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1、 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.会实数与向量积的坐标表示2.记住两个向量共线的坐标表示3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题【自主学习】知识点1 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；(2)设向量a(x1，y1)，则a(x1，y1)(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则知识点2 两个向量共线的坐标表示(1)向量a，b共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1
2、y2x2y10.(2)向量共线的坐标表示的推导设a(x1，y1)，b(x2，y2)0，则abab(R)上式若用坐标表示，可写为ab(x1，y1)(x2，y2)，即abx1y2x2y10.设a(x1，y1)，b(x2，y2)0时，abx1y2x2y10.综上，向量共线的坐标表示为abx1y2x2y10.【合作探究】探究一 平面向量数乘运算的坐标表示 【例1】已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab,3a4b的坐标解ab(2,1)(3,4)(1,5)，ab(2,1)(3,4)(5, 3)，3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19). 归纳总结：1)相等向量的坐标是相同
3、的，解题时注意利用向量相等建立方程(组).2)进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.【练习1】已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).探究二 两个向量共线的坐标表示【例2】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是
4、反向？分析先计算出kab与a3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向解因为a3b(1,2)3(3,2)(10，4)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，又(kab)(a3b)，故4(k3)10(2k2)，即k.这时kab，且a3b与ab的对应坐标异号，故当k时，kab与a3b平行，并且是反向的归纳总结：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线对条件的理解有两方面的含义：由x1y2x2y10，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2x2y10.【练习2】已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若
5、c(2ab)，则 .答案.解析：2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.探究三 三点共线问题 【例3-1】已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：A，B，C三点共线；解(1)证明：(4,8)，(6,12)412860，即与共线又与有公共点A，A，B，C三点共线【例3-2】设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.归纳总结：一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用；二是利用坐标运算.【练习3】如果向量i2j，
6、imj，其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线解：依题意知i(1,0)，j(0,1)，则(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)、共线，1m(2)10，m2.即当m2时，A、B、C三点共线探究四 待定系数法求向量 【例4】已知a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，试用a，b表示c.解设cxayb，则(10，4)x(2,3)y(3,1)(2x3y,3xy)，解得x2，y2，c2a2b.归纳总结：待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用
7、方法【练习4】已知a(10，5)，b(3,2)，c(2,2)，试用b，c表示a.解设abc (，R)则(10，5)(3,2)(2,2)(3，2)(2，2)(32，22)解得abc.探究五 利用向量共线解决几何问题【例5】已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标解设点P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，P、B、O三点共线，.4x4y0.又(x，y)(4,0)(x4，y)，(2,6)(4,0)(2,6)P、A、C三点共线，6(x4)2y0.由得点P的坐标为(3,3)归纳总结：1)向量共线在几何中的应用可分为两个方面：已知两向量共线，求点或向量的
8、坐标；证明或判断三点共线、直线平行.2)解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.【练习5】如图，已知直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|1，则|1，|2.CEAB，且ADDC，四边形AECD为正方形可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1，0)(1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)
9、(1,1)，即DEBC.(2)如图，连接MB，MD，M为EC的中点，M(0，)，(1,1)(0，)(1，)，(1,0)(0，)(1，)，.又MD与MB有公共点M，D，M，B三点共线.课后作业A组 基础题一、选择题已知向量，若，则m =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3答案及解析：C【分析】根据向量的坐标运算，求得，再结合，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因为，可得，解得.故选：C.2.已知向量，且，则（ ）A. 2B. 2C. D. 答案及解析：C【分析】由向量平行的坐标公式，即可求得.【详解】，解得，故选：C.3.已知向量，若向量与向量共线，则实数（ ）A. 5B. 5C. 1D.
10、 1答案及解析：B【分析】根据向量的加法运算，求得的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.【详解】因为，又与向量共线故可得，解得.故选：B.4.已知向量，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件答案及解析：A【分析】向量，则，即，或者-1，判断出即可【详解】解：向量，则，即，或者-1，所以是或者的充分不必要条件，故选：A5.已知，且，则（ ）A. 9B. 9C. 1D. 1答案及解析：A【分析】利用向量共线定理，得到，即可求解，得到答案【详解】由题意，向量，因为向量，所以，解得.故选A6.已知，向量与平行，则实数k的值为（ ）A. B
11、. C. D. 答案及解析：C【分析】利用向量共线的坐标形式可求实数的值.【详解】，即，.故选：C.7.与向量平行的单位向量是（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. D. (3,4) 答案及解析：C【分析】由计算即可得出答案.【详解】与向量平行的一个单位向量，所以.故选：C8.已知，若，则等于（ ）A. B. C. D. 答案及解析：A【分析】根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.【详解】由题知:,因为,所以,故,故选:A.9.（多选题）以A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是（ ）A. (2,3)B. (2,1)C. (4,1)D
12、. (2,1)答案及解析：ACD【分析】设再根据向量相等分类讨论可得；【详解】解：设，若，则，即解得，即；若，则，即解得，即；若，则，即解得，即；故选：ACD二、填空题10.已知向量（1，1），且，则m的值等于_.答案及解析：2【分析】计算，由向量共线的坐标运算可者【详解】由题意，因为，所以，解得故答案为：11.已知向量=(1，1)，=(，2)，若，则实数t =_.答案及解析：3【分析】先根据向量的坐标运算法则，计算出和，然后根据向量平行的坐标公式列式计算出.【详解】=(1，1)，=(，2)，又，.故答案为：.12.已知，若A、B、C三点在同一直线上，则k =_.答案及解析：1【分析】利用向量
13、共线的性质列方程即可得出【详解】，、三点共线，解得故答案为：13.设向量，若向量与向量共线，则 。答案及解析：2【分析】由题意首先求得向量，然后结合向量平行的充分必要条件可得的值.【详解】=，由向量共线的充分必要条件有：.故答案为214.已知三点P、P1、P2在一条直线上，点，且，则点P的坐标为_.答案及解析：；【分析】先设点，再结合向量相等的坐标表示求解即可.【详解】解：设点，由，则，又，则 ，解得，即，故答案为：.三、解答题15.已知向量，向量.（1）求向量的坐标； （2）当为何值时，向量与向量共线.答案及解析：（1）（2）试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向
14、量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），与共线，16.已知向量，.向量，.（1）求；（2）求向量，的坐标；（3）判断向量与是否平行，并说明理由.答案及解析：（1）；（2），；（3）向量与平行；【详解】（1）由，得；（2），；（3），所以向量与平行.17.已知向量，向量.（1）求向量的坐标； （2）当k为何值时，向量与向量共线.答案及解析（1）（2）试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），与共线，18.已知.（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；（2）若,求点C的坐标.答案及解析（1）a+b=
15、2；（2）(5,-3).【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标【详解】由题意知，（1）三点共线， (2)，解得，点的坐标为B组 能力提升一、选择题1.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是( )A. (,2)B. (2,+) C. (, +)D. (,2)(2,+) 答案及解析：D【分析】根据平面向量基本定理只需不共线即可.【详解】由题意得,平面内的任一向量c都可以唯一表示成(为实数),则一定不共线,所以,解得,所以m的取值范围是.故选：D
16、.2.在ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点若，则a、b的值分别为（ ）A. B. C. D. 答案及解析：A【分析】取的中点为，连接，可证是的中点，从而根据平面向量的线性运算计算可得.【详解】解：取的中点为，连接，由已知得，所以，又因为是的中点，所以是的中点，所以所以，故选：3.已知向量，若则的最小值为A. 12B. C. 15D. 答案及解析：D【分析】因为，所以3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.【详解】因为，所以3a+2b=1,所以.当且仅当时取到最小值.4.已知向量，.且，则（ ）A. 2B.3C. 3D. 答案及解析：B【分析】通过
17、得到，再利用和差公式得到答案.【详解】向量，.且故答案为B5.向量，且，则( )A. B. C. D. 答案及解析：C【分析】先根据求出的值，再利用诱导公式化简即得解.【详解】因为，所以，所以.所以.故选：C6.对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.若平面内点A，B的坐标分别为，把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）A. B. (0,2)C. D. 答案及解析：C【分析】先求出，再求点P的坐标得解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以点的坐标为.故选：C7.（多选题）已知向量，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以
18、为（ ）A.2B. C. 1D. 1答案及解析：ABD【分析】若点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，即向量不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解【详解】若点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量不共线，由于向量，故，若A，B，C三点不共线，则 故选：ABD二、填空题8.已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对为向量在基底下的坐标.给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为(1,2)，那么在基底，下的坐标为_.答案及解析：【分析】由题可知，若将，作为基底，则设，然后展开化简得，从而得，解出的值就得到所求的坐标【详解】解：由在基底下的坐标为，得，设
19、在基底，下的坐标为，则所以所以解得，所以在基底，下的坐标为，故答案为：9.已知，且，则 答案及解析：【详解】因为，由知，属于，10.设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_答案及解析：【分析】根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值11.已知，若，则_答案及解析：-3由可知，解得，三、解答题12.已知向量，且，其中（1）求的值；（2）若，求的值.答案及解析：（1）（2）【分析】（1）根据向量平行坐标表示列方程，再根据同角三角函数关系以及特殊角三角函数值求结果；（2）根据同角三角函数
20、平方关系以及角的范围得，再利用两角和余弦公式得结果.【详解】（1），且，即，（2），.，.C组 挑战压轴题一、选择题1.已知关于x的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（ ）A. 至少有一个解B. 至多有一个解C. 至多有两个解D. 可能有无数个解答案及解析：B【分析】根据平面向量基本定理可知，从而将方程整理为，由不共线可得，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：则方程可变为：即：不共线 可知方程组可能无解，也可能有一个解方程至多有一个解本题正确选项：二、填空题2.如图，在平面四边形ABCD中，点E在线段BC上，且，若，则的值为_.答案及解
21、析：【分析】根据题意要求的值，则要求出中的值，故考虑以点为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.【详解】解:如图建立直角坐标系：设，则，点在线段上，且，所以，因为在中，所以，由题知，是等腰三角形.所以，所以，若，则，解得，所以.故答案为：.3.如图，在等腰梯形ABCD中，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若，其中，则的取值范围是_.答案及解析：0，2 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出、，利用辅助角公式化简，再利用正弦函数性质可求得结论【详解】建立平面直角坐标系如图所示，则，
22、；设，由，由解得，时，故答案为：，三、解答题4.如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M设，（1）试用向量，表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M设，其中当EF与AD重合时，此时；当EF与BC重合时，此时；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式恒成立，请说明理由答案及解析：（1）；（2）能得出结论，理由详见解析.【分析】（1）设，可得，联立可解得，；（2）设，可得，又，故，即，即得解【详解】（1）设，由A，D，B三点共线，可知存在（，且）使得，则，又，所以，即，由B，C，M三点共线，可知存在（，且）使得，则，又，所以， 即由得，故（2）能得出结论理由：由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且），使得，于是，又，所以，所以，从而，所以消去得