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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【教学过程】*揭示课题7.2.3 平面对量的数乘运算*情境导入有一同学从O 点动身,向东行进,1 秒后到达 A 点,根据相同的走法,问3 秒后人在哪里,用向量怎么表示？观看图715 可以看出,向量uuur OC 与向量 a 共线,并且uuur OC 3aaO aA aB aC 图 7- 15 *引入新知一般地,实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a,它的模为| a | | | a |（73）如 | a | 0,就当0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当0 时,a 的方向与 a的方向相反 当 0 时,a= 0；实数 与向量的乘法运算叫做 向
2、量的数乘运算；由上面定义可以得到,对于非零向量 a、b,当 0 时,有ab a b（74）简单验证,对于任意向量 a, b 及任意实数、,向量数乘运算满意如下的法就：1 1 a a,1 a a；2 a a a；3 a a a； a b a b【做一做】请画出图形来,分别验证这些法就向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似,因此, 实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形,可直接应用于向量的运算中但是,要留意向量的运算与数名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的运算的意义是不同的*例题讲解例 1 在平行四边形
3、ABCD 中, O 为两对角线交点如图uuur 716, ABuuura , ADb,试用 a, buuur 表示向量 AOuuur、 OD图 716 例2 运算：（1）（-3 ） 4a （2）5（a+b）-2（a-b）（3）（a+4 b -3 c）- （2 a -3 b -5 c）*练习强化1 运算：（1）3（a - 2 b） 2（2 ab）；（2）3 a - 2（3 a - 4 b） 3（ a - b）2设 a, b 不共线,求作有向线段uuur OAuuur,使 OA1 2（ab）*揭示课题7.4.1 平面对量的内积*情境导入F O 30s 图 721 如图 721 所示,水平地面上有一
4、辆车,某人用100 N 的力,朝着与水平线成30 角的方向拉小车,使小车前进了100 m那么,这个人做了多少功？名师归纳总结 我们知道, 这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图 722 所示, 设第 2 页,共 4 页水平方向的单位向量为i,垂直方向的单位向量为j,就Fx i + y j Fo cos30iFo sin 30j,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s,即3105003 （ J）W Fcos30 s 1002*引入新知力 F 与位
5、移 s 都是向量,而功W 是一个数量,它等于由两个向量F,s 的模及它们的B 夹角的余弦的乘积,W 叫做向量 F 与向量 s 的 内积 ,它是一个数量,又叫做数量积 如图 723,设有两个非零向量uuur a, b,作 OAuuur a, OBb,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量a 与向量 b 的夹角 ,aA 记作 我们规定,0o180oO b两个向量a, b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量图 723 a 与向量 b 的内积 ,记作 ab, 即a b a|b|cos 7.10 上面的问题中,人所做的功可以记作WFs.由内积的定义可知a00, 0 a0由内积的定义可以得到下面几个重
6、要结果：（1）当 0 时, ab|a|b|；当 180 o时, ab- |a|b|. a,b,（2）cos|a b|. a|b（3）当 ba 时,有 0,所以 aa |a|a|a|2,即 |a|a a . （4）当a b90o 时,ab,因此, ababcos90o0,因此对非零向量有ab0ab.可以验证,向量的内积满意下面的运算律：（1）ab bab（2） a baba（3）ab cacbc留意 ：一般地,向量的内积不满意结合律,即名师归纳总结 a b c （ ab）c. 第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - *例题讲解 例 1 已知 |a|3,|b|2, 60 ,求 ab例 2 已知 |a|b|2 ,ab2 ,求*练习强化1. 已知 |a|7,|b|4,a 和 b 的夹角为 60 ,求 ab2. 已知 aa9,求|a|3. 已知 |a|2,|b| 3, 30 ,求 2abb*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？名师归纳总结 结论：向量的数乘运算得到的是平行向量,向量的模为|a|a|第 4 页,共 4 页向量的内积运算得到的是数量,ab a|b|cos - - - - - - -