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1、连续时间系统的系统函数第1页，本讲稿共27页要点：要点：1.梅逊公式梅逊公式2.零极点分布零极点分布3.劳斯定理劳斯定理第六章第六章 连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数第2页，本讲稿共27页6.16.1 梅逊公式梅逊公式第3页，本讲稿共27页 梅逊公式梅逊公式第4页，本讲稿共27页 梅逊公式梅逊公式 负反馈负反馈 正反馈正反馈 系统函数系统函数第5页，本讲稿共27页例例6-1C(s)=R(s)1+1-G2G1G1G21+G1G2G2G1(1 G2)=梅逊公式梅逊公式第6页，本讲稿共27页 梅逊公式梅逊公式LiLi Lj Li Lj Lz=1+2梅逊公式梅逊公式 回路内前向通道和反馈回
2、路内前向通道和反馈 通道传递函通道传递函数的乘积。数的乘积。梅逊公式：梅逊公式：回路传递函数：回路传递函数：特征式特征式 各回路传递函数之和。各回路传递函数之和。两两互不相接触回路的传两两互不相接触回路的传 递函数乘积之和。递函数乘积之和。所有三个互不相接触回路所有三个互不相接触回路 的传递函数乘积之和。的传递函数乘积之和。(s)=nk=1Pk kLiLi Lj Li Lj LzLiLi Lj Li Lj Lzk 将将中与第中与第 k 条前向通道相接触条前向通道相接触 的回路所在项去掉之后的剩余部的回路所在项去掉之后的剩余部 分，称为余子式。分，称为余子式。Pk 第第k 条前向通道的传递条前向
3、通道的传递(系统系统)函数。函数。第7页，本讲稿共27页 梅逊公式梅逊公式例例6-1_G1+C(s)R(s)G2解解:(2)L1L1=-G1G2L2L2=G2P1=G11=1-G2=1+G1G2-G2C(s)R(s)1+G1G2G2G1(1 G2)=第8页，本讲稿共27页L1L2L3H1_+G1+C(s)R(s)G3G2例例6-2 求系统的闭环传递函数求系统的闭环传递函数。解解:L1=G3H1L2=G1H1L3=G1G2P1=G1G21=1 G3H1=1+G1G2+G1H1G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1G3H1G1G2(1 G3H1)=梅逊公式梅逊公式第9页，本讲稿共27页G1
4、(s)G2(s)G3(s)H1(s)_+R(s)C(s)H2(s)求系统的求系统的传递函数传递函数解解:L1L1=-G2H1L2L2=-G1G2H2P1=G1G2P2=G3G21=12=1R(s)C(s)=nk=1Pkk=1+G2H1+G1G2H21+G2H1+G1G2H2G2G1+G2G3=例例6-3 梅逊公式梅逊公式第10页，本讲稿共27页3.系统稳定性LTI系统稳定的充要条件充要条件是冲激响应绝对可积，即对因果因果LTILTI系系统稳定性定性，用冲激响应绝对可积条件判断与用冲激响应衰减条件 判断给出同一结果。稳定性稳定性第11页，本讲稿共27页tPi位于右半平面 零、极点分布零、极点分布
5、第12页，本讲稿共27页系统稳定性（1）极点分布对系统稳定性的影响因果因果系系统稳定的充要条件定的充要条件是：所有极点都在所有极点都在s s左半平面左半平面。当虚轴上没有重极点，并且s右半平面无极点时，系系统临界界稳定定；当s右半平面有极点或虚轴有重极点时，系系统不不稳定定。稳定系定系统的因果条件是所有极点都在的因果条件是所有极点都在s s左半平面左半平面。系统零点零点只影响部分分式展开式中各分量的加权系数，因此它只影响冲激响只影响冲激响应的各分量的幅度和相位，的各分量的幅度和相位，对系系统稳定性无影响定性无影响。各分量的幅度和相位要受到系各分量的幅度和相位要受到系统零极零极点的共同影响点的共
6、同影响。稳定性稳定性第13页，本讲稿共27页求系求系统的零、极点，并的零、极点，并绘制零、极点分布制零、极点分布图，并判断系并判断系统的的稳定性定性 。例例6-4解：解：系统的零点为系统的零点为：系统的极点为：系统的极点为：系统的零、极点分布图为：系统的零、极点分布图为：稳定性稳定性第14页，本讲稿共27页例例6-5第15页，本讲稿共27页解解:第16页，本讲稿共27页4、根根据据稳稳定定的的充充分分与与必必要要条条件件,求求得得特特征征方方程程的的根根,就就可可判判定定系系统统的的稳稳定定性性.但但对对于于高高阶阶系统求解方程的根比较困难。系统求解方程的根比较困难。劳劳斯斯稳稳定定判判据据是
7、是根根据据闭闭环环传传递递函函数数特特征征方方程程式式的的各各项项系系数数,按按一一定定的的规规则则排排列列成成劳劳斯斯表表，根根据据表表中中第第一一列列系系数数正正负负符符号号的的变变化情况来判别系统的稳定性。化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第17页，本讲稿共27页 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为设系统的特征方程为a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31
8、b32 b33 b31=a1a2 -a0a3 a1 b41 b32=a1a4 -a0a5 a1 b41=b31a3 -b32a1 b31 b42=b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 系统稳定的条件：系统稳定的条件：(1)特征方程式各项特征方程式各项 系数都大于零。系数都大于零。(2)劳斯表中第一列劳斯表中第一列 元元 素均为正值。素均为正值。第一列元素符号改变的次第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。数等于不稳定根的个数。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第18页，本讲稿共27页例例6-6 已知系统的特征方程，试判断该系统已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。的稳定性。解：解
9、：s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下：劳斯表如下：1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32 b41 b51 2 4 b31=2*3 -1*4 2 =11 b32=2*5 -1*0 2 =55 b41=1*4 -2*5 1 =-6-6 b51=-6*5 -1*0 -6 =55有两个正实部根，系统不稳定。有两个正实部根，系统不稳定。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第19页，本讲稿共27页例例6-7 已知闭环系统的特征方程式，试用已知闭环系统的特征方程式，试用劳斯判据判断系统的稳定性。劳斯判据判断系统的稳定性。(1)s3+20s2+9s+100=0解：解：劳斯表如下：劳斯表如下：s
10、1 s0 s3 s2 1 9 20 100 4 100系统稳定。系统稳定。(2)s4+8s3+18s2+16s+5=0 1 18 5 s4 s3 8 16 劳斯表如下：劳斯表如下：s2 16 5 s1 216 16 s0 5系统稳定。系统稳定。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第20页，本讲稿共27页例例6-8 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数数K的取值范围。的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数闭环传递函数(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解：解：劳斯表劳
11、斯表:1 40 s3 s2 14 40K s1 b31 b31=14*40 -1*40K 14 s0 b41 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:0560-40K040K014K0 劳斯稳定判据劳斯稳定判据第21页，本讲稿共27页 如如果果劳劳斯斯表表中中某某行行的的第第一一个个元元素素为为零零，表表示系统中有纯虚根，系统不稳定。示系统中有纯虚根，系统不稳定。下面举例说明下面举例说明:该该行行中中其其余余各各元元素素不不等等于于零零或或没没有有其其他他元素，将使得劳斯表无法排列。元素，将使得劳斯表无法排列。此此时时，可可用用一一个个接接近近于于零零的的很很小小的的正正数数来代替零，完成劳斯表
12、的排列。来代替零，完成劳斯表的排列。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第22页，本讲稿共27页例例6-9 已知系统的特征方程，试判断系已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。统的稳定性。劳斯表为劳斯表为:系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根 s3+2s2+s+2=0解：解：1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 =0 s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=j b31=2*1 -2*1 2 ()=2 b41=-2*0 2*不稳定不稳定 劳斯稳定判据劳斯稳定判据第23页，本讲稿共27页 例例6-10 已知系统的特征方程已知系
13、统的特征方程,试用劳斯判据确定试用劳斯判据确定 方程的根在方程的根在s平面上的分布。平面上的分布。解：解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为劳斯表为:1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31=s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2-2-30 b31 -=-第一列元素的符号变化了第一列元素的符号变化了 两次两次,有一对不稳定根。有一对不稳定根。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第24页，本讲稿共27页 如如果果劳劳斯斯表表中中某某一一行行的的元元素素全全为为零零，
14、表表示示系系统统中中含含有有不不稳稳定定的的实实根根或或复复数数根根。系系统统不稳定。不稳定。下面举例说明下面举例说明:此此时时，应应以以上上一一行行的的元元素素为为系系数数，构构成成一一辅辅助助多多项项式式，该该多多项项式式对对s求求导导后后，所所得得多多项项式式的的系系数数即即可可用用来来取取代代全全零零行行。同同时时由由辅助方程可以求得这些根。辅助方程可以求得这些根。劳斯稳定判据劳斯稳定判据第25页，本讲稿共27页例例6-11 已知控制系统特征方程已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。判断系统稳定性。由为零上一行的元素由为零上一行的元素 组成辅助多项式：组成辅助多项式：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：解：劳斯表为劳斯表为:1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入代入0824s2 1668/3s1 s0 16劳斯表中某行同乘以某正数，不劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。影响系统稳定性的判断。系统有虚根系统有虚根,不稳定。不稳定。第26页，本讲稿共27页 课后课后 作业作业 6.14(1),6.14(1),（2 2）,（3 3）6.156.155.345.34第27页，本讲稿共27页