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1、2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）直线xy+10的倾斜角大小为 2（5分）（文科）命题“存在xR，x2+x0”的否定是 3（理科）已知向量AB=（2，4，5），CD=（3，x，y），若ABCD，则xy 4（5分）过椭圆x24+y23=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，则ABF2（其中F2为椭圆的右焦点）的周长为 5（5分）设m，n是两条不同直线，是三个不同平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；，则其中正确命题的序号
2、是 6（5分）以点（2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是 7（5分）函数f(x)=12x2-4lnx在a，a+1上单调递减，则实数a的取值范围为 8（5分）如果方程x2a2+y2a+12=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 9（5分）圆O1：x2+y2+6x70与圆O2：x2+y2+6y270的位置关系是 10（5分）函数f（x）x2sinx，x0，的最小值为 11（5分）与双曲线x29-y216=1有公共的渐近线，且经过点A（3，23）的双曲线方程是 12（5分）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥AB1C1D的体积为 13（5分）抛物
3、线x22py（p0）的准线交圆x2+y2+6y160于点A，B，若AB8，则抛物线的焦点为 14（5分）已知函数f(x)=xex，x0x-2e，x0，若f（x1）f（x2）f（x3）（x1x2x3），则f(x2)x3的取值范围为 15（5分）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足F1AF290，则1e12+1e22的值为 二、解答题（本大题共4小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，DP平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点（1）求证：
4、BC平面PDC；（2）求证：EF平面PDC17（14分）已知ABC的内角平分线CD的方程为2x+y10，两个顶点为A（1，2），B（1，1）（1）求点A到直线CD的距离；（2）求点C的坐标18（14分）（文科）已知m为实数，命题P：“xm是x0的充分不必要条件”；命题Q：“若直线xy+10与圆（xm）2+y22有公共点”若“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，求m的取值范围19（理科）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，BAC90，ABACAA12，点M，N分別为A1B和B1C1的中点（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值20（1
5、6分）设直线l的方程为x+my1m0（mR），圆O的方程为x2+y2r2（r0）（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）当r=5时，直线x+2yt0与圆O交于M，N两点，若|OM+ON|3|MN|，求实数t的取值范围21（16分）已知椭圆C的焦点为（-15，0），（15，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：yx+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形22（16分）已知函数f(x)=alnxx，a0（1）当a1时，求：函数f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；函数f（x）的单调区
6、间和极值；（2）若不等式f(x)1-1x恒成立，求a的值2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）直线xy+10的倾斜角大小为45【解答】解：由直线xy+10变形得：yx+1所以该直线的斜率k1，设直线的倾斜角为，即tan1，0，180），45故答案为：452（5分）（文科）命题“存在xR，x2+x0”的否定是任意的xR，x2+x0【解答】解：命题“存在xR，x2+x0”的否定是：任意的xR，x2+x0，故答案为：任意的xR，x2+x03（理科）已
7、知向量AB=（2，4，5），CD=（3，x，y），若ABCD，则xy45【解答】解：ABCD，存在实数k使得AB=kCD2=3k4=kx5=ky，则xy=20k2=20(23)2=45故答案为：454（5分）过椭圆x24+y23=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，则ABF2（其中F2为椭圆的右焦点）的周长为8【解答】解：由椭圆x24+y23=1可得a2；椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a4ABF2的周长|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|8故答案为：85（5分）设m，n是两条不同直线，是三个不同平面，给出下列四个命题：
8、若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；，则其中正确命题的序号是【解答】解：由m，n是两条不同直线，是三个不同平面，知：在中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得mn，故正确；在中，若，m，则由线面垂直的判定定理得m，故正确；在中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，则与相交或平行，故错误故答案为：6（5分）以点（2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是（x+2）2+（y3）213【解答】解：以点（2，3）为圆心且过坐标原点的圆的半径为r=(0+2)2+(0-3)2=13，故圆的标准方程为（x+2）2+（y3）213，故答案为：（x+2）2+（y3）2137（5分）函数f(
9、x)=12x2-4lnx在a，a+1上单调递减，则实数a的取值范围为（0，1【解答】解：由f(x)=12x2-4lnx，得f（x）=x-4x（x0），函数f（x）在（0，+）上为增函数，要使函数f(x)=12x2-4lnx在a，a+1上单调递减，则a0f(a+1)=a+1-4a+10，解得0a1实数a的取值范围为（0，1故答案为：（0，18（5分）如果方程x2a2+y2a+12=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（12，3）（4，+）【解答】解：由题意，方程x2a2+y2a+12=1表示焦点在x轴上的椭圆，a2a+120，解得a4或12a3，实数a的取值范围是（12，3）（4，+）
10、故答案为：（12，3）（4，+）9（5分）圆O1：x2+y2+6x70与圆O2：x2+y2+6y270的位置关系是相交【解答】解：圆O1：x2+y2+6x70，化为标准方程为（x+3）2+y216，圆心为（3，0），半径为4，圆O2：x2+y2+6y270，化为标准方程为x2+（y+3）236，圆心为（0，3），半径为6，圆心距为3264326+4，两圆相交，故答案为：相交10（5分）函数f（x）x2sinx，x0，的最小值为3-3【解答】解：因为f（x）x2sinx，所以f（x）12cosx，当0x3时，f（x）0，当3x时，f（x）0，即函数f（x）在0，3为减函数，在3，为增函数，故f（
11、x）minf（3）=3-3，故答案为：3-311（5分）与双曲线x29-y216=1有公共的渐近线，且经过点A（3，23）的双曲线方程是x294-y24=1【解答】解：与双曲线x29-y216=1有公共的渐近线，设所求双曲线的方程为x29-y216=m（m0），代入点A（3，23），得m=14则所求双曲线的方程为x29-y216=14故答案为：x294-y24=112（5分）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥AB1C1D的体积为3【解答】解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，ADBC，又平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面
12、BCC1B1BC，AD平面BCC1B1，则VA-B1C1D=13122322-12=3故答案为：313（5分）抛物线x22py（p0）的准线交圆x2+y2+6y160于点A，B，若AB8，则抛物线的焦点为（0，6）【解答】解：抛物线的准线方程为：y=-P2，圆x2+y2+6y160，可得圆心（0，3），半径为：5，抛物线x22py（p0）的准线交圆x2+y2+6y160于点A，B，若AB8，可得：|p2-3|=25-16，解得：p12抛物线x224y，抛物线的焦点坐标：（0，6）故答案为：（0，6）14（5分）已知函数f(x)=xex，x0x-2e，x0，若f（x1）f（x2）f（x3）（x1
13、x2x3），则f(x2)x3的取值范围为（1，0）【解答】解：当x0时，f（x）xex，f（x）（1+x）ex，当x1时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，函数f（x）单调递增，f（x）minf（1）=-1e，当x时，f（x）0，当x0时，f（0）0，当x0时，f（x）-1e，0），分别画出yx-2e与yxex的图象，如图所示，1x20，-1ef（x2）0，当-1ex3-2e0时，1ex32e，f(x2)x3（1，0）故答案为：（1，0）15（5分）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足F1AF290，则1e12+1
14、e22的值为2【解答】解：可设A为第一象限的点，|AF1|m，|AF2|n，由椭圆的定义可得m+n2a，由双曲线的定义可得mn2a可得ma+a，naa，由F1AF290，可得m2+n2（2c）2，即为（a+a）2+（aa）24c2，化为a2+a22c2，则a2c2+a2c2=2，即有1e12+1e22=2故答案为：2二、解答题（本大题共4小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，DP平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点（1）求证：BC平面PDC；（2）求证：EF平面PDC【解答】证明：（1
15、）DP平面PBC，BC平面PBC，BCDP，又底面ABCD为矩形，BCDC，DCDPD，BC平面PDC解：（2）取PD中点G，E为PA的中点，EGAD，且EG=12AD，又F为BC中点，四边形ABCD为矩形，FCAD，且FC=12AD，EG与FC平行且相等，即四边形EGCF为平行四边形，EFCG，又EF平面PDC，CG平面PDC，EF平面PDC17（14分）已知ABC的内角平分线CD的方程为2x+y10，两个顶点为A（1，2），B（1，1）（1）求点A到直线CD的距离；（2）求点C的坐标【解答】解：（1）A（1，2）到内角平分线CD：2x+y10的距离为|2+2-1|4+1=355，（2）由题
16、意可得A关于直线CD的对称点A在直线BC上，设A（a，b），则由b-2a-1(-12)=-12a+12+b+12-1=0，求得a=-75b=45，A（-75，45），故直线BC即直线AB为 y+145+1=x+1-75+1，即 9x+2y+110把直线CD和直线BC联立方程组可得2x+y-1=09x+2y+11=0，求得x=-135y=315，故点C（-135，315）18（14分）（文科）已知m为实数，命题P：“xm是x0的充分不必要条件”；命题Q：“若直线xy+10与圆（xm）2+y22有公共点”若“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，求m的取值范围【解答】解：当P为真命题时，m0，当Q
17、为真命题时，由直线与圆的位置关系得：|m-0+1|12+(-1)22，解得：3m1，又“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，即命题P，Q一真一假，故m1m-3或m1或m0-3m1，解得：3m0或m1，即m的取值范围为：3，0（1，+），故答案为：3，0（1，+）19（理科）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，BAC90，ABACAA12，点M，N分別为A1B和B1C1的中点（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值【解答】证明：（1）以点A为原点，分别以AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），A1
18、（0，0，2），C（0，2，0），N（1，1，2），A1B=（2，0，2），NC=（1，1，2），设异面直线A1B与NC所成角为，则cosA1B，NC=A1BNC|A1B|NC|=2(-1)+01+(-2)(-2)89=36，异面直线A1B与NC所成角的余弦值为36解：（2）M（1，0，1），A1B=（2，0，2），NC=（1，1，2），MC=（1，2，1），设n=（x，y，z）是平面MNC的一个法向量，则nNC=-x+y-2z=0nMC=-x+2y-z=0，取y1，得n=（3，1，1），设A1B与平面NMC所成角的为，则sin=|A1Bn|A1B|n|=22211，A1B与平面NMC所成角的
19、正弦值为2221120（16分）设直线l的方程为x+my1m0（mR），圆O的方程为x2+y2r2（r0）（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）当r=5时，直线x+2yt0与圆O交于M，N两点，若|OM+ON|3|MN|，求实数t的取值范围【解答】解：（1）直线l的方程整理可得（y1）m+x10，直线l过定点P（1，1），要直线l与圆O都有公共点，只要P点在圆内或圆上，即12+12r2，又r0，r2；（2）设弦MN的中点为E，则OM+ON=2OE由垂径定理可得MN24ME24（OM2OE2），|OM+ON|3|MN|即为OE29（OM2OE2），则10OE245
20、，即OE292又OE25，92(|t|5)25，即t(-5，-31023102，5)21（16分）已知椭圆C的焦点为（-15，0），（15，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：yx+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，由椭圆的定义可得2a=(4+15)2+1+(4-15)2+1=32+815+32-8152(5+3)+2(5-3)=45，a=25，b2a2155，因此，椭圆C的标准方程为x220+y25=1；（2）设点A（x1，y1）、B
21、（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程，消去y并化简得5x2+8mx+4m2200，由韦达定理可得x1+x2=-8m5，x1x2=4m2-205，直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，64m220（4m220）16（25m2）0，解得5m5，所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则k1+k2=y1-1x1-4+y2-1x2-4=(y1-1)(x2-4)-(y2-1)(x1-1)(x1-4)(x2-4)=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)(x1-4)(x2-4)=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)(x1-4
22、)(x2-4) =24m2-205-8m(m-5)5-8(m-1)(x1-4)(x2-4)=0，故原命题成立22（16分）已知函数f(x)=alnxx，a0（1）当a1时，求：函数f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；函数f（x）的单调区间和极值；（2）若不等式f(x)1-1x恒成立，求a的值【解答】解：（1）a1时，f（x）=lnxx，f（x）=1-lnxx2，f（1）1，又f（1）0函数f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程为y01（x1），即xy10令f（x）=1-lnxx2=0，解得xe x （0，e） e （e，+） f（x）+ 0 f（x） 单调递增 极大值 单调递减可得函数
23、f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+），可得极大值为f（e）=1e，为极小值（2）由题意可得：x0，由不等式f(x)1-1x恒成立，即x1alnx0恒成立令g（x）x1alnx0，g（1）0，x（0，+）g（x）1-ax=x-ax若a0，则函数g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）0，x（0，1）时，g（x）0，不符合题意，舍去若0a1，则函数g（x）在（a，+）上g（x）0，即函数g（x）单调递增，又g（1）0，x（a，1）时，g（x）0，不符合题意，舍去若a1，则函数g（x）在（1，+）上g（x）0，即函数g（x）单调递增，x（a，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递减x1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）0，x0时，g（x）0恒成立若1a，则函数g（x）在（0，a）上g（x）0，即函数g（x）单调递减，又g（1）0，x（1，a）时，g（x）0，不符合题意，舍去综上可得：a1声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:22:10；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265第14页（共14页）