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1、 第第 15 届中环杯决赛试题解析（届中环杯决赛试题解析（五五年级）年级） 一、填空题一、填空题（本大题共（本大题共 8 8 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）： 1. 计算：_. 【答案】 【解答】 2. 老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多 20 道。若两人收到的题目数量之比为，则小明回家需要完成_道题目。 【答案】80 【解答】设小明收到了道题目，则小王收到了道题目，根据题意，所以小明需要完成道题目。 3. 如图，正八边形的边长为 ，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分面积之差为_（大减小）。
2、【答案】 【解答】如下图，与抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是 【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式 4. 在一组英文字母串中，第一个字母串、第二个字母串，之后每个字母串都是由后面跟着的反转构成的。比如（我们用表示的反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如、），。那么，这组字母串的前个中，有_个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往左读相同，比如、） 【答案】 【解答】通过尝试，我们发现只有、不是回文字母串，别的都是，那么可以直接得到答案：一共只有个非回文字母串，剩下的个都是回文字母串。 接下来严格
3、证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）： 假设，那么，。由于在两边与可以保证其回文特性，最后是否为回文字母串就取决于的情况。如果为回文字母串，那么也是回文字母串；如果不是回文字母串，那么也不是回文字母串。考虑到、都是回文字母串，所以与都是回文字母串。而不是回文字母串，所以不是回文字母串。至此，已经证明了前面的猜测。 5. 如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（这三个圆的圆心构成等边三角形）顺时针旋转，这样称为一次操作。比如可以将进行旋转，从而出现在原的位置（用表示这个旋转），。也可以将进行旋转（，），但是不能将或者进行旋转。经过若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要
4、操作_次。 【答案】 【解答】由于除了以外，外围的 个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改变外围 个圆中的字母位置，所以至少需要 次。如下图，第一次旋转，第二次旋转，第三次旋转 6. 我们用表示一个首项为 ，公差为的等差数列，比如为 、。如果是中的一项，满足条件的 之和为_。 【答案】 【解答】由于的首项为 ，公差为，所以其中的某一项可以表示为。如果是中的一项，则。由于，满足条件的、 、（注意，当时，；当时，），所以这些数之和为 7. 下图的三角形网格中，有_条直线能正好经过其中的两个点 【答案】60 【解答】首先，这里一共有 19个点，所以会产生条直线。然后我们将其中通过超过 2个点的直线
5、数量减去，就得到最后的答案了。 （1）通过 3个点的直线有 15条，如下图所示，一共导致条直线不满足要求 （2）通过 4个点的直线有 6 条，如下图所示，一共导致条直线不满足要求 （3）通过 5个点的直线有 3 条，如下图所示，一共导致条直线不满足要求 综上所述，本题的答案为 8. 如图，直角中，点都在长方形上，且都是正方形。则的面积为_。 【答案】 【解答】如下图，进行切割后，得到弦图，所以得到四个相同的三角形：、，面积均为，然后三个正方形的面积之和为，三个矩形的面积均为，所以总面积为 二、填空题二、填空题（本大题共（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 8 8 分，共分，共 3232 分
6、）分）： 9. 计算：_. 【答案】7615 【解答】由于 所以 10. 甲、乙两人分别从两地同时出发（甲从出发），相向而行，在两地之间不停地往返行走，甲的速度是乙的 4倍。已知之间相距千米，其中为正整数，并且有 8个因数。第一次两人在处碰头（注意：这里的碰头可以指迎面相遇，也可以指背后追到），的长度是一个整数；第二次两人在处碰头，的长度还是一个 整数；第二次碰头后，乙感觉自己速度太慢，所以在处附近的村子问老乡借摩托车。等他借到摩托车回到处时，甲已经到达处（甲还没有到过地），的长度又是一个整数；最后，乙骑着摩托车去追甲，摩托车的速度是甲速度的 14倍，两人同时达到地。那么，两地相距_千米。 【
7、答案】105 【解答】由于甲的速度是乙的 4倍，所以第一次碰头时，。根据题意，为整数，所以； 还是由于甲的速度是乙的 4倍，如果乙走了千米，甲要走千米，已经两个来回了，所以第二次碰头时，甲应该是追到乙。设乙走了 千米，则甲走了千米，得到方程，此时千米。根据题意，为整数，所以； 接下来乙去借摩托车，甲继续走。考虑到摩托车的速度是甲速度的 14 倍，将分成 14份，甲走了 13 份的时候，乙回到处，然后两人可以同时到达地。所以，我们推出。根据题意，为整数，所以。 综上所述，。由于有 8个因数，所以千米。 11. 对任意正整数，定义为的余数（比如表示的余数，所以）。那么满足方程的最小正整数解为_.
8、【答案】 【解答】如果，那么除以 4、6、8、10 的余数不可能为 0，此时的余数之和超过 4了，所以。由于余数之和为 4，对于一个偶数来说，它除以 8 的余数只能是 0、2 或 4（如果是 6 就超过 4了）。 （1）如果这个数除以 8的余数为 4，则它必须为 3，5，7，9，10的公倍数，由于，为了满足除以 8的余数为 4，这个数至少为； （2）如果这个数除以 8的余数为 2，则它除以 4的余数也为 2（4个余数都用完了），所以它还是必须为 3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为； （3）如果这个数除以 8的余数为 0，则、。我们要进一步分析。如果除以 3的余数不是 0，那么它除以 6
9、，9的余数也不会为0。由于为偶数，所以除以 6的余数至少为 2。为了使得余数之和为 4，则只能是，但是，矛盾，所以这个数一定是 3 的倍数。由于这是一个偶数，而且它又是 3的倍数，所以必定是 6的倍数，所以。至此，我们已经推出：、（ 表示还不能确定的余数）。接下来对除以 9的余数进行讨论： （3.1）如果，只剩下 1个余数了。考虑到，所以剩下的余数应该给 7，也就是说、，此时最小为 120； （3.2）如果，剩下 4个余数。由于，此时已经是的倍数了。显然不满足我们的要求，而已经超过 120了； 综上所述，最小为 120 12. 6个正整数按字母顺序排成一排，构成一个数列，其中。如果某个正整数大
10、于 ，那么比这个正整数小 1的数肯定出现在它的左边。比如，则中 必有一个值为。举例：1，1，2，1，3，2 满足要求；1，2，3，1，4，1满足要求；1，2，2，4，3，2不满足要求。满足要求的不同排列有_个。 【答案】 【解答】我们用表示满足题目要求的 个自然数构成的数列个数，显然， 接下来计算，这个数列由两个正整数构成。由于，那么或 2，如果，那么这个数列中的数最大为 1，这样的数列有 1个；如果，那么这个数列中的数最大为 2，这样的数列有 1个。我们用下面的写法表示计数：； 接下来计算，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为 1，则前面的数只能都为 1，所以只有 1个。
11、（2）为了使得数列中的数最大为 2，有两种可能：前面的数都是 1，最后一个数填 2，这样的数列有 1 个，这个 1就是前面中的第一个数字；前面的数已经到达 2了，那么最后一个数可以是 1，可以是 2，所以有个。其中 1就是中的第二个数字，2表示最后一个数字有两种写法；（3）为了使得数列中的数最大为 3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为 2 的情况，这样的数列有 1个，这个 1就是前面中的第二个数字。我们用下面的写法表示计数：； 利用相同的推导方法，我们得到下面的结果： 三、动手动脑题三、动手动脑题（本大题共（本大题共 2 2 小题，每题小题，每题 1010 分，共分，共 2020 分）分）
12、： 13. 用 1，2，3，4，5，6，7，9这 8个数码组成 4 个两位质数（每一个数码必须且只能用一次），这 4个质数有多少种不同的可能？ 【答案】4 【解答】容易知道 2、4、5、6只能作为十位数，设这四个两位质数为、。剩下的四个数字为 1、3、7、9，简单分析一下得，。由于只能取 3、9，剩下的 1、7要分给，一共有种可能（第 1个 2 表示或者，第 2 个 2表示或者） 14. 如图，中，。在边上有一块奶酪，其位置在最靠近点的四等分点上。在上有三个透视镜，这三个透视镜将四等分。有一只疑心病很重的老鼠在上爬行（从爬往），米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条直线上时，老鼠能观察到奶酪。由于老
13、鼠的疑心病很重，它希望多次看到这块奶酪，这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第 分钟往前爬米，第 分钟往回退米，第 分钟往前爬米，第 分钟往回退米。，依次类推。当这只老鼠爬到点后，它直接沿着冲过去吃奶酪。问：老鼠在段上一共可以看到多少次奶酪。 【答案】 【解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为（如下图），由于，所以/，从而推出。由于米，所以米。本题的难点就在于如何求出的长度。 我们先来求，这里提供两种思路： 思路一：思路一：如下图，延长与延长线交于点。被所截，所以。设，则，所以。而被所截，所以。由于米，所以米 思路二：思路二：如下图，作/，则。设，则。由于为中点，所以，从而推出。由于，而，所以。而，所以，所以。由于，再结合，我们推出。由于米，所以米 用同样的方法，我们可以推出米，至此我们得、。而对于老鼠来说，它走的路程的情况如下所示： 所以，一共看到了五次