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1、第6章 弯曲应力第1页，共62页，编辑于2022年，星期二mmF FS SM一、引言一、引言当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,一般情况下一般情况下,梁的横截梁的横截面上既又弯矩面上既又弯矩M,又有剪力又有剪力FS。mmF FS S mmM 弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩。才能合成弯矩。才能合成弯矩。才能合成弯矩。剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力只有与切应力有关
2、的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力。剪力。剪力。剪力。所以所以所以所以,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力正应力正应力又有又有又有又有切应力切应力切应力切应力。6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第2页，共62页，编辑于2022年，星期二二、分析方法二、分析方法平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横
3、截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)、简支梁简支梁CD段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲。就是纯弯曲。若梁在某段内各横截面的弯矩为常量若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零剪力为零，则该段梁的弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为纯弯纯弯曲曲。三、纯
4、弯曲三、纯弯曲FFaaCD+FF+F.a图图 6-1 6-1AB6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第3页，共62页，编辑于2022年，星期二变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第4页，共62页，编辑于2022年，星期二（一）实验（一）实
5、验（一）实验（一）实验1 1 1 1、变形现象、变形现象、变形现象、变形现象纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长。靠近底端的纵向线段伸长。靠近底端的纵向线段伸长。靠近底端的纵向线段伸长。相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直。仍与变形后的纵向弧线垂直。仍与变形后的纵向弧线垂直。仍与变形后的纵向弧线垂直。各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧
6、线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第5页，共62页，编辑于2022年，星期二2 2 2 2、提出假设、提出假设、提出假设、提出假设(a)(a)(a)(a)平面假设平面假设平面假设平面假设 变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。(b)(b)(b)(b)单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设 纵向
7、纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压。只受单向拉压。只受单向拉压。只受单向拉压。推论：必有一层变形前后长度不变的纤维推论：必有一层变形前后长度不变的纤维推论：必有一层变形前后长度不变的纤维推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层。中性层。中性层。中性层。中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第6页，共62页，编辑于2022年，星期二dx图（图（图（图（b b）yzxo应变分布
8、规律应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比。直梁纯弯曲时纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比。图（图（图（图（a a）dx（二）变形几何关系（二）变形几何关系图（图（图（图（c c）yzyxoobbybboo6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第7页，共62页，编辑于2022年，星期二（三）物理关系（三）物理关系（三）物理关系（三）物理关系所以所以胡克定理胡克定理MyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比成正比应力分布规律应力分布规律?待解决问题待解决问题中性轴的
9、位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径?6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第8页，共62页，编辑于2022年，星期二yzxOMd dA AzyddA A（四）静力关系（四）静力关系（四）静力关系（四）静力关系 横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。横截面的空间平行力系。这一力系简化，得到三个内力分量。这一力系简化，得到三个内力分量。中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径 中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置待解决问题：待解决问题：待解决问题：待解决问题：FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡
10、可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得(1)(1)(2)(2)(3)(3)6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第9页，共62页，编辑于2022年，星期二将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(1)(1)(1)(1)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(2)(2)(2)(2)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自
11、然满足自然满足自然满足6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第10页，共62页，编辑于2022年，星期二观察变形观察变形提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变变形形几几何何关关系系物物理理关关系系静静力力关关系系应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式实实 验验平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心。中性轴过横截面形心。EIEIz z称为抗弯刚度。称为抗弯刚度。6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第11页，共62页，编辑于2022年，星期二纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
12、M为梁横截面上的弯矩。为梁横截面上的弯矩。y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离。为梁横截面上任意一点到中性轴的距离。Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。为梁横截面对中性轴的惯性矩。讨论讨论(1)应用公式时，一般将应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断断 的正负号。的正负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号为正号)。凹入边的应力为压应力。凹入边的应力为压应力(为负号为负号)。(2)(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处则公式改
13、写为则公式改写为引用符号引用符号抗弯截面系数抗弯截面系数6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第12页，共62页，编辑于2022年，星期二（1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第13页，共62页，编辑于2022年，星期二（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面zyM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和 ，直接代入公式直接代入公式求得相应的最大正应力求
14、得相应的最大正应力6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第14页，共62页，编辑于2022年，星期二 当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力。梁在横截面上既又弯矩又有剪力。梁在此种情况下的弯曲称为此种情况下的弯曲称为横力弯曲。横力弯曲。横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力。切应力使横截面发横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力。切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。面假设和单向受力假设都不成立。四、横
15、力弯曲四、横力弯曲四、横力弯曲四、横力弯曲 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力。算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第15页，共62页，编辑于2022年，星期二公式的应用范围公式的应用范围1 1 1 1、在弹性范围内、在弹性范围内、在弹性范围内、在弹性范围内3 3 3
16、3、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲4 4 4 4、直梁、直梁、直梁、直梁2 2 2 2、具有切应力的梁、具有切应力的梁、具有切应力的梁、具有切应力的梁6-1 6-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力第16页，共62页，编辑于2022年，星期二一、矩形截面梁一、矩形截面梁(1)(1)(1)(1)两个假设两个假设两个假设两个假设(a)(a)(a)(a)剪应力与剪力平行剪应力与剪力平行剪应力与剪力平行剪应力与剪力平行(b)(b)(b)(b)剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力
17、相等即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等)q(x)F1F26-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力(2)(2)(2)(2)分析方法分析方法分析方法分析方法(a)(a)用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截取从梁中截取从梁中截取从梁中截取d dx x一段。两横截面上的弯矩不等。一段。两横截面上的弯矩不等。一段。两横截面上的弯矩不等。一段。两横截面上的弯矩不等。所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一y y处的正应力也不处的正应力也不处的正应力也不处的正应力也不等。等。等。等。(b)假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上
18、截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素mBmB1 1在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1,nBnB1 1上两个法向内力上两个法向内力上两个法向内力上两个法向内力不等。不等。不等。不等。q(x)F1F2mmnnxdx第17页，共62页，编辑于2022年，星期二mnnmxyzobdxmmhnABB1A1mnxzyymyABA1B1FN2FN1q(x)F1F2mmnnxdx6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第18页，共62页，编辑于2022年，星期二mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿 x 方向的切向
19、内力方向的切向内力dFs。故在此面上就有切。故在此面上就有切应力应力。ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等。各点的剪应力各点的剪应力方向均与截面侧边平行。取分离体的平衡即可求出。方向均与截面侧边平行。取分离体的平衡即可求出。6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第19页，共62页，编辑于2022年，星期二ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)(3)公式推导公式推导假设假设m-m,n-n上的弯矩为上的弯矩为M和和M+dM。两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y1
20、处的正应力为处的正应力为 1 和和 2。A A*为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的横截面面积横截面面积横截面面积横截面面积式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第20页，共62页，编辑于2022年，星期二化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN2FN1dFS6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第21页，共62页，编辑于2022年，星期二b矩
21、型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩矩矩矩(4)(4)剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间
22、的关系确定之间的关系确定之间的关系确定6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第22页，共62页，编辑于2022年，星期二y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，剪应力沿可见，剪应力沿 截面高度按抛物线规律变化。截面高度按抛物线规律变化。z maxmaxy=h/2(即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处)=0y=0(即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处)，剪应力达到最大值。，剪应力达到最大值。式中，式中，A=bh，为矩形截面的面积。为矩形截面的面积。6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第23页，共62页，编辑于2022年，星期二z截面静矩的计算方法截面
23、静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A*二、工字形截面梁二、工字形截面梁二、工字形截面梁二、工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y。研究方法与矩形截面同，剪应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，剪应力的计算公式亦为HoyBxbzh6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第24页，共62页，编辑于2022年，星期二b b 腹板的厚度腹板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分的横的横线以外部分的横截面面积截面面积A*对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。minminozy maxmax max
24、max(a)(a)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。线规律变化。(b)(b)最大剪应力也在中性轴上。这也是整个横最大剪应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大剪应力。截面上的最大剪应力。6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第25页，共62页，编辑于2022年，星期二ozy minmin maxmax式中式中式中式中 中性轴任一边的半个横截面面中性轴任一边的半个横截面面中性轴任一边的半个横截面面中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩。积对中性轴的静矩。积对中性轴的静矩。积对中性轴的静矩。ydzo假设假设假设假设(a)(a)沿宽度
25、沿宽度沿宽度沿宽度kkkk上各点处的剪应力均汇交上各点处的剪应力均汇交上各点处的剪应力均汇交上各点处的剪应力均汇交于于于于o o 点。点。点。点。(b)(b)各点处切应力沿各点处切应力沿各点处切应力沿各点处切应力沿y y方向的分量沿宽度相方向的分量沿宽度相方向的分量沿宽度相方向的分量沿宽度相等。等。等。等。在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切。在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切。在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切。在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切。三、圆截面梁三、圆截面梁6-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第26页，共62页，编辑于2022年，星期二最大
26、剪应力发生在中性轴上最大剪应力发生在中性轴上ydzo式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积四、圆环形截面梁四、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为图示为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为 ,环环的平均半径为的平均半径为r0,由于由于 r0 故可假设故可假设(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化。横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化。(b)剪应力的方向与圆周相切。剪应力的方向与圆周相切。zyr06-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第27页，共62页，编辑于2022年，星期二式中式中 A=2 r0 为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的剪应力发生中性轴上横截面上最大的剪应
27、力发生中性轴上,其值为其值为zyr06-2 6-2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力第28页，共62页，编辑于2022年，星期二一、弯曲正应力强度条件一、弯曲正应力强度条件1 1、数学表达式、数学表达式6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算2、强度条件的应用、强度条件的应用(2)设计截面设计截面(3)确定许可载荷确定许可载荷(1)强度校核强度校核对于铸铁等对于铸铁等 脆性材料脆性材料 制成的梁，由于材料的制成的梁，由于材料的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的(两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上)要求
28、分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力许用拉应力和和许用压应力许用压应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力第29页，共62页，编辑于2022年，星期二例题例题6.1 螺栓压板夹紧装置如图所示。已知板长螺栓压板夹紧装置如图所示。已知板长3a150mm，压板材，压板材料的弯曲许用应力料的弯曲许用应力140MP。试计算压板传给工件的最大允许压。试计算压板传给工件的最大允许压紧力紧力F。ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解解 (1)(1)作出弯矩图的作出弯矩图的最大弯矩为最大弯矩为FaFa(2)(2)求惯性矩，抗弯截求惯性矩，抗弯截面系数面系
29、数(3)(3)求许可载荷求许可载荷6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第30页，共62页，编辑于2022年，星期二80y1y22020120z例题例题6.2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为用应力为 t=30MPa，抗压许用应力为抗压许用应力为 c=160MPa.已知截面对形心已知截面对形心轴轴Z的惯性矩为的惯性矩为 Iz=763cm4，y1 =52mm,校核梁的强度。校核梁的强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第31页，共62页，编辑于202
30、2年，星期二RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解解最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第32页，共62页，编辑于2022年，星期二例例6.3 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知：，试校核其强度。，试校核其强度。16281448解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置（2 2）求）求zCz单位：单位：cm6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第33页，共62页
31、，编辑于2022年，星期二（3）正应力校核）正应力校核所以结构安全。所以结构安全。问题：问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第34页，共62页，编辑于2022年，星期二例题例题6.4 由由 n 片薄片组成的梁片薄片组成的梁zbFlh当每片间的摩擦力很小时当每片间的摩擦力很小时,每一薄片每一薄片就独立弯曲。就独立弯曲。每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于zbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将
32、薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第35页，共62页，编辑于2022年，星期二二、弯曲剪应力的强度条件二、弯曲剪应力的强度条件三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，M 较小，而较小，而FS较大时较大时,要校核剪应力。要校核剪应力。（2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。值时，要校核剪应力。（3 3）各向异性材料各向异性材料(如木材如木材)的抗剪能力较差，的抗
33、剪能力较差，要校核剪应力。要校核剪应力。6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第36页，共62页，编辑于2022年，星期二F例题例题6.5 一简易起重设备如图所示。一简易起重设备如图所示。起重量起重量(包含电葫芦自重包含电葫芦自重)F=30 kN。跨。跨长长l=5 m。吊车大梁。吊车大梁AB由由20a工字钢制成。工字钢制成。其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力=170MPa，许用弯曲许用弯曲剪应力剪应力=100MPa，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。+37.5kNm5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁力力 P 在梁中间位置时有最大正应力。在梁中间位置
34、时有最大正应力。(a)正应力强度校核正应力强度校核由型钢表查得由型钢表查得20a工字钢的工字钢的所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第37页，共62页，编辑于2022年，星期二+FSmax5mABFC(b)切应力强度校核切应力强度校核在计算最大剪应力时，应取荷载在计算最大剪应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座A处所示，因处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大。为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大。查型钢表中，查型钢表中，20a号工字钢号工字钢,有有d=7mm据此校核梁的剪应力强度据
35、此校核梁的剪应力强度以上两方面的强度条件都满足，以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的。所以此梁是安全的。6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第38页，共62页，编辑于2022年，星期二解解 (1)计算支反力做内力图。计算支反力做内力图。qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kNm41.8kNm45kNm例题例题6.6 简支梁简支梁AB如图所示，如图所示，l2m，a0.2m。梁上的载荷为。梁上的载荷为q10kN/m，F200kN。材料的许用应力为。材料的许用应力为=160MPa，100MPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。(2)根据最大弯矩选
36、择工字钢型号根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表，选用查型钢表，选用22a工字钢，工字钢，其其Wz309cm3。6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第39页，共62页，编辑于2022年，星期二（3 3）校核梁的切应力）校核梁的切应力腹板厚度腹板厚度 d d=0.75cm=0.75cm，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为210kN210kN查表得查表得maxmax超过超过 很多，应重新选择更大的界面。现已很多，应重新选择更大的界面。现已25b25b工字钢进行试算工字钢进行试算查表得查表得d d=1cm=1cm所以应选用型号为所以应选用型号为25b25b的工字钢的工字钢.6-3
37、6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第40页，共62页，编辑于2022年，星期二例题例题6.7 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为增加为50kN，故在，故在 20a号号工字钢梁的中段用两块横截面为工字钢梁的中段用两块横截面为120mm 10mm而长度而长度 2.2mm的钢板加的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正应力强加强段的横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正应力=152MPa，许用许用剪应力剪应力 =95MPa。试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。2.2m200z22012010解解 加强后的梁是阶梯状变截面加强后的梁是阶梯状变截面梁。
38、所以要校核梁。所以要校核(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力。移至未加强的梁段在截面变化处的正应力。(2)F靠近支座时支座截面上的剪应力；靠近支座时支座截面上的剪应力；(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力；位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力；6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第41页，共62页，编辑于2022年，星期二(1)校核校核F位于跨中时截面时的弯曲正应力位于跨中时截面时的弯曲正应力查表得查表得20a工字钢工字钢F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大弯矩值为最大弯矩值为跨中截面对中性轴的惯性矩为跨中截面对中性轴的惯性矩为20
39、0z22012010略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩。略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩。抗弯截面系数抗弯截面系数6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第42页，共62页，编辑于2022年，星期二(2)校核突变截面处的正应力，也就校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度。是校核未加强段的正应力强度。2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA50.4 kN.m该截面上的弯矩为最大该截面上的弯矩为最大从型钢表中查得从型钢表中查得20a工字钢工字钢梁不能满足正应力强度条件。梁不能满足正应力强度条件。为此应将加强板适当延长。为此应将加强板适当延长。(3)校核阶梯
40、梁的切应力校核阶梯梁的切应力F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置。靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置。请同学们自行完成计算请同学们自行完成计算。6-3 6-3 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算第43页，共62页，编辑于2022年，星期二6-4 6-4 对称面内弯曲的合成对称面内弯曲的合成 当当当当外外外外力力力力施施施施加加加加在在在在梁梁梁梁的的的的对对对对称称称称面面面面(或或或或主主主主轴轴轴轴平平平平面面面面)内内内内时时时时，梁梁梁梁将将将将产产产产生生生生平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲。所所所所有有有有外外外外力力力力都都都都作作作作用用用用在在在在同同同同一一一一平平
41、平平面面面面内内内内，但但但但是是是是这这这这一一一一平平平平面面面面不不不不是是是是对对对对称称称称面面面面(或或或或主主主主轴轴轴轴平平平平面面面面)，梁梁梁梁也也也也将将将将会会会会产产产产生生生生弯弯弯弯曲曲曲曲，但但但但不不不不是是是是平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲，这这这这种种种种弯弯弯弯曲曲曲曲称称称称为为为为斜弯曲。斜弯曲。斜弯曲。斜弯曲。还还还还有有有有一一一一种种种种情情情情形形形形也也也也会会会会产产产产生生生生斜斜斜斜弯弯弯弯曲曲曲曲，这这这这就就就就是是是是所所所所有有有有外外外外力力力力都都都都作作作作用用用用对对对对称称称称面面面面(或或或或主主主主轴轴轴轴平平
42、平平面面面面)内内内内，但但但但不不不不是是是是同同同同一一一一对对对对称称称称面面面面(梁梁梁梁的的的的截截截截面面面面具具具具有有有有两两两两个个个个或或或或两两两两个个个个以以以以上上上上对对对对称轴称轴称轴称轴)或主轴平面内。或主轴平面内。或主轴平面内。或主轴平面内。第44页，共62页，编辑于2022年，星期二 为为为为了了了了确确确确定定定定斜斜斜斜弯弯弯弯曲曲曲曲时时时时梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的应应应应力力力力，在在在在小小小小变变变变形形形形的的的的条条条条件件件件下下下下，可可可可以以以以将将将将斜斜斜斜弯弯弯弯曲曲曲曲分分分分解解解解成成成成两两两两个
43、个个个纵纵纵纵向向向向对对对对称称称称面面面面内内内内(或或或或主主主主轴轴轴轴平平平平面面面面)的的的的平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲，然然然然后后后后将将将将两两两两个个个个平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲引引引引起起起起的的的的同同同同一一一一点点点点应应应应力力力力的的的的代代代代数数数数值值值值相相相相加加加加，便便便便得得得得到到到到斜斜斜斜弯弯弯弯曲曲曲曲在在在在该该该该点点点点的的的的应应应应力力力力值。值。值。值。6-4 6-4 对称面内弯曲的合成对称面内弯曲的合成 以以以以矩矩矩矩形形形形截截截截面面面面为为为为例例例例，当当当当梁梁梁梁的的的的横横横横截截截截面面面面上
44、上上上同同同同时时时时作作作作用用用用两两两两个个个个弯弯弯弯矩矩矩矩M M M My y y y和和和和M M M Mz z z z(二二二二者者者者分分分分别别别别都都都都作作作作用用用用在在在在梁梁梁梁的的的的两两两两个个个个对对对对称称称称面面面面内内内内)时时时时，两两两两个个个个弯弯弯弯矩矩矩矩在在在在同同同同一一一一点点点点引引引引起起起起的的的的正正正正应应应应力力力力叠叠叠叠加加加加后后后后，得得得得到到到到总总总总的的的的应应应应力力力力分分分分布图。布图。布图。布图。由由由由于于于于两两两两个个个个弯弯弯弯矩矩矩矩引引引引起起起起的的的的最最最最大大大大拉拉拉拉应应应应力
45、力力力发发发发生生生生在在在在同同同同一一一一点点点点；最最最最大大大大压压压压应应应应力力力力也也也也发发发发生生生生在在在在同同同同一一一一点点点点，因因因因此此此此，叠叠叠叠加加加加后后后后，横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的最最最最大大大大拉拉拉拉伸伸伸伸和和和和压压压压缩缩缩缩正正正正应应应应力力力力必然发生在矩形截面的角点处。必然发生在矩形截面的角点处。必然发生在矩形截面的角点处。必然发生在矩形截面的角点处。第45页，共62页，编辑于2022年，星期二 由由由由于于于于两两两两个个个个弯弯弯弯矩矩矩矩引引引引起起起起的的的的最最最最大大大大拉拉拉拉应应应应力力力力发发发发生生
46、生生在在在在同同同同一一一一点点点点；最最最最大大大大压压压压应应应应力力力力也也也也发发发发生生生生在在在在同同同同一一一一点点点点，因因因因此此此此，叠叠叠叠加加加加后后后后，横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的最最最最大大大大拉拉拉拉伸伸伸伸和和和和压压压压缩缩缩缩正正正正应力必然发生在矩形截面的角点处。应力必然发生在矩形截面的角点处。应力必然发生在矩形截面的角点处。应力必然发生在矩形截面的角点处。6-4 6-4 对称面内弯曲的合成对称面内弯曲的合成 上上上上式式式式不不不不仅仅仅仅对对对对于于于于矩矩矩矩形形形形截截截截面面面面，而而而而且且且且对对对对于于于于槽槽槽槽形形形形截截
47、截截面面面面工工工工字字字字形形形形截截截截面面面面也也也也是是是是适适适适用用用用的的的的。因因因因为为为为这这这这些些些些截截截截面面面面上上上上由由由由两两两两个个个个主主主主轴轴轴轴平平平平面面面面内内内内的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩引引引引起起起起的的的的最最最最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。大拉应力和最大压应力都发生在同一点。大拉应力和最大压应力都发生在同一点。大拉应力和最大压应力都发生在同一点。第46页，共62页，编辑于2022年，星期二 对于圆截面，上述公式是否正确？对于圆截面，上述公式是否正确？6-4 6-4 对称面内弯曲的合成对称面内弯曲的合成 对对对对于于于于圆圆圆圆截
48、截截截面面面面，上上上上述述述述计计计计算算算算公公公公式式式式是是是是不不不不适适适适用用用用的的的的。这这这这是是是是因因因因为为为为，两两两两个个个个对对对对称称称称面面面面内内内内的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩所所所所引引引引起起起起的的的的最最最最大大大大拉拉拉拉应应应应力力力力不不不不发发发发生生生生在在在在同同同同一一一一点点点点，最最最最大大大大压压压压应力也不发生在同一点。应力也不发生在同一点。应力也不发生在同一点。应力也不发生在同一点。MMy yMMz zy yz zx x 对对对对于于于于圆圆圆圆截截截截面面面面，因因因因为为为为过过过过形形形形心心心心的的的的任任任任意意意意
49、轴轴轴轴均均均均为为为为截截截截面面面面的的的的对对对对称称称称轴轴轴轴，所所所所以以以以当当当当横横横横截截截截面面面面上上上上同同同同时时时时作作作作用用用用有有有有两两两两个个个个弯弯弯弯矩矩矩矩时时时时，可可可可以以以以将将将将弯弯弯弯矩矩矩矩用用用用矢矢矢矢量量量量表表表表示示示示，然然然然后后后后求求求求二二二二者者者者的的的的矢矢矢矢量量量量和和和和，这这这这一一一一合合合合矢矢矢矢量量量量仍仍仍仍然然然然沿沿沿沿着着着着横横横横截截截截面面面面的的的的对对对对称称称称轴轴轴轴方方方方向向向向，合合合合弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的作作作作用用用用面面面面仍仍仍仍然然然然与与与与对对对
50、对称称称称面面面面一一一一致致致致，所所所所以以以以平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的公公公公式式式式依然适用。依然适用。依然适用。依然适用。yzMyMzM第47页，共62页，编辑于2022年，星期二 于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为 yzMyMzM6-4 6-4 对称面内弯曲的合成对称面内弯曲的合成 此此外外，还还可可以以证证明明，斜斜弯弯曲曲情情形形下下，横横截截面面依依然然存存在在中中性性轴轴，而而且且中中性性轴轴一一定定通