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1、精品名师归纳总结概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 2样本空间、随机大事1. 大事间的关系AB就称大事 B 包含大事 A ,指大事 A 发生必定导致大事B 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB x xA或xB 称为大事 A 与大事 B 的和大事, 指当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A , B 中至少有一个发生时,大事A B 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB x xA且xB 称为大事 A 与大事 B 的积大事,指当 A ,B可编辑
2、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同时发生时,大事AB 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A B x xA且xB 称为大事 A 与大事 B 的差大事,指当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 发生、 B 不发生时,大事A B 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB,就称大事 A 与 B 是互不相容的,或互斥的,指大事A 与事件 B 不能同时发生,基本领件是两两互不相容的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABS且 AB,就称大事A 与大事 B 互为逆大事,又称大事可编辑资
3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 与大事 B 互为对立大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 运算规章 交换律 A结合律 AB BBCA B BA A B C AB) CA B C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结安排律 A （ BC） AB) AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC) AB AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结徳摩根律 ABA 3频率与概率B ABAB可编
4、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,大事 A 发生的次数n A 称为事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件 A 发生的 频数,比值 n An 称为大事 A 发生的 频率概率：设 E 是随机试验, S 是它的样本空间, 对于 E 的每一大事 A 给予一个实数, 记为 P（A）,称为大事的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 概率P A 满意以下条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 非负性 ：对于每一个大事A0P A1（ 2）
5、规范性 ：对于必定大事 SPS1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）可列可加性 ：设A1, A2 , An是两两互不相容的大事, 有nPAk k 1nP Ak （ n 可k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以取）2. 概率的一些重要性质：（ i ） P 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）如A1,A2 , An 是两两互不相容的大事,就有nPAk k 1nP Ak （ n 可以取）k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ iii ）设 A , B 是两个大事如 AB
6、,就PBAP BP A , P BP A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ iv ）对于任意大事A, P A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ v） P A1P A（逆大事的概率）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ vi ）对于任意大事A, B 有 P A 4 等可能概型（古典概型）BP AP BP AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个大事发生的可能性相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 事 件A包 含k个
7、基 本 事 件 , 即 A ei ei ei , 里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12ki 1, i 2, i k是1,2,n中某 k个不同的数,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AkP ei j j 1k A包 含 的 基 本 事 件 数nS中 基 本 事 件 的 总 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5条件概率（ 1） 定义： 设 A,B 是两个大事,且P A0 ,称P B | AP ABP
8、 A为大事 A 发生的条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件下大事 B 发生的 条件概率（ 2） 条件概率符合概率定义中的三个条件。1 非负性：对于某一大事B ,有 P B | A0。2 规范性：对于必定大事S, P S | A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 可 列 可 加 性 ： 设B1 , B2 ,是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 就 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PBi A i 1P Bi A i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结（ 3） 乘法定理设 P A0 ,就有P ABP BP A | B 称为乘法公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） 全概率公式：PAnP Bi P A | Bi i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结贝叶斯公式：PBk| AP Bk P A | Bk n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 6独立性PBi P A | Bi i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义设
10、 A ,B 是两大事,假如满意等式P AB P AP B ,就称大事 A,B 相互独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理一设 A , B 是两大事,且P A0 ,如 A, B 相互独立,就PB | AP B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 定理二如大事 A 和 B 相互独立,就以下各对大事也相互独立：A 与 B ,A 与B ,A 与 B其次章随机变量及其分布 1 随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义设随机试验的样本空间为Se.XXe 是定义在样本空间S 上的实值单值函可编辑资料 - - -
11、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数,称 XXe为随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 离散性随机变量及其分布律1. 离散随机变量：有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xxk pk 满意如下两个条件（ 1） pk0 ,（ 2）kPk =11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 三种重要的离散型随机变量（ 1）分布设 随 机 变 量X只 能 取0与1两 个 值 , 它 的 分 布 律 是可编辑资料 - - - 欢迎下
12、载精品名师归纳总结P Xk p（k1 - p）1-k, k0,1 （0p1,就称 X 听从以 p 为参数的分布或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两点分布。（ 2）伯努利试验、二项分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设试验 E 只有两个可能结果： A 与 A ,就称 E 为伯努利试验 .设 PAp（0p1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时 PA 1 - p .将 E 独立重复的进行 n 次,就称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
13、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结PXk nkn-kp q, kk0,1,2,n 满意条件（ 1） pk0 ,（ 2）kPk =1 留意1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到n pk q n-k 是二项式（ p kq）n 的绽开式中显现pk 的那一项,我们称随机变量X 听从参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 n, p 的二项分布。（ 3）泊松分布设 随 机 变 量 X所 有 可 能 取 的 值 为 0,1,2 , 而 取 各 个 值 的 概 率 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xk k e-, kk.0,1,2, 其中0 是常数,就称X
14、听从参数为的泊松分布记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X （ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数F x PXx,-x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 X 的分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分 布 函 数F xP Xx , 具 有 以 下 性 质 1F x是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 F x1,且 F 0, F 1（3） F x0F x, 即F
15、 x是右连续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：假如对于随机变量X 的分布函数 F（ x ）,存在非负可积函数f x ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于任意函数x 有 Fxxf（ t） dt,-就称 x 为连续性随机变量,其中函数fx 称为 X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的概率密度函数,简称概率密度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 概率密度（ 3）f x具有以下性质,满意（ 1）x
16、2f x0, 2-f xdx1。,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Px1Xx2 f xdx 。（ 4）如x1f x在点 x 处连续,就有F xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2,三种重要的连续型随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 匀称分布如连续性随机变量X 具有概率密度f x1, a b - axb,就成 X 在区间 a,b上听从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结匀称分布 .记为(2) 指数分布X U（ a, b）0 ,其他可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
17、总结如连续性随机变量X 的概率密度为f x1 e- x0, x.0,其他其中0 为常数,就称 X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结听从参数为的指数分布。（ 3）正态分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 连 续 型 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为f x x）221e2,-x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 , （0为常数,就称X 听从参数为, 的正态分布或高斯分布,记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X N（ , 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊
18、,当0,1 时称随机变量 X 听从标准正态分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度f x x,-x, 又设函数g x 到处可导且恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g, x0, 就Y=g X 是 连 续 型 随 机 变 量 , 其 概 率 密 度 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fY yf X h y0h, y ,y, 其他可编辑资料 - - - 欢迎下
19、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章多维随机变量 1 二维随机变量定义 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是Se.XXe 和 YYe是定义在 S 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的随机变量,称 XXe 为随机变量,由它们构成的一个向量（X ,Y）叫做二维随机变量设 （ X , Y ） 是 二 维 随 机 变 量 , 对 于 任 意 实 数 x , y , 二 元 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F（ x,y）PXxYy 记成PXx,Yy 称为二维随机变量（X , Y）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
20、结分布函数假如二维随机变量 （ X ,Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,就称（ X , Y ）是离散型的随机变量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们称P Xxi, Yy j pij , i, j1,2,为二维离散型随机变量（X , Y）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布律。对于二维随机变量 （ X ,Y ）的分布函数F（ x,y）,假如存在非负可积函数f（ x ,y）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使对于任意 x ,y 有 F（ x
21、, y）yxf （u, v） dudv,就称（X ,Y ）是连续性的随机变量,-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 f（ x, y）称为随机变量（ X , Y ）的概率密度,或称为随机变量X 和 Y 的联合概率密度。 2 边缘分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二维随机变量 （ X ,Y ）作为一个整体, 具有分布函数F（ x, y）.而 X 和 Y 都是随机可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变量, 各自也有分布函数, 将他们分别记为F（Xx, F（Yy）,依次称为二维随机变量（ X ,Y ）可编辑
22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pip ijj 1PXx i , i1,2,p jpiji 1PYy i ,j1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别称 pip j 为（ X ,Y ）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f X xf x, y） dyf Y yf x, y） dx 分别称f X x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fY y 为 X , Y 关于 X 和
23、关于 Y 的边缘概率密度 。 3 条件分布定义设（ X , Y ）是二维离散型随机变量,对于固定的j,如PYy j 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 P Xxi Yyj P Xxi ,Yyj pij,i1,2,为在 Yy j 条件下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PYy j p j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机变量 X 的条件分布律, 同样PYy j XXi P Xxi ,Yy j pij , j1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精
24、品名师归纳总结P Xxi pi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为在 Xxi 条件下随机变量 X 的条件分布律。设二维离散型随机变量（X ,Y ）的概率密度为f x, y ,（ X ,Y ）关于 Y 的边缘概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结率密度为f Y y ,如对于固定的 y,fY y 0,就称f x, y fY y为在 Y=y 的条件下 X 的条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概率密度,记
25、为f X Y x y =f Y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 相互独立的随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 设 F（ x, y）及FX x , FY y 分别是二维离散型随机变量（X ,Y ）的分布函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数及边缘分布函数 .如对于全部 x,y 有 P Xx, YyP XxPYy ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, yFX xFY y ,就称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。对于二维正态随机变量（X ,Y ）,X 和 Y 相互
26、独立的充要条件是参数 0 5 两个随机变量的函数的分布1,Z=X+Y的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度f x, y .就 Z=X+Y仍为连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机变量,其概率密度为f X Y zf zy, y） dy 或f X Y zf x, zx）dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如 X 和 Y 相互独立,设（ X ,Y ）关于 X ,Y 的边缘密度分别为f X x,f Y y 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
27、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f X Y zf X zy） f（Yy) dy和 f XY zf X x） fY zxdx 这两个公式称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f X ,fY 的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍旧听从正态分布Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2, Z的分布、 ZXXY的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度f x, y ,就ZY ,ZXY X可编辑资
28、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仍为连续性随机变量其概率密度分别为f Y X zx f x, xzdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f XY z1zx f x, xdx 又如 X 和 Y 相互独立,设（ X , Y ）关于 X , Y 的边缘密度分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 f X x,f Y y 就可化为fY Xzf X xfY xzdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
29、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结f XY z1f X xxfY z) dx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 MmaxX,Y 及NminX ,Y的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 X , Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX x, FY y 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M maxX ,Y不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z 故有PMzPXz,Yz 又可编辑资料
30、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 X 和 Y 相互独立,得到 MmaxX , Y的分布函数为Fmax zFX z FY z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N minX,Y 的分布函数为Fmin z11FX z 1FY z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四章随机变量的数字特点 1数学期望可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义设离散型随机变量X 的分布律为P Xxk pk ,k=1,2 ,如级数xk pk 肯定k 1可编辑资料 - - - 欢迎下
31、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结收敛, 就称级数xk pkk 1的和为随机变量 X 的数学期望, 记为E X ,即E X xk pki可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设连续型随机变量X 的概率密度为f x,如积分xf x dx 肯定收敛,就称积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf xdx 的值为随机变量 X 的数学期望,记为E X ,即E X xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理设 Y 是随机变量 X 的
32、函数 Y= g X g 是连续函数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ i ）假如 X 是离散型随机变量 ,它的分布律为P Xx k pk ,k=1,2,如g xk）pkk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结肯定收敛就有E Y Eg X g xk）pkk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）假如 X 是连续型随机变量 ,它的分概率密度为f x ,如g x fxdx 肯定收敛就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 EY E g X g x f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学期望的几个重要性质1 设 C 是常数,就有ECC可编辑资料 - - -