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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念 2样本空间、随机大事1大事间的关系 A B 就称大事 B 包含大事 A ,指大事 A 发生必定导致大事 B 发生A B x x A 或 x B 称为大事 A 与大事 B 的和大事,指当且仅当 A, B 中至少有一个发生时,大事 A B 发生A B x x A 且 x B 称为大事 A 与大事 B 的积大事,指当 A ,B 同时发生时,大事 A B 发生AB x x A 且 x B 称为大事 A 与大事 B 的差大事,指当且仅当 A 发生、B 不发生时,大事 A B 发生A B,就称大事
2、 A 与 B 是互不相容的, 或互斥的, 指大事 A 与大事 B 不能同时发生,基本领件是两两互不相容的ABS 且AB,就称大事 A 与大事 B 互为逆大事, 又称大事 A 与大事 B互为对立大事2运算规章交换律ABBAABBAB CA BC结合律ABCABCA安排律A（BC）ABACABCABACBAB徳摩根律ABABA 3频率与概率名师归纳总结 定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,大事A发生的次数nA称为大事 A 发生的 频第 1 页,共 13 页数 ,比值n An称为大事 A 发生的 频率- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习
3、必备欢迎下载P（A）,称为大事的概率： 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间,对于E 的每一大事 A 给予一个实数,记为概率1概率PA满意以下条件：A 0PA 1有Pn1A kn1PAk（ n 可以取）（ 1）非负性 ：对于每一个大事（ 2）规范性 ：对于必定大事S PS 1（ 3）可列可加性 ：设A 1,A2,A n是两两互不相容的大事,kk2概率的一些重要性质：（ i ）P0PnA knP A k（ n 可以取）（ ii ）如A 1,A 2,An是两两互不相容的大事,就有（ iii ）设 A, B 是两个大事如AB,就PBAPk1k1,PBPAPBPA（ iv）对于任意大事A ,PA1
4、（ v）PA1PA（逆大事的概率）BPAB（ vi）对于任意大事A ,B 有PABPA 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个大事发生的可能性相同名师归纳总结 如事件A包含k个基本事件,即Ae i 1e i2e ki,里第 2 页,共 13 页i1,i,2,ik是,12,n 中某k 个不同的数,就有事件数kkA包含的 基本P Aj1Pe ij的总数nS 中基本事件- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 5条件概率（ 1）定义：设A,B 是两个大事,且P A0,称PB|A P AB为大事A 发生的条
5、件下事PA件 B 发生的 条件概率（ 2）条件概率符合概率定义中的三个条件Pi1BiAi1PBiA1；非负性：对于某一大事B,有PB|A 02；规范性：对于必定大事S,P S|A 13 可列可加性：设B 1B 2,是两两互不相容的大事,就有（ 3）乘法定理设PA0,就有iPABB iPBPA|B 称为乘法公式（ 4）全概率公式：PA nPBP A|i1贝叶斯公式：PBk|AiPBkPA|BknPBiPA|Bi1 6独立性定义定理一定理二其次章设 A , B 是两大事,假如满意等式P ABPA PB,就称大事A,B 相互独立设 A ,B 是两大事,且PA0,如 A, B 相互独立,就P B|A
6、PB如大事 A 和 B 相互独立,就以下各对大事也相互独立：A 与B,A与B,A与B随机变量及其分布 1 随机变量名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义设随机试验的样本空间为S学习必备欢迎下载S 上的实值单值函数,称e.XXe是定义在样本空间XXe为随机变量 2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量P Xx kp k满意如下两个条件（1）kp0,（ 2）k1P =1 2 三种重要的离散型随机变量（ 1）分布P X设随机变量X
7、k只能取0与1两个值,它的分布律是kkp（1-p1-）k,0 1,（0p1,就称 X 听从以 p 为参数的分布或两点分布；（ 2）伯努利试验、二项分布1,此时设试验 E 只有两个可能结果：A 与A ,就称 E 为伯努利试验 .设PAp（0p=1 留意到n, p 的二PA1-p.将 E 独立重复的进行n 次,就称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验；PXknpkqn-k,k2,1,0,n满意条件（1）pk0,（ 2）k1P kknpk qn-k是二项式（pqn）的绽开式中显现pk的那一项,我们称随机变量X 听从参数为k项分布；（ 3）泊松分布名师归纳总结 P X设 随 机 变 量,X所 有 可
8、 能 取 的 值 为0,1,2 , 而 取各 个 值 的 概 率 为第 4 页,共 13 页kke-k0 ,1,2,其 中0是 常 数 ,就 称X 服 从参 数 为的 泊 松分 布 记 为k.X（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数FxPXx,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数Fx FPXx, 具 有 以 下 性 质 1 Fx是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）0Fx1,且0,F1（3）Fx0Fx ,即Fx是右连续的 4 连续性随机变量及其概率密度有连续随机变
9、量：假如对于随机变量X 的分布函数 F（x）,存在非负可积函数fx ,使对于任意函数xFxxf（t）dt,就称 x 为连续性随机变量,其中函数fx 称为 X 的概率密度函数,简称概率-密度1 概率密度fx具有以下性质,满意（1）fx0,2-fxdx1；F,x fx（ 3）P x 1Xx2x 2fx dx；（ 4）如fx在点 x 处连续,就有x 12,三种重要的连续型随机变量1匀称分布如连续性随机变量X 具有概率密度fxb1a 0,axb,就成 X 在区间 a,b上听从匀称分布 .-记为XU（a,b）,其他2指数分布如连续性随机变量X 的概率密度为fx1e-x,x .0其中0 为常数,就称 X
10、听从参数为的指数分布；0,其他（ 3）正态分布名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如连续型随机学习必备量欢迎下载的概率密度为变Xfx,1ex）2,的 正 态 分 布 或 高 斯 分 布 , 记 为22,-x2其中（0 为常数,就称X听从参数为XN（1时称随机变量,2）X 听从标准正态分布0,特殊,当 5 随机变量的函数的分布定理g设随机变量X 具有概率密度fxx,fYx,又设函数gx到处可导且恒有g, x0,就 Y=X是连续型随机变量,其概率密度为yfXhyh,y ,y0,其他第三章多维随机变量 1 二维随机变量定义
11、 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S e. X Xe 和 Y Ye 是定义在 S 上的随机变量,称 X Xe 为随机变量,由它们构成的一个向量（X ,Y）叫做二维随机变量设 （ X, Y ） 是 二 维 随 机 变 量 ,对 于 任 意 实 数 x , y , 二 元 函 数F（x,y）PX x Y y 记成 PX x,Y y 称为二维随机变量（X , Y ）的分布函数假如二维随机变量（X , Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,就称（X ,Y ）是离散型的随机变量；我们称 P X x i,Y y j p ij,i,j ,1 2,为二维离散型随机变量（X , Y）的分布律；对
12、于二维随机变量（X ,Y）的分布函数 F（x,y）,假如存在非负可积函数 f（ x, y）,使对于任y x意 x,y 有 F（x,y）-f（u,v）dudv,就称（ X ,Y）是连续性的随机变量,函数 f （x, y）称为随机变量（X ,Y ）的概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的 联合概率密度； 2 边缘分布名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（x,y）.而 X 和 Y 都是随机变量,各自二维随机变量（ X , Y ）作为一个整体,具有分布函数F也有分布函数,将他们分别记为FX（x,F（y）,依
13、次称为二维随机变量（X ,Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数；别称ipippijPXxi,i,12,pjy i1pijfPYyi,j,12,分j1pj为（ X , Y）关于 X 和关于 Y 的 边缘分布律；fYy f Xxfx ,y）dyfYx ,y）dx分别称f Xx,为 X , Y 关于 X 和关于 Y 的 边缘概率密度 ； 3 条件分布定义设（ X ,Y ）是二维离散型随机变量,对于固定的j,如P Yjy,0,就称P Xx iYy jP Xxi,Yjyjpijj,i,1 ,2为在Yjy条件下随机P Yyp变量 X 的条件分布律,同样P YyjXXiP Xx i, Yiyjp ij,
14、j,1,2为在P Xxp iXix条件下随机变量X 的条件分布律；设二维离散型随机变量 （ X,Y ）的概率密度为fx ,y ,（ X,Y ）关于 Y 的边缘概率密度为fYy 如对于固定的y,f Y y 0,就称fx ,y 为在 Y=y 的条件下X 的条件概率密度,记为fYy fXYxy =fx ,yfYy 4 相互独立的随机变量名师归纳总结 定义设F（x,y）及F Xx,F Yy分别是二维离散型随机变量（X,Y ）的分布函数及边缘分第 7 页,共 13 页布函数 .如对于全部x,y 有P Xx , Yy P Xx PYy,即Fx ,y F XxF Yy,就称随机变量X 和 Y 是相互独立的；
15、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于二维正态随机变量（学习必备欢迎下载0X , Y）,X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 5 两个随机变量的函数的分布1,Z=X+Y 的分布设 X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度 f x , y .就 Z=X+Y 仍为连续性随机变量,其概率密度为 f X Y z f z y , y）dy 或 f X Y z f x , z x）dx又如 X 和 Y 相互独立,设（X, Y）关于 X , Y 的边缘密度分别为 f X x , f Y y 就f X Y z f X z y）f（y dy 和 f X Y z f
16、X x）f Y z x dx 这两个公式称为f , f Y 的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍旧听从正态分布名师归纳总结 2,ZY的分布、ZXY 的分布第 8 页,共 13 页X设X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度fx ,y,就ZY,ZXYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYXz xfx,xz dxf XYz 1fx ,zdx又xx如 X 和 Y 相互独立,设（X,Y ）关于 X ,Y 的边缘密度分别为fXx ,fYy就可化为fYXz fXx fYxz dxfXYz 1fXxfYz xdxx3MmaxX,Y及NminX,Y 的分布设 X ,Y 是两个相互独立的随机
17、变量,它们的分布函数分别为FXx,F Yy 由于Mmax X,Y不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z 故有PMzPXz,Yz又由于 X 和 Y 相互独立,得到Mmax X,Y的分布函数为F maxz FXz F Yz - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - NminX,Y 的分布函数为F minz 学习必备欢迎下载1F Yz 11FXz 第四章 随机变量的数字特点 1数学期望定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P X x k p k,k=1,2, 如级数 x kp k 肯定收敛, 就称k 1级数 x kp k 的和为随机变量 X 的数学期望,记为
18、 E X ,即 E X x kp kk 1 i设连续型随机变量 X 的概率密度为 f x ,如积分 xf x dx 肯定收敛,就称积分 xf x dx的值为随机变量 X 的数学期望,记为 E X ,即 E X xf x dx定理 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y= g X g 是连续函数 （ i ）假如 X 是离散型随机变量,它的分布律为 P X x k p k, k=1,2, 如 g x kp k 肯定收敛就有EYEgXgx kp kfx,如gxfk1dx肯定收敛就有（ ii ）假如Ek1f,它的分概率密度为x X 是 连续型随机变量EYgXg x x dx数学期望的几个重要性质1 设 C
19、 是常数,就有ECCCXCEX2 设 X 是随机变量, C 是常数,就有E3 设 X,Y 是两个随机变量,就有EXYEXE Y；4 设 X , Y 是相互独立的随机变量,就有EXYEXE Y 2 方差名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义设 X 是一个随机变量,如EX学习必备2欢迎下载EXEX2为 X 的方差,记为EX存在,就称D（x）即 D（ x）=E XEX2,在应用上仍引入量Dx,记为x,称为标准差或均方差；DXEXEX2EX2EX2方差的几个重要性质1 设 C 是常数,就有DC0 ,XCDX2 设 X 是随
20、机变量, C 是常数,就有DCXC2DX,D3 设 X,Y 是两个随机变量,就有DXYDXDY2EX-EXY-EY特殊,如 X,Y 相互独立,就有DXYDXDYEX14D X0的充要条件是X 以概率 1 取常数 EX ,即PX切 比 雪 夫 不 等 式 ： 设 随 机 变 量X具 有 数 学 期 望E X2, 就 对 于 任 意 正 数, 不 等 式2PX-2成立 3 协方差及相关系数定 义量E XEXYEY称 为 随 机 变 量 X与 Y的 协 方 差 为Co v X,Y, 即CovX,YEXEX YEY EXYEXE Y而XYCovX,Y）称为随机变量X 和 Y 的相关系数2CovX,YD
21、XDYX 和 Y ,DX_YDXDY对于任意两个随机变量协方差具有下述性质名师归纳总结 1CovX,YCov Y,X,CovaX,bYabCovX,Y第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2Cov X1X2,YCov X1,Y学习必备2,Y欢迎下载Cov X定理XY1 XY1a,b 使PYabx1当2 XY1 的充要条件是,存在常数0 时,称 X 和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表分布0参数1PP X分布律或概率密度,n,数学期方差望两点分布pkpk 1p1k,k01,pp1p二项式分0n11XkCkpk1p nk,k0 ,1
22、,npnp 1ppn布泊松分布001PXkke,k0 ,1,2 ,11pk.p几何分布PXk1p k1p,k2,1,p2p匀称分布abfxb1a,axb,abba20,其他212指数分布0fx1ex,x020,其他名师归纳总结 正态分布0fx 1ex22第 11 页,共 13 页222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章大数定律与中心极限定理学习必备欢迎下载 1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1,X2 是相互独立,听从统一分布的随机变量序列,并具有数学期望E X k k ,1 2 , . 作 前 n 个 变 量 的 算 术 平 均 1 n
23、X k, 就 对 于 任 意 0 , 有n k 11 nlim P X k 1n n k 1定 义 设 Y 1 , Y 2 , Y n 是 一 个 随 机 变 量 序 列 , a 是 一 个 常 数 , 如 对 于 任 意 正 数, 有lim n P Y n a 1,就称序列 Y 1 , Y 2 , Y n 依概率收敛于 a,记为 Y n p a伯努利大数定理 设 f A 是 n 次独立重复试验中大事 A 发生的次数, p 是大事 A 在每次试验中发生的概率,就对于任意正数 0,有 limn P fn np 1 或 limn P fn np 0 2 中心极限定理名师归纳总结 定理一（ 独立同分
24、布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,Xn相互独立,听从同一分布,且具有第 12 页,共 13 页数学期望和方差EXi,DXk2（ k=1,2, ）,就随机变量之和nXk标准化变量,i1nnnXkEXkXknY nk1Dnk1i1n,Xkk1定理二（ 李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,Xn 相互独立,它们具有数学期望和方差EXkk,DXkk20 ,k,12记Bn2n1k2k定理三（ 棣莫弗 -拉普拉斯定理 ）设随机变量nn,12,听从参数为n,p 0p1）的二项分布,就对任意 x ,有lim nP n1npxx1et22dtxnpp2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 13 页,共 13 页- - - - - - -