《2022年平面向量数乘运算 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年平面向量数乘运算 .pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、平面向量的数乘运算一、知识精讲1向量的数乘运算(1) 向量的数乘运算的概念：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：|a| | a| ；a( a0)的方向当时，与 a方向相同；当时，与 a方向相反 .特别地，当 0 或 a0 时， 0a0 或 00. (2) 向量数乘的运算律： (a)()a；( )a aa； (ab)ab.(3)向量的线性运算：向量的加、 减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量 a，b，以及任意实数 、1、2，恒有 (1a 2b)1a2b.2共线向量定理向量 a(a0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba. 小
2、问题大思维 1若 a0，则 0 对吗？提示：不对当a0 时， 0 或 a0. 2共线向量定理中ba，a 若为 0 如何？提示：当 a0 时，则 不存在 (b0 时)或者不唯一 (b0 时)3已知向量 a，b不共线，则 ma3b与 n 2a6b共线吗？提示： n2m，故 m与 n 共线4与非零向量 a 共线的单位向量是什么？提示： 由于单位向量的长度总等于1，所以与非零向量a 共线的单位向量应为 a|a|. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - -
3、 - - - - - - 二、典例精析例 11312(2a8b)(4a2b)的结果是() A2abB2baCbaDab 答案B 变式练习：1若 abc，化简 3(a2b)2(3bc)2(ab)() A aBbC cD以上都不对解析： 3(a2b)2(3bc)2(ab) 3a6b6b2c2a2ba2(bc)又 abc，故原式 a. 答案： A 例 2如图所示，四边形OADB 是以向量OAa，OBb 为邻边的平行四边形又 BM13BC，CN13CD，试用 a，b表示OM，ON，MN. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 变式练习：1、在本例条件中，试用a，b表示CM. 2、 设 D、 E、 F 分别是 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且DC2BD，CE2EA，AF2FB，则ADBFCF与BC() A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直答案： A 例 3设两非零向量 a 和 b不共线，如果ABab，CD3(ab)，BC2a8b.求证： A、B、D 三点共线变式练习：已知 e1，e2是两个不共线的向量， a2e1e2，bke1e2.若 a 与 b是共线向量，求实数 k 的值名师资料总结 -
5、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解题高手：如图所示，已知平行四边形ABCD 的边 BC、CD 的中点分别为 K、L，且AKe1，ALe2，试用 e1，e2表示BC，CD. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 三、课后检测一、选择题1 已知两不共线的向量
6、a， b， 若对非零实数m， n 有 manb 与 a2b 共线，则mn () A 2 B 2 C12D.12解析： manb (a2b)，m ，n 2 ，mn12. 答案： C 2如图，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC3CB，设OAp，OBq，OCr，则下列等式中成立的是() A r12p32qBr p2qC r32p12qDr q2p解析： AC 3CB，AB 2CB2BC，rOCOAABBC12p32q. 答案： A 3在?ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线交CD 于点F.若ACa，BDb，则AF () A.14a12bB
7、.23a13bC.12a14bD.13a23b解析： 如图 DEF BEA. DFABDEEB13. DF 13AB13DC. CF23DC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - AFACCEa23CDa23(COOD) a2312a12b 23a13b. 答案： B 4已知平面内有一点P 及一个 ABC，若PAPBPCAB，则 () A点 P 在 ABC 外部B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上D点
8、 P 在线段 AC 上解析： 由PAPBPCAB，得ABPBPAPC，即APPAPC， 2APPC. 答案： D 二、填空题5在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD2DB，CD13CACB，则 等于 _解析： 由AD2DB，得CDCA2(CBCD)?CD13CA23CB，所以 23. 答案：236在?ABCD 中，E，F 分别在 DC 和 AB 上，且 DE113DC， AF 1213AB，则AE与CF的关系是 _解析： 设ADa，ABb. DE113DC，AF 1213AB，AEADDEa113b，CFCBBF a113bAE. 答案：CFAE7在 ?ABCD 中，AB a，A
9、Db，AN3NC， M 为 BC 的中点，则MN_.(用 a，b 表示 ) 解析： 由AN3NC，得4AN 3AC3(ab)，AMa12b，所以MN34(a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - b) (a12b)14a14b. 答案： 14a14b8如图，在三角形ABC 中，ABa，BCb，AD 为 BC 边的中线， G 为ABC 的重心，用a、b 表示向量AG_. 解析： D 是 BC 的中点， G 是重心，AG23
10、AD23(ABBD)23(AB12BC) 23a13b. 答案：23a13b三、解答题9已知 a，b是两个不共线的非零向量，若a 与 b 起点相同，则实数t 为何值时， a，tb，13(ab)三向量的终点共线？解： 由已知，存在唯一实数 ，使 atb a13(ab)，化简得 (23 1)a(3 t)b. 由于 a，b不共线，故23 10，3t0，解得 32，t12，即 t12时，三向量的终点共线10设 O 是 ABC 内部一点，且OAOC 3OB，求 AOB 与 AOC 的面积之比解：如图， 由平行四边形法则，知OAOCOD，其中 E 为 AC的中点所以OAOC2OE 3OB. 所以OB23OE，|OB|23|OE|. 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 SAOB12|OB| h， SAOC2SAOE |OE| h，所以SAOBSAOC12|OB| h|OE| h12|OB|OE|122313. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -