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1、2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为 2（5分）命题“xR，x2+2x+10”的否定是 命题（选填“真”、“假”之一）3（5分）抛物线y24x的准线方程是 4（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为 5（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，4），则抛物线的方程为 6（5分）（文科做）曲线yex+1在x0处的切线方程为 7（理科做）在空间直角坐标系Oxyz中，若三点A（1，5，
2、2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b 8（5分）设aR，则“a1”是“|a|1”的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）9（5分）若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 10（5分）一个正四棱锥的底面边长为3cm，侧棱长为5cm，则它的体积为 cm311（5分）双曲线y21（其中a0）的离心率为2，则实数a的值为 12（5分）（文科做）已知函数f（x）x3+x2x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为 13（理科做）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为 1
3、4（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是 若mn，n，则m； 若m，则m；mn，n，则m； 若m，n，n，则m15（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B若AF1B的面积为40，内角A为60°，则椭圆的焦距为 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：ykx5（其中k0）上存在点P，在圆C：x2+（y1）21上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是 二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答
4、应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（xm）2+（y+2）29（其中mR）设p：点（1，2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y1）24外离（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若q为真命题，求m的取值范围；（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，BCAB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF平面ABCD求证：（1）EF平面PBD；（2）AE平面PEF19（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（m0，n0）经过点（，0），其中一条近线的方程为yx，椭
5、圆C2：1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程20（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x4）2+y29与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，4）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l上存在点M，满足MA2MB求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求MAB面积的最大值及此时直线l的方程21（16分）（文科做）已知函数f（x）x3（a+1）x2+x（1）若a0，求f（x）的单调减区间；（2）当a在区间（0，1）上变化时，求
6、f（x）的极小值的最大值22（理科做）如图，正四棱锥VABCD底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点（1）求向量，的夹角的余弦值；（2）求二面角BVCD的余弦值23（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（ab0）过点（1，e），（e，），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0ma）的动直线l与椭圆交于A，B两点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若OMAOMB总成立，求m的值；（3）是否存在定点M（x0，0）（其中x0a），使得OMAOMB总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表
7、示x0）；如果不存在，请说明理由2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为【解答】解：根据直线的斜率公式得k，故答案为：2（5分）命题“xR，x2+2x+10”的否定是假命题（选填“真”、“假”之一）【解答】解：由x2+2x+10得（x+1）20，x1，则命题“xR，x2+2x+10”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假3（5分）抛物线y24x的准线方程是x1【解答】解：2p4，p2，开口向右，准线方
8、程是x1故答案为x14（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为【解答】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为（2r）38r3，球的体积为所以，球的体积与正方体的体积之比为故答案为：5（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，4），则抛物线的方程为x2y【解答】解：由题意可设抛物线方程为x22py（p0），抛物线经过点（1，4），18p，得p抛物线的方程为故答案为：x2y6（5分）（文科做）曲线yex+1在x0处的切线方程为yx+2【解答】解：yex+1的导数为yex，可得曲线yex+1在x0处的切线斜率为k1，切点为（0，2），
9、即有切线方程为yx+2故答案为：yx+27（理科做）在空间直角坐标系Oxyz中，若三点A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b7【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，三点A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则（1，1，3），（a1，2，b+2）；，解得a3，b4，a+b7故答案为：78（5分）设aR，则“a1”是“|a|1”的充分不必要条件条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）【解答】解：解绝对值不等式“|a|1”，得a1或a1，又“a1”是“a1或a1”的充分不必要条件，即“a1”是“|a|1”的充分不必
10、要条件，故答案为：充分不必要条件9（5分）若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（2，2）【解答】解：由题意可得a2+52a2+1，即a24，可得2a2，即a的曲折范围是（2，2）故答案为：（2，2）10（5分）一个正四棱锥的底面边长为3cm，侧棱长为5cm，则它的体积为24cm3【解答】解：如图，正四棱锥的底面边长为3cm，SABCD18cm3连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO底面ABCD，OCcm，又棱长PC5cm，OPcm，cm3故答案为：2411（5分）双曲线y21（其中a0）的离心率为2，则实数a的值为【解答】解：双曲线y21的b1，c，可得e2，解得a，故答案为
11、：12（5分）（文科做）已知函数f（x）x3+x2x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为（，）【解答】由函数f（x）x3+x2x得f（x）3x2+2x1令f（x）3x2+2x10，解得 x（1，），f（x）0 且x（，+），f（x）0为f（x）的极小值点函数f（x）在区间（a，a+2）上存在极小值 即故答案为：13（理科做）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设ABBC2AA12，则A（2，0
12、，0），C1（0，2，1），B1（2，2，1），C（0，2，0），（2，2，1），（2，0，1），设直线AC1与B1C所成角为，则cos直线AC1与B1C所成角的余弦值为故答案为：14（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是若mn，n，则m； 若m，则m；mn，n，则m； 若m，n，n，则m【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故错误；在中，若m，则m与相交、平行或m，故错误；在中，mn，n，则m与相交、平行或m，故错误；在中，若m，n，n，则由线面垂直的判定定理得m，故正确故
13、答案为：15（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B若AF1B的面积为40，内角A为60°，则椭圆的焦距为10【解答】解：由题意可得AF1F2为等边三角形，即有2ca，bc，可得椭圆方程为3x2+4y212c2，设直线AB的方程为xy+c，代入椭圆方程可得3（y2+c2cy）+4y212c2，化为5y22cy9c20，解得yc或yc，即有AF1B的面积为2c|yAyB|cc40，可得c5，即有椭圆的焦距为10故答案为：1016（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：ykx5（其中k0）上存在点P，在圆C：x2
14、+（y1）21上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是【解答】解：圆心坐标C（0，1），半径R2，则直径为2，要使在圆C：x2+（y1）21上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即MNMP，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线ykx5的最大值距离d1+23，即圆心到直线l：kxy50的距离d满足d3，即3，则2，平方得1+k24，得k23，得k或k（舍），则k 的最小值为，故答案为：二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（14分）在平面直角坐标系xOy中，
15、已知圆C1：（xm）2+（y+2）29（其中mR）设p：点（1，2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y1）24外离（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若q为真命题，求m的取值范围；（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围【解答】解：（1）若p为真命题，即点（1，2）在圆C1：（xm）2+（y+2）29内，则（1m）2+（2+2）29，解得2m4，即m的取值范围为（2，4）；（2）若q为真命题，即圆C1与圆C2外离，则5，解得m3或m5，即m的取值范围是（，5）（3，+）；（3）因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为（，5）（2，+）
16、18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，BCAB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF平面ABCD求证：（1）EF平面PBD；（2）AE平面PEF【解答】证明：（1）E，F分别是BC，CD的中点，EFBD，EF平面PBD，BD平面PBD，EF平面PBD（2）设ABa，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，BCAB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF平面ABCD，EFa，AEa，AF，AE2+EF2AF2，AEEF，PF平面ABCD，AE平面ABCD，PFAE，PFEFF，AE平面PEF19（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（m0，n0）经过点（，0）
17、，其中一条近线的方程为yx，椭圆C2：1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程【解答】解：（1）双曲线C1：1（m0，n0）经过点（，0），可得m23，其中一条近线的方程为yx，可得，解得m，n1，即有双曲线C1的方程为y21；（2）椭圆C2：1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点，可得a2b24，椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F（2，0），A（a，0），B（0，b），由点F到直线AB：bxay+ab0的距离为，可得，化为a2+b27（a2）2，由解得a4，b2，则椭圆C
18、2的方程为120（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x4）2+y29与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，4）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l上存在点M，满足MA2MB求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求MAB面积的最大值及此时直线l的方程【解答】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x1，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为y+4k（x1），即kxyk40（1）若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离d3，解得k，即直线l的方程为7x24y1030，综上直线l
19、的方程为7x24y1030或x1（2）设M（x，y），则由MA2MB，得，MA24MB2，即（x1）2+y24（x7）2+y2整理得：（x9）2+y216，即点M在圆（x9）2+y216上，根据题意直线l与圆（x9）2+y216有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：kxyk40与圆（x9）2+y216有公共点，即4，解得0k，即直线l的斜率的范围0，M在圆（x9）2+y216上，当点M的坐标为（9，4）或（9，4）时，M到x轴上的距离d取得最大值4，则MAB面积的最大值为ABdmax12，此时直线l的方程为xy50或y421（16分）（文科做）已知函数f（x）x3（a+1）x2+x
20、（1）若a0，求f（x）的单调减区间；（2）当a在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值【解答】解：（1）若a0，f（x），则f（x）的单调递减区间为（1，+）；若a0，则f（x）令f（x）0，得，即x或x1则f（x）的单调减区间为（，），（1，+）；（2）f（x），0a1当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（1，）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增f（x）的极小值为为f（）当a时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为22（理科做）如图，正四棱锥VABCD底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标
21、系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点（1）求向量，的夹角的余弦值；（2）求二面角BVCD的余弦值【解答】解：（1）根据条件知正四棱锥VABCD的高为3，根据条件，B（2，2，0），C（2，2，0），D（2，2，0），V（0，0，3），E（1，1，），（3，1，），（1，3，），向量，的夹角的余弦值为cos（2）（4，0，0），设平面BVC的一个法向量（x，y，z），则，取y3，得（0，3，2），同理可得平面DVC的一个法向量（3，0，2），设二面角BVCD的平面角为，由图知为钝角，则cos，二面角BVCD的余弦值为23（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（ab0）过点（
22、1，e），（e，），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0ma）的动直线l与椭圆交于A，B两点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若OMAOMB总成立，求m的值；（3）是否存在定点M（x0，0）（其中x0a），使得OMAOMB总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表示x0）；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）椭圆1（ab0）过点（1，e），（e，），解得a，bc1，椭圆方程为y21（2）椭圆的准线方程为x2，则M（2，0），当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，OMAOMB；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为yk（xm），k0，设A（x1，y1），B（x
23、2，y2），由，得（2k2+1）x24mk2x+2m2k220，x1+x2，x1x2，（*），OMAOMB总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，0对k（，0）（0，+）恒成立，即对k（，0）（0，+）恒成立，即2x1x2（m+2）（x1+x2）+4m0k（，0）（0，+）恒成立，代入（*）式并整理得m1（3）假设存在这样的点M（x0，0），（其中x0a）满足条件，则MA，MB的斜率同时存在且和为0，即0，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合（2）中（*）式有：x0为定值，这样的点M如果存在，其坐标只可能为（，0），m（0，），满足条件，M坐标为（，0）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:21:46；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265