2022年概率论与数理统计知识点总结 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计第一章随机大事及其概率 1.1 随机大事一、给出大事描述,要求用运算关系符表示大事：二、给出大事运算关系符,要求判定其正确性： 1.2 概率古典概型公式：P（A ）= A 所含样本点数有用中常常采纳“ 排列组合 ” 的方法运算所含样本点数补例 1：将 n 个球随机地放到 n 个盒中去, 问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少？解：设 A：“ 每个盒子恰有 1 个球 ” ；求： PA= ？ 所含样本点数：n n . n n n 所含样本点数：n n 1 n 2 . 1 n . P A n nn .补例 2：将 3 封信随机地放入 4

2、 个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为 1、2、3 的概率各是多少？解：设 A i ：“信箱中信的最大封数为i ”；i =1,2,3 求： PAi=？ 所含样本点数：4444364A 1所含样本点数：43224324PA 1648A 2所含样本点数：C243363A 3所含样本点数：PA23696416C3443PA 3416416注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（A）1 2、P =1,P =0 1.3 概率的加法法就 定理：设 A、B 是互不相容 大事（ AB= ）,就：P（AB）=P（ A） +P（B）推论 1：设 A 1、 A 2、 、 A n 互不相容,就名师归纳总结 - -

3、 - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - PA 1+A 2+.+ A n= PA 1 + PA 2 + + PAn 推论 2：设 A 1、 A 2、 、 A n 构成完备大事组,就 PA 1+A 2+.+ A n=1 推论 3： P（A）=1P（ A ）推论 4：如 B A ,就 PBA= PB PA 推论 5（广义加法公式） ：对任意两个大事 A 与 B,有 PA B=PA+PB PA B 补充 对偶律：A 1A 2.A nA 1A 2P.A nA 1A 2.A nA 1A 2.A n 1.4 条件概率与乘法法就（ PB 0）PB/A= A

4、B（ PA 0）条件概率公式： PA/B=PABPBPA P（AB ）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有时须与 P（A+B ）=P（A）+P（B） P（AB ）中的 P（AB ）联系解题；全概率与逆概率公式：全概率公式：PB/Bn1PA iPB/A ii,1 2,.,ni逆概率公式：PA iPA iBPB（留意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做,假如要求其次步某事 件的概率,就用全概率公式；假如求在其次步某大事发生条件下第一步某大事的概率,就 用逆概率公式； ） 1.5 独立试验概型B 相互独立P AB P A P B 大事的独立性：A 与贝努里公式（ n

5、重贝努里试验概率运算公式） ：课本 P24 另两个解题中常用的结论1、定理：有四对大事：A 与 B、A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B ,假如其中有一对相互独立,就其余三对也相互独立；名师归纳总结 2、公式：P A 1A 2.A n1P A 1A 2.A n第 2 页,共 27 页其次章随机变量及其分布- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列： 确定各种大事,记为 写成一行；运算各种大事概率,记为 p k 写成其次行；得到的表即为所求的分布列；留意：应符合性质 1、p k 0（非负性）2、p k 1（可加性和

6、规范性）k补例 1：将一颗骰子连掷 2 次,以 表示两次所得结果之和,试写出 的概率分布；解： 所含样本点数： 6 6=36所求分布列为：补例 2：一袋中有 5 只乒乓球,编号 1,2,3,4, 5,在其中同时取只球中最大号码,试写出 pk 的概率分布；3 只,以表示取出3解： 所含样本点数：C3=105所求分布列为：2、求分布函数Fx ：p k x3 451/10 3/106/10分布函数FxPp kx kx二、关于连续型随机变量的分布问题：x R,假如随机变量的分布函数F（ x）可写成 F（x）=xxdx,就 为连续型； x 称概率密度函数；0解题中应当知道的几个关系式： x名师归纳总结

7、P axdx1P ab F bFabxdx第 3 页,共 27 页b a第三章随机变量数字特点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、求离散型随机变量的数学期望E=？数学期望（均值）二、设Ekx kpk =f 也是随机变量,求E =.为随机变量, fx是一般实函数,就pk x1 x2xkp1p2 pk = f y1y2 yk 以上运算只要求这种离散型的；补例 1：设 的概率分布为：pk 1 20 1 ；2 5111323求：1010510101,的概率分布； E解：由于pk 1 0 1 2 5111323 = 1010105102 1 0 1 32 =1

8、 0 1 4 254 所以,所求分布列为： = 2 1 0 1 32pk 11133101010510和： =1 0 1 4 25pk 111343101010510当 = 1 时, E =E（ 1）=21+11+01+13+3 23510101010=1/4当 =时, E =E=11+01+11+43+25 43510101010=27/8名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、求或 的方差 D=？D =？有用公式 D=E2E22=kx kpk2E2=E其中,E2=x2k pkk补例 2：20 期望2 方差参数pk

9、 0.4 0.30.3 求： E 和 D 解： E=2 0.4+0 0.3+2 0.3=0.2 E2=（ 2）2 0.4+02 0.3+22 0.3=2.8 D= E2E2=2.8（ 0.2）2=2.76 第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布或密度范畴二项分PkCkpkqnkn pn p q0P0泊松分不要求 0 布名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 指数分不要求11 0 布2解题中常常需要运用的E 和 D 的性质（ 同志们解题必备速查表）0E 的性质cD 的性质c EcDE如

10、、EE如、独立,就DDD独立,就EcEcEDcc2DEE第五章参数估量,就称1.是比2. 有效的估 8.1 估量量的优劣标准（以下可作填空或挑选）如总体参数 的估量量为.,假如对任给的 0,有limP n .1,就称.是 的一样估量；假如满意E.,就称.是 的无偏估量； 假如1.和2. 均是 的无偏估量,如D. 1D. 2计量； 8.3 区间估量 ：几个术语名师归纳总结 1、设总体分布含有一位置参数,如由样本算得的一个统计量. 1x 1,.,xn及第 6 页,共 27 页. 2x 1,.,x n,对于给定的（01）满意：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

11、 P . 1x 1,.,x n. 2x 1,.,x n1就称随机区间（1.,2. ）是 的 100（1）的置信区间,1.和 2. 称为 的 100（1）的置信下、上限,百分数 100（ 1）称为置信度；一、求总体期望（均值）E 的置信区间21、总体方差 已知的类型据,得 0U 1,反查表（课本 P260 表）得临界值 U；21 n x =n i 1 ix 求 d= Un 置信区间（ x-d , x+d）补简例：设总体 X N , 0 . 09 随机取 4 个样本其观测值为 12.6 ,13.4 ,12.8 ,13.2 ,求总体均值 的 95%的置信区间；解： 1 =0.95 , =0.05 （

12、U ）=12=0.975 ,反查表得： U =1.96 13X1i4Xi1 12. 613. 412 .813 . 2 414 =0.3 , n=4 d=Un=1 .960 .3=0.29 4所以,总体均值 的 =0.05 的置信区间为：（ X d, X d）=（130.29 , 130.29 ）即（ 12.71 ,13.29 ）2、总体方差2未知的类型（这种类型非常重要！务必把握！）n1 ；据和自由度n1（n 为样本容量） ,查表（课本P262 表）得t确定 x=1inix和2 sn11in1xix2n1求 d=tn1s置信区间（ x-d , x+d）n注：无特殊声明,一般可保留小数点后两位

13、,下同；名师归纳总结 二、求总体方差2的置信区间第 7 页,共 27 页据 和自由度n1（n 为样本数）,查表得临界值：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2n1和22n121确定 X =1 nnix和2 sn11inix2s 2Xi11n1n1 s2上限2n1下限2n1122置信区间（下限,上限）典型例题：补例 1：课本 P166 之 16 已知某种木材横纹抗压力的试验值听从正态分布,对 10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm 2）: 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力

14、的方差进行区间估量（ 0.04 ）；解： =0.04 ,又 n=10,自由度 n1=9s2查表得,12n1=29 =19.7 + +457 . 5469 2 0 . 022 X =110ix=22n1=29 =2.53 10 . 98i1482493.469=457.51010110Xix2=1 9457 . 5482 2+457 .5493 29i1=1240.28 上限n1s 2=9s2=91240 .28=4412.06 22 n129892. 5310 .下限 n1s 29 s2=91240 . 28=566.632n1=29 19. 70. 022所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的

15、置信区间为（566.63 ,4412.06 ）第六章 假设检验必需娴熟把握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、提出待检假设H 02、挑选统计量3、据检验水平,确定临界值4、运算统计量的值 5、作出判定检验类型：未知方差2,检验总体期望均值 P262 表）得tn1 ；由样本值算依据题设条件,提出H0:= 00已知 ；挑选统计量TXntn1；s/据和自由度n 1（n 为样本容量）,查表（课本出 X ？和 s？从而得到T 0Xn；0s/如T0tn1,就接受H作出判定如T0tn1,

16、就拒绝H0典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查 5 个,得到爆破压力的数据（公斤 /寸2）为： 545,545,530,550,545；依据体会爆破压认为是听从正态分布的,而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为 549 公斤 /寸 2 ,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（X=0.05）解： H0: = 549 挑选统计量 T t n 1s / n=0.05 ,n1=4,查表得：0t . 05 4 =2.776 又 X = 15 545 . 545 =543 s 2= 1 545 545 2. 543 545 2 =57. T 0 X= 543 549=1.772.7764

17、 s / n 57 . 5 / 5接受假设,即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异；名师归纳总结 检验类型：未知期望均值 ,检验总体方差2n21 s2第 9 页,共 27 页依据题设条件,提出 H0:= 00已知 ；挑选统计量2n1 ；2据和自由度n 1（n 为样本容量） ,查表（课本P264 表）得临界值：21n1 和2 n1；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由样本值算出X ？和 s？从而得到02n1 n1 s2；2如212 n1 02n1 22n1就接受假设,否就拒绝2.=64,今从一批补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情形下听从正态分布

18、,折断力方差产品中抽 10 根作折断力试验,试验结果（单位：公斤）：578,572,570, 568,572,570,572,596,584,570；是否可信任这批铜丝折断力的方差也是02564？（ =0.05）解：H0:=64 9 =19 挑选统计量2n1n1 s22=0.05 ,n1=9,查表得：212n1 =20 . 9759=2.722n1=2.0又X =1578.570 =575.2s2=1575 2.578 2.575 . 2570 2=75.73 109名师归纳总结 02n1975 .7310. 6520 . 9759=2.702n1 10 . 650 ,就称PAB为大事 A 发

19、生条件下,事公式当 A= 时, P B =1- PB定义设 A、B 是两个大事,且PA（12）条件件 B 发生的条件概率,记为PB/APAB；概率PA条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；（13）乘法例如 P /B=1P B /A=1-PB/AAn|A 1A2乘法公式：PABPA PB/A更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-1 0 ,就有PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2 P公式An1 ；两个大事的独立性（14）独立设大事 A 、B 满意PABPAPB,就称大事A 、B 是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且PA0,就有PB

20、|A PABPAPB PBPA PA性A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互如大事A、B相互独立,就可得到独立；必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB ；PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、B、C相互独立；对于 n 个大事类似；设大事B1 ,B2,Bn,Bn满意PBi0i,12,n,1B1 ,B2 ,两两互不

21、相容,n（15）全概2Ai1Bi,PBnPA|Bn ；公式就有PAPB1 P A|B 1PB2PA|B2全概率公式解决的是多个缘由造成的结果问题,全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做,假如要求其次步某大事的概率,就用全概率公式；设大事B ,B , ,B 及 A 满意PBi0,i1,2, ,n,1B ,B , ,B 两两互不相容,n2Ai1iB,P A0,就（16）贝叶P B i/A jnP B iP A/B ij,i=1 ,2, n；P BjP A/B斯公式1此公式即为贝叶斯公式；PiB,（i1,2 , ,n）,通常叫先验概率；P B i/A ,（i1,2 , ,n ）,通常称为后验概率；

22、贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断；将试验可看成分为两步做,假如求在其次步某大事发 生条件下第一步某大事的概率,就用贝叶斯公式；我们作了n次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,n 次试验是重复进行的,即A 发生或 A 不发生；A 发生的概率每次均一样；名师归纳总结 （17）伯努每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与第 13 页,共 27 页否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验；用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表利概型示 n重伯努利试验中A 显现k0kn 次的概率,PnkCkp

23、kqnk,k0 ,1,2 ,n；n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 随机变量及其分布（1）离散 型随机变 量的分布 律（2）连续 型随机变 量的分布密度设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即事件X=Xk 的概率为 PX=x k=p k,k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：PXxk|x1 ,x2,x k,；明显分布律应满意以下条件：（1）p k0,Xp1 ,p2,pk ,k,12,（2）k1p k1；设F x是随机变量X 的分布函数,如存在非负函数fx,对任意实

24、数x,有Fx xfx dx,就称X为连续型随机变量；f x称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度；（3）离散密度函数具有下面4 个性质： 1、f x0；2、fx dxxk1；p k在离散3、Px 1Xx 2F x 2F x 1x 2f x dx0x 14、Px=a=0,a 为常数,连续型随机变量取个别值的概率为PXxP xXxdxfx dx与连续型随机变量积分元fxdx在连续型随机变量理论中所起的作用与PX的关系型随机变量理论中所起的作用相类似；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数函数Fx PXxa,b 的概率； 分布函称为随机变量X 的分布函数,本质上是一个累积函数；PaXbFbFa可以得到 X落入区间数F x表示随机变量落入区间（, x 内的概率；分布函数具有如下性质：10Fx ,1x；F1x1Fx2；2F x 是单调不减的函数,即x 1x2时,有3Flim xFx0,Fx ；Flim x4Fx0 Fx ,即Fx是右连续的；5P XxFxFx0；对于离散型随机变量,Fxpk；x kxx（5）八大 分布对于连续型随机变量,Fx f