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1、关于函数单调性与曲线凹凸性的判别法第1页，讲稿共38张，创作于星期日本节要点本节要点 本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法数的单调性及曲线的凹凸性数的单调性及曲线的凹凸性.第2页，讲稿共38张，创作于星期日一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 1.问题的提出问题的提出 设函数设函数 如果函数如果函数负负,即即如果函数如果函数 在在在在 上单调增加上单调增加,则曲线的图形是一条沿则曲线的图形是一条沿 轴正向轴正向逐渐上升的曲线逐渐上升的曲线,
2、因而曲因而曲线上各点处的切线斜率非线上各点处的切线斜率非ab同样同样,第3页，讲稿共38张，创作于星期日 由导数的定义及极限的保号性由导数的定义及极限的保号性,上单调减少上单调减少,则曲线的图形是一条沿则曲线的图形是一条沿 轴正向逐下降的轴正向逐下降的曲线曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非正因而曲线上各点处的切线斜率非正,即即由此可见由此可见,函数的单调性与其导函数的符号有密切的关函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系系.我们可证明我们可证明:ab第4页，讲稿共38张，创作于星期日 若可导函数若可导函数 在区间在区间 上单调增加（减少）上单调增加（减少）,反之反之,我们有我们有定理定理 （函
3、数单调性的判别法）（函数单调性的判别法）若若若若 有有且且 则则:若若 有有则对任意的则对任意的 有有则则 在在 上上单调增加单调增加;则则 在在 上上单调减少单调减少.第5页，讲稿共38张，创作于星期日证证 仅证仅证.则由拉格朗日中则由拉格朗日中又因又因:故故由此说明函数是单调增加的由此说明函数是单调增加的.值定理值定理,得得第6页，讲稿共38张，创作于星期日例例1 判定函数判定函数解解 因因 我们知道我们知道,函数函数 是是的单调性的单调性.所以所以是单调增加的是单调增加的.单调增加的单调增加的,但但此说明一个单调增加的函数此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点其导函数可能有若
4、干个零点.作为一般结论作为一般结论,我们有我们有第7页，讲稿共38张，创作于星期日定理定理 若函数若函数 在区间在区间 上可导上可导,且在且在例例2 设设 则则所以所以,函数函数 在任何一个有限区间仅有有限个驻点在任何一个有限区间仅有有限个驻点,由由的任何一个有限区间内的任何一个有限区间内 仅有有限个零点仅有有限个零点,则则是单调增加的是单调增加的.上面的定理知函数是单调增加的上面的定理知函数是单调增加的.第8页，讲稿共38张，创作于星期日水平切线水平切线第9页，讲稿共38张，创作于星期日例例3 讨论函数讨论函数解解 因因 所以当所以当即即的单调性的单调性.是单调减少的是单调减少的;当当增加的
5、增加的.即函数是单调即函数是单调 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表第10页，讲稿共38张，创作于星期日 注注 此例说明了如何去讨论函数的单调性此例说明了如何去讨论函数的单调性:若函数点若函数点点可导点可导,则可根据函数的则可根据函数的驻点驻点驻点驻点将函数划分成若干个单调将函数划分成若干个单调区间区间.但若函数在某些点不可导但若函数在某些点不可导,则此方法不再适用则此方法不再适用.第11页，讲稿共38张，创作于星期日例例4 求函数求函数解解 函数函数 的定义域为的定义域为 并且在区间并且在区间当当 从而将定义域分成三个区间从而将定义域分成三个
6、区间:当当 因而函数单调增加因而函数单调增加;的单调区间的单调区间.内连续内连续.的导数为的导数为第12页，讲稿共38张，创作于星期日当当 因而函数单调减少因而函数单调减少;当当 因而函数单调增加因而函数单调增加.第13页，讲稿共38张，创作于星期日 将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:第14页，讲稿共38张，创作于星期日单调下降单调下降单调上升单调上升第15页，讲稿共38张，创作于星期日 结合上面的两个例子结合上面的两个例子,我们得到求函数单调区间的一我们得到求函数单调区间的一 确定函数的定义域确定函数的定义域;求出函数的一阶导函数求出函数的
7、一阶导函数,并求出函数的驻点及不可并求出函数的驻点及不可 根据驻点和导数不存在的点根据驻点和导数不存在的点,划分区间划分区间,注意到注意到,般方法般方法:导点导点;导函数在每一个区间内的符号不会改变导函数在每一个区间内的符号不会改变,从而有确定的从而有确定的单调性单调性.第16页，讲稿共38张，创作于星期日 应用应用:证明不等式证明不等式.例例5 证明当证明当 时时,有有证证 令令所以函数所以函数 在区间在区间 中是单调增加的中是单调增加的,因而因而则则第17页，讲稿共38张，创作于星期日当当 时时,有有 注注 从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式
8、的即即基本方法基本方法.第18页，讲稿共38张，创作于星期日 问题问题 证明当证明当 时有时有:方法方法 构造函数构造函数 验证验证 从而函数从而函数 在在 由此得到由此得到:当当 时时,有有 在在 中连续中连续,可导可导;且函数且函数给定的区间上单调增加给定的区间上单调增加;即即 第19页，讲稿共38张，创作于星期日例例6 证明证明 证证 令令所以所以所以所以 在在 上单调增加上单调增加,从而从而且且第20页，讲稿共38张，创作于星期日由此即得由此即得第21页，讲稿共38张，创作于星期日二、曲线的凹凸性及判别法二、曲线的凹凸性及判别法 考察右图中的曲线考察右图中的曲线,注意到注意到即设点即设
9、点 与点与点曲线是向下凸的曲线是向下凸的,即任取曲线即任取曲线上两点上两点,那么连接这两点的弦那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方总位于这两点间的弧段的上方.是曲线上任意两点是曲线上任意两点,那么介于那么介于 之间之间的中点的中点 的函数值满足的函数值满足第22页，讲稿共38张，创作于星期日由此我们引入曲线凹凸性的定义由此我们引入曲线凹凸性的定义.第23页，讲稿共38张，创作于星期日定义定义 设函数设函数 在区间在区间 中连续，如果对任意的中连续，如果对任意的则称曲线则称曲线 在区间在区间 内是下凸的（或称凹弧）内是下凸的（或称凹弧）.都有都有第24页，讲稿共38张，创作于星期日如果对
10、任意的如果对任意的都有都有则称曲线则称曲线 在区间在区间 内是上凸的（或称凸弧）内是上凸的（或称凸弧）.第25页，讲稿共38张，创作于星期日上下凸性上下凸性,则称点则称点 如果函数如果函数 的图形在经过点的图形在经过点 时改变了时改变了的一个的一个拐点拐点.是曲线是曲线第26页，讲稿共38张，创作于星期日曲线凹凸性判别法曲线凹凸性判别法1 1设设 且导函数且导函数 在在内单调增加（减少）内单调增加（减少）,那么曲线那么曲线 在在 内是下凸内是下凸（上凸）的（上凸）的.证证 设设 单调增加单调增加,任取任取 ，记，记 由微分中值定理由微分中值定理第27页，讲稿共38张，创作于星期日 从而证明了曲
11、线是下凸的从而证明了曲线是下凸的.第28页，讲稿共38张，创作于星期日即有如下的即有如下的:更进一步地更进一步地,如果函数如果函数 在区间在区间 有二阶导数有二阶导数,则则如果如果 则曲线则曲线 在在 内是下凸的；内是下凸的；我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性.曲线凹凸性判别法曲线凹凸性判别法2 2如果如果 则曲线则曲线 在在 内是上凸的内是上凸的.第29页，讲稿共38张，创作于星期日例例7 对函数对函数 因因 由判别法知曲由判别法知曲线线 在定义域内是下凸的在定义域内是下凸的;再对函数再对函数 因因 知曲线知曲线 在定义域内在定义域内
12、是上凸的是上凸的.第30页，讲稿共38张，创作于星期日例例8 设函数设函数解解 当当 时时,当当 时时 而当而当 时时,二阶导数不存二阶导数不存求曲线的凹凸区间求曲线的凹凸区间.在在,从而将函数从而将函数 的定义域划分成三个区间的定义域划分成三个区间:第31页，讲稿共38张，创作于星期日 将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:第32页，讲稿共38张，创作于星期日当当当当当当从而点从而点 是曲线的拐点是曲线的拐点,而而 不是曲线不是曲线曲线如下图所示曲线如下图所示.曲线是上凸的曲线是上凸的;的拐点的拐点.曲线是下凸的曲线是下凸的;曲线是下凸的曲线是下凸的.第33页，讲稿共38张，创作于星期日第34页，讲稿共38张，创作于星期日图形经过下列点图形经过下列点:第35页，讲稿共38张，创作于星期日 利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式.例例9 设设 是任意两个正数是任意两个正数,证明不等式证明不等式证证 设函数设函数故曲线故曲线 是下凸的，所以对是下凸的，所以对 第36页，讲稿共38张，创作于星期日即即故不等式得证故不等式得证.第37页，讲稿共38张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看09.04.2023第38页，讲稿共38张，创作于星期日