两部分型区域，且被积函数先对型区域，且被积函数先对 积分比较容易积分比较容易,故在直角故在直角和和 则则 ,而而 和和 均为均为坐标系中将二重积分转化为先对坐标系中将二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分的二次积分,然后分别计算即可然后分别计算即可.本讲稿第二十三页，共三十五页因为因为 其中其中 则则 解解:积分区域如图所示积分区域如图所示.本讲稿第二十四页，共三十五页分析分析首先在给定的积分区域首先在给
14、定的积分区域 内，求出被积函数的积分内，求出被积函数的积分表达式，表达式，即去掉最大符号即去掉最大符号 ，然后计算二重积分。然后计算二重积分。解：解：积分区域积分区域 如图所示如图所示.其中其中,其中其中【例【例8】计算二重积分】计算二重积分则因则因,于是于是.本讲稿第二十五页，共三十五页【例例9】设区域】设区域 计算二重积分计算二重积分分析分析 由于积分区域由于积分区域 关于关于 轴对称，故先利用二重积分的轴对称，故先利用二重积分的化为二次积分进行计算即可。化为二次积分进行计算即可。其中其中 然后再利用极坐标将然后再利用极坐标将 对称性对称性简化所求的积分简化所求的积分.因因是关于变量是关于
15、变量 为偶函数，为偶函数，关于关于 为奇函数，故为奇函数，故本讲稿第二十六页，共三十五页解：解：【例例10】设】设 有连续的一阶导数，且有连续的一阶导数，且 求求本讲稿第二十七页，共三十五页分析分析 本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限的函合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限的函数，然后再利用洛必达法则求极限。数，然后再利用洛必达法则求极限。解：解：型型 型型本讲稿第二十八页，共三十五页【例【例11】求上半球面求上半球面 与旋转抛物面与旋转抛物面 所围成的立体的体积。所围
16、成的立体的体积。分分析析 首首先先求求出出立立体体在在 坐坐标标面面上上的的投投影影区区域域，然然后后利利用用二二重重积积分分的的几几何何意意义义将将所所求求立立体体的的体体积积用用二二重重积积分分来来表表示示，再再利用极坐标计算即可。利用极坐标计算即可。解：解：令令 求得曲线求得曲线在在 坐标面上的投影曲线方程为坐标面上的投影曲线方程为故立体在故立体在 坐标面上投影区域为坐标面上投影区域为本讲稿第二十九页，共三十五页由二重由二重积积分的几何意分的几何意义义，可知所求立体的体积为可知所求立体的体积为本讲稿第三十页，共三十五页【例【例12】改变】改变 的积分次序。的积分次序。分析分析 由于二次积
17、分是先对由于二次积分是先对 后对后对 ,故应按框图中线路故应按框图中线路2的方法计算。首先将二次积分的方法计算。首先将二次积分 与与还原成二重积分，由此找出积分区域还原成二重积分，由此找出积分区域最后便可将给定的二次积分转化为先对最后便可将给定的二次积分转化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。用另一种形式的不等式组表示，用另一种形式的不等式组表示，与与 然后再将然后再将解解:设设 本讲稿第三十一页，共三十五页则则 令令 ，则，则 画出画出 的图形如图所示的图形如图所示.再把二重积分转化为先对再把二重积分转化为先对 后对后对 的二次积分，的二次积分，有有可知可知 为为 型区域型区域;且且.
18、本讲稿第三十二页，共三十五页【例【例13】计算】计算 分析分析 由于被积函数为由于被积函数为 如果先对变量如果先对变量 积分积分,则会遇到则会遇到原函数原函数 求不出的问题求不出的问题,所以计算二次积分的问题就归所以计算二次积分的问题就归结为改变积分次序的问题，即把二次积分化成先对结为改变积分次序的问题，即把二次积分化成先对 后对后对的二次积分，亦即按框图中线路的二次积分，亦即按框图中线路1的方法进行计算。的方法进行计算。解：由于解：由于 可以表示成可以表示成 型区域型区域(如图如图)所以所以.本讲稿第三十三页，共三十五页（令（令 )【例【例14】证明】证明 分析分析 观察所要证明的等式的左右两边不难发现，等式左边是观察所要证明的等式的左右两边不难发现，等式左边是一个二次积分，可视作是一个二重积分化成的二次积分，而等一个二次积分，可视作是一个二重积分化成的二次积分，而等式的右端是一个定积分。对于二重积分来说，若能够化为二次式的右端是一个定积分。对于二重积分来说，若能够化为二次积分并积出一次便可化为定积分。因此，证明上式的关键在于积分并积出一次便可化为定积分。因此，证明上式的关键在于将左边的二次积分交换次序。将左边的二次积分交换次序。本讲稿第三十四页，共三十五页于是有于是有把把 表示为表示为 型区域为型区域为:解：设解：设 为为:如图如图.本讲稿第三十五页，共三十五页