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1、【教学过程】*揭示课题7.2.3 平面向量的数乘运算*情境导入有一同学从O 点出发，向东行进，1 秒后到达 A 点，按照相同的走法，问3 秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图715 可以看出，向量uu u rOC 与向量 a共线，并且OCuu u r 3a图 7- 15 *引入新知一般地，实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的模为|aa（73）若 |a0，则当0 时，a 的方向与a 的方向相同，当0 时，a 的方向与a的方向相反当 0时，a= 0。实数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0时，有abab（74）容易验证，对于任意向量a, b 及任
2、意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：111aaaa，；2aaa；3aaa；abab 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此， 实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数aaaaO A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页的运算的意义是不同的*例题讲解例 1 在平行四边形ABCD 中， O 为两对角线交点如图716， ABuuu ra ， ADuuu rb，试用 a, b表示向量AOu uu r、 O
3、Duu ur例2 计算：（1） （-3 ） 4a （2）5（a+b）-2（a-b）（3） （a+4 b -3 c）- （2 a -3 b -5 c）*练习强化1 计算： （1）3（a - 2 b） 2（2 ab） ；（2）3 a - 2（3 a - 4 b） 3（ a - b） 2设 a, b 不共线，求作有向线段OAuuu r，使 OAu uu r12（ab） *揭示课题7.4.1 平面向量的内积*情境导入如图 721 所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100 m那么，这个人做了多少功？我们知道， 这个人做功等于力与在力的方向上移
4、动的距离的乘积如图 722 所示， 设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则Fx i + y j cos30sin 30FiFjoo，F s 图 721 30O 图 716精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W Fcos30 s 10023 105003（ J）*引入新知力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量 s的
5、内积 ,它是一个数量，又叫做数量积 如图 723， 设有两个非零向量a, b， 作 OAu uu r a, OBuuu rb,由射线 OA与 OB 所形成的角叫做向量a 与向量 b 的夹角 ，记作 我们规定，0180oo两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量 b 的内积 ，记作 ab, 即ab a|b|cos (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作WFs.由内积的定义可知a00, 0a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当 0 时， ab|a|b|；当 180o时， a b- |a|b|. （2）cos|a bab. （3）当 ba 时，有 0，所以 aa
6、 |a|a|a|2，即 |a|a a . （4）当,90a bo时，ab，因此， abcos900,abo因此对非零向量a，b，有ab0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）ab ba（2）(a)b(ab)a(b)（3）(ab)cacbc注意 ：一般地，向量的内积不满足结合律，即a(bc)（ ab） c. B A O 图 723 ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页*例题讲解例 1 已知 |a|3,|b|2, 60,求 a b例 2 已知 |a|b|2,ab2,求*练习强化1. 已知 |a|7，|b|4，a 和 b 的夹角为60，求 ab2. 已知 aa9,求|a|3. 已知 |a|2,|b| 3, 30，求 (2ab)b*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？结论：向量的数乘运算得到的是平行向量，向量的模为|aa向量的内积运算得到的是数量，ab a|b|cos 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页