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1、2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知命题p：x0，exex，写出命题p的否定： 2（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22x的准线方程为 3（5分）已知f（x）exsinx，则f（0）的值为 4（5分）设复数z满足（z2）i1+i（i为虚数单位），则z的实部是 5（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：y21上一点若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为 6（5分）已知实数x，y满足，则zx+2y的最小值为 7（5分）在平面直角坐标系xOy中
2、，“m0”是“方程x2+my21表示椭圆”的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的顶点到它的渐近线的距离为 9（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足15，则PO的最大值是 10（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点若AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 11（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（xa）2+（ya2）21与圆C2：x2+y22x30有公共点，则实数a的
3、取值范围是 12（5分）如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，点M为PA的中点，若MNAD，则实数 13（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x1）2+y21，点A（3，1），P为抛物线y22x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是 14（5分）已知函数f（x）x33a2x6a2+4a（a0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1（ab0）经过点A（4，0），其离心率为（1）
4、求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且F1PF2，求点P到y轴的距离16（14分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线yx2x6与坐标轴的三个交点（1）求圆C的方程；（2）经过点P（2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程18（16分）如图，从一个面积为15的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以A
5、B，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）记这两个圆柱的体积之和为V（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值19（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）（1）若点A的坐标为 （0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k20；（3）求AF1B面积最大时的直线l的方程20（16分）已知函数f（x）alnx，aR（1）若a2，且直线yx+m是曲线yf（x）的一条切
6、线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）1对任意x（1，+）恒成立，求a的取值范围；（3）若函数h（x）f（x）x有两个极值点x1，x2（x1x2），且h（x2）h（x1），求a的取值范围2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知命题p：x0，exex，写出命题p的否定：x0，exex【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：x0，exex，的否定是：x0，exex故答案为：x0，exex2（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22x的准线方
7、程为x【解答】解：抛物线y22x的焦点到其准线的距离为：p1抛物线的准线方程为：x故答案为：x3（5分）已知f（x）exsinx，则f（0）的值为1【解答】解：f（x）exsinx，f（x）（ex）sinx+ex（sinx）exsinx+excosx，f'（0）0+11故答案为：14（5分）设复数z满足（z2）i1+i（i为虚数单位），则z的实部是3【解答】解：由（z2）i1+i得，z3i，所以复数的实部为：3故答案为：35（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：y21上一点若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为【解答】解：椭圆C：y21，可得e，由椭圆的
8、第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d故答案为：6（5分）已知实数x，y满足，则zx+2y的最小值为1【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，1）化zx+2y为yx，由图可知，当直线yx过B（3，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z3+2×（1）1故答案为：17（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m0”是“方程x2+my21表示椭圆”的必要不充分条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my21表示椭圆”的充要条件为：，又“m0”是“”的必要不充分条件，所以，“m0”是“方程
9、x2+my21表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分8（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的顶点到它的渐近线的距离为【解答】解：双曲线y21的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为yx，即x2y0，则点到直线的距离公式d，故答案为：9（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足15，则PO的最大值是3【解答】解：设P（x，y），则（4x，y），（x，2y）15，x（x4）+y（y2）15，即（x2）2+（y1）220，点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，PO的最大值为：|OC|+半径3故答案为：310（5分）在平面直角坐
10、标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点若AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是（1，1）【解答】解：点F1、F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），AF1B是锐角三角形，AF1F245°，tanAF1F21，1，整理，得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e10，解得e1，或e1，（舍），0e1，椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）故答案为：（1，1）11（5分）在平面直角坐标系x
11、Oy中，圆C1：（xa）2+（ya2）21与圆C2：x2+y22x30有公共点，则实数a的取值范围是2，1【解答】解：根据题意，圆C1：（xa）2+（ya2）21，其圆心C1为（a，a+2），半径为r11，圆C2：x2+y22x30，即（x1）2+y24，其圆心C2（1，0），半径r22，若两圆有公共点，则21|C1C2|2+1，即1（a1）2+（a+2）29，变形可得：a2+a+20且a2+a20，解可得：2a1，即a的取值范围为2，1；故答案为：2，112（5分）如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，点M为PA的中点，若MNAD，则实数4【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA
12、为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PAAB2，则A（，0，0），D（0，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，0），（0，2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），2，b，N（0，0），（，），（，0），MNAD，10，解得实数4故答案为：413（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x1）2+y21，点A（3，1），P为抛物线y22x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是3【解答】解：设P（x，y），可得y22x，圆M：（x1）2+y21的圆心M（1，0），半径为1，|PB|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的
13、焦点F（，0），准线方程为x，可得|PA|+|PB|PA|+|PK|PA|+|PF|，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|，即有|PA|+|PB|的最小值为3故答案为：314（5分）已知函数f（x）x33a2x6a2+4a（a0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是（1，2）【解答】解：令f'（x）3x23a23（xa）（x+a）0，解得x1a，x2a，其中a0，所以函数的单调性和单调区间如下：x（，a），f（x）递增；x（a，a），f（x）递减；x（a，+），f（x）递增因此，f（x）在xa处取得极大值，在xa处取得极
14、小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x00，只需满足：f（x）极大值f（a）0，即a3+3a36a2+4a0，整理得a（a1）（a2）0，解得，a（1，2），故答案为：（1，2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1（ab0）经过点A（4，0），其离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且F1PF2，求点P到y轴的距离【解答】解（1）因为椭圆E：1（ab0）经过点A（4，0），所以 a4 （2分）又椭圆E的离心率e，
15、所以c2 （4分）所以b2a2c24因此椭圆E的方程为 （6分）（2）：由椭圆E的方程为知F1（2，0），F2（2，0）设P（x，y）因为F1PF2，所以0，所以x2+y212 （10分）由解得x2 （12分）所以|x|，即P到y轴的距离为 （14分）16（14分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值【解答】（本题满分14分）解：如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 ，侧棱长为1，故以 ， 为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz则D（0，0，0），A（
16、，0，0），A1（，0，1），C（0，0），D1（0，0，1）（1）因为（0，0）（，0，1）（，1），（0，0，1）（，0，0）（，0，1），（2分）所以（）×（）+（1）×11，|，|，从而 cos （5分）又异面直线所成的角的范围是（0，所以直线A1C与直线AD1所成角的余弦值为 （6分）（2）（，0），（，0，1），设平面D1AC的一个法向量为n（x，y，z），则，取x1，可得（1，1，） （9分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DA平面ABB1A1，又（，0，0）（1，0，0），所以（1，0，0）为平面ABB1A1的一个法向量 （11分）因为cos，且0，所
17、以因此平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为（14分）17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线yx2x6与坐标轴的三个交点（1）求圆C的方程；（2）经过点P（2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线yx2x6与坐标轴的三个交点坐标为（2，0），（3，0），（0，6），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则，解得，所以圆C的方程为x2+y2x+5y60方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，令y0，得x2+Dx+F0因为圆C经过抛物线yx2x6与x轴的交点，所以 x
18、2+Dx+F0与方程x2x60同解，所以D1，F6因此圆C：x2+y2x+Ey60因为抛物线yx2x6与y轴的交点坐标为（0，6），又所以点（0，6）也在圆C上，所以366E60，解得E5所以圆C的方程为x2+y2x+5y60（2）由（1）可得，圆C：（x）2+（y）2，故圆心C（，），半径r因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以ACB所以C到直线l的距离d当直线l的斜率不存在时，l：x2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y5k（x+2），即kxy+（2k+5）0，所以，解得k，所以直线l：y5（x+2），即4x+3y70综上，所求直线l的方程为x2和4x+3y7018（16分）如图
19、，从一个面积为15的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）记这两个圆柱的体积之和为V（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2因为半圆形铁皮的面积为15，所以r215，即r230因为 2r12，所以r1，同理2r22，即r2所以卷成的两个圆柱的体积之和Vf（x）（r12+r22）x（60x5x3）因为02xr，所以x的取值范围是（0，）（2）由f（x）（
20、60x5x3），得f（x）（6015x2），令f（x）0，因为x（0，），故x2当x（0，2）时，f（x）0；当x（2，）时，f（x）0，所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，所以当x2时，f（x）取得极大值，也是最大值因此f（x）的最大值为f（2）答：两个圆柱体积之和V的最大值为19（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）（1）若点A的坐标为 （0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k20；（3）求AF1B面积最
21、大时的直线l的方程【解答】（1）解：直线l经过点F2（1，0），A（0，），直线l的方程为y（x1）由，解得或B（）；（2）证明：直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为xty+1设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（4+3t2）y2+6ty90，y1+y2，y1y2，A，B在直线l上，x1ty1+1，x2ty2+1，k1，k2，从而 k1+k22ty1y23（y1+y2）2t（）3（）0，k1+k20；（3）解：AF1B的面积S|F1F2|y1y2|y1y2|由（2）知，y1+y2，y1y2，故S12设函数f（x）9x （x1）f'（x）90，f（x）9x在1，+）上单调递增，
22、当t2+11，即t0时，9（t2+1）取最小值10即当t0时，AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x1因此，AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x120（16分）已知函数f（x）alnx，aR（1）若a2，且直线yx+m是曲线yf（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）1对任意x（1，+）恒成立，求a的取值范围；（3）若函数h（x）f（x）x有两个极值点x1，x2（x1x2），且h（x2）h（x1），求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）2lnx，f（x）设直线yx+m与曲线yf（x）相切于点 （x0，2lnx0），则 1，即2x0+10，解得 x01，即切
23、点为（1，1），因为切点在yx+m上，所以11+m，解得m0 （3分）（2）不等式f（x）1可化为alnx10记g（x）alnx1，则g（x）0对任意x（1，+）恒成立考察函数g（x）alnx1，x0，g（x）当a0时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减，又g（1）0，所以g（2）g（1）0，不合题意； （5分）当a0时，x（0，），g（x）0；x（，+），g（x）0，所以g（x）在（0，上单调递减，在，+）上单调递增，若1，即a1时，g（x）在1，+）上单调递增，所以x（1，+）时，g（x）g（1）0，符合题意； （7分）若1，即0a1时，g（x）在1，）上单调递减，所以当x（1，）
24、时，g（x）g（1）0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为1，+） （9分）（3）方法一：h（x）f（x）xalnxx，x0，h（x）1，因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），所以h（x）0，即x2ax+10的两实数根为x1，x2，0x1x2，所以x1+x2a，x1x21，a240，所以a2，0x11x2，从而h（x2）h（x1）（alnx2x2）（alnx1x1）2（alnx2x2）2（x2）lnx2x2 （12分）记m（x）2（x）lnxx，x1则m（x）2（1）lnx+（x）12（1）lnx0 （当且仅当x1时取等号），所以m（x）在1，+）上单调递增，又m（e），不等式
25、h（x2）h（x1） 可化为m（x2）m（e），所以1x2e（14分）因为ax2，且yx在（1，+）上递增，所以2ae，即a的取值范围为（2，e （16分）方法二：h（x）f（x）xalnxx，x0，h（x）1因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），所以h（x）0，即x2ax+10的两实数根为x1，x2，0x1x2，所以x1+x2a，x1x21，a240，所以a2，0x11x2设t2（t1），则x1+t2x1a，t21，所以x1，at，x2t，从而h（x2）h（x1） 等价于 h（t）（t）lntt，t1（12分）记m（x）（x）lnxx，x1则m（x）（1）lnx（x）1（1）lnx0 （当且仅当x1时取等号），所以m（x）在1，+）上单调递增又t1，m（e），所以1te （14分）因为at，且yx在（1，+）上递增，所以2ae，即a的取值范围为（2，e （16分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:22:15；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265