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1、 6.1 梁的纯弯曲梁的纯弯曲 6.2 纯弯曲纯弯曲时的正应力时的正应力 6.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 6.4 弯曲切应力弯曲切应力 6.5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第第6章章 弯曲应力弯曲应力 6.6.梁的纯弯曲梁的纯弯曲1、弯曲构件横截面上的内力和应力、弯曲构件横截面上的内力和应力内力内力剪力剪力Q 剪应力剪应力 弯矩弯矩M 正应力正应力 横力弯曲横力弯曲QM纯弯曲梁：纯弯曲梁：横截面上只有横截面上只有M而无而无Q的情况的情况剪切弯曲：剪切弯曲：横截面上既有横截面上既有Q又有又有M的情况的情况2、纯弯曲、纯弯曲纵向对称面纵向对称面P P 例如：例如：aa纯弯曲实
2、例纯弯曲实例 某段梁的内力只有弯某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如变形称为纯弯曲。如AB段。段。PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲:6.2 6.2 纯弯曲时的纯弯曲时的正应力正应力1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验 横向线横向线(a b、c d）变变形后仍为直线，但有转动；形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴
3、bdacabcdMM3 3.弯曲弯曲平截面假设：平截面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。轴等高处，变形相等。上层纵向纤维层受压而缩短，上层纵向纤维层受压而缩短，下层纵向纤维层受拉而伸长下层纵向纤维层受拉而伸长，自自上而下呈线性过渡上而下呈线性过渡2.推论推论中性层：梁内必有一层纤维既中性层：梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纵向受拉应力和压应力，此层纵向纤维称为中性层。纤维称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。A
4、1B1O1O4.4.几何方程：几何方程：abcdABdq qr rxy)OO1)yzx（二）物理关系：（二）物理关系：x x（三）静力学关系：（三）静力学关系：yxzxyz假设：纵向纤维之假设：纵向纤维之间互不挤压。于间互不挤压。于是，任意一点均是，任意一点均处于单向应力状处于单向应力状态。态。(3)EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。yzxxyzy是对称轴是对称轴yzx讨论：当M0，y0：则0 当M0，y0：则0当M0，y0：则0 当M0，y0：则0当当M和和y同号，则同号，则0当当M和和y异号，则异号，则0（四）最大正应力：（四）最大正应力：xz某截面上最大正应力：全梁最大正应力：弯曲正应
5、力强度条件弯曲正应力强度条件特别地，对等截面梁：maxyI Wzz=抗弯截面系数。抗弯截面系数。截面图形 对z 轴 对y 轴对x轴扭转ChbCzyzzyydDCD同左同左 6.3 6.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 上述正应力计算公式是在纯弯曲下得出的结论。事实上上述正应力计算公式是在纯弯曲下得出的结论。事实上工程中绝大多数弯曲均为横力弯曲，即梁的横截面上既有弯工程中绝大多数弯曲均为横力弯曲，即梁的横截面上既有弯矩矩M又有剪力又有剪力Q。由于剪力的存在，将会：。由于剪力的存在，将会：对正应力的计算产生影响。但进一步的分析表明，横对正应力的计算产生影响。但进一步的分析表明，横力弯曲时采
6、用上述公式计算正应力仍具有足够的精度。因此，力弯曲时采用上述公式计算正应力仍具有足够的精度。因此，上述公式也广泛应用于横力弯曲时正应力的计算。上述公式也广泛应用于横力弯曲时正应力的计算。在横截面上产生剪应力。然而在横截面上产生剪应力。然而对跨高比对跨高比L/h5 的弯曲梁，的弯曲梁，其剪应力的影响可以忽略不计其剪应力的影响可以忽略不计。当然，对于一些。当然，对于一些“短梁短梁”（也称为深梁，其跨高比小于（也称为深梁，其跨高比小于5）就必须考虑剪力在横截面上）就必须考虑剪力在横截面上所产生的剪应力。这将在下节讨论。以后若无特别说明，均所产生的剪应力。这将在下节讨论。以后若无特别说明，均可忽略剪应
7、力的计算。可忽略剪应力的计算。例例受均布载荷作用的简支梁如图所受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：示，试求：（1）1-1截面上截面上1、2两点的正应力；两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求求11截面的截面的曲率半径。曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120180zy解：解：画画M图求截面弯矩图求截面弯矩30Mq=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求应力18030M求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030M全
8、梁最大应力1-1截面最大应力 例：图示外伸梁，材料为例：图示外伸梁，材料为No16工字钢。受均布载工字钢。受均布载荷作用荷作用，材料的许用应力材料的许用应力=160MPa，校核该梁校核该梁的强度。的强度。解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全查型钢表：2.5m 例例：主：主梁梁AB，跨度为跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方法提高承载能的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？为多少？解：最佳尺寸是使主、解：最佳尺寸是使主、副副梁的最大弯矩相等的尺寸。梁的最
9、大弯矩相等的尺寸。解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩由由即即得得 例例：简支梁：简支梁AB，在在截面下边缘贴一应截面下边缘贴一应变片，测得其应变变片，测得其应变=610-4，材料的弹性模量材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷求载荷P的大小。的大小。解：解：C点的应力点的应力C截面的弯矩截面的弯矩0.4P0.6PMc由由得得0.4P0.6PMc例例 T 字形截面的铸铁梁受力如图，字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的铸铁的 L=30MPa，y=60 MPa，试校核此梁的强度。并说明试校核此梁的强度。并说明T字梁怎字梁怎样放置更合理？单位：样放置更合理？单位：m
10、m4P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2C801202020解：解：计算轴惯性矩计算轴惯性矩ZyZ求约束反力，求约束反力，画内力图画内力图P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmMxQ2.5kN6.5kN4kN有弯矩图出现的一侧有弯矩图出现的一侧为受压侧为受压侧校核强度如此T安置合理。若倒置：y1y2GC上C下y1y2GA3A4x2.5kNm-4kNmMB上B下 6.4 6.4 弯曲切应力弯曲切应力一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1 1、两点假设：、两点假设：剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；距中性轴等距离处，剪应力距中
11、性轴等距离处，剪应力大小相等。大小相等。2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b；在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡平衡dxxQ(x)+d Q(x)M(x)M(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 2 2 1 1 b图图a图图b图图c1N2N1Q(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 2 2 1 1 b由剪应力互等由剪应力互等1bzyhycyN2N1Q 方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h呈呈抛物线分布。
12、抛物线分布。最大剪应力为平均剪应力的最大剪应力为平均剪应力的1.51.5倍。倍。1 1、工字钢截面：、工字钢截面：;maxA Q f结论：结论：翼缘部分翼缘部分 max腹板上的腹板上的 max，只计算腹板上的只计算腹板上的 max。铅垂剪应力主要由腹板承受（铅垂剪应力主要由腹板承受（9597%），且），且 max min 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力Af=h0b0 腹板面积;maxA Q f二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力对于型钢：由 查取型钢表中 项对任意工字型截面，可略去翼缘的影对任意工字型截面，可略去翼缘的影响，近似地以腹板来替代，即：响，近似地以腹板
13、来替代，即：b0h0下面求最大剪应力下面求最大剪应力：2 2、圆截面、圆截面：A AB B1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般等截面梁，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的一般等截面梁，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。中性轴处。Q M 三、剪应力强度条件三、剪应力强度条件2 2、正应力和剪应力强度条件：对等截面梁、正应力和剪应力强度条件：对等截面梁带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可
14、能危险的点，在述相同；还有一个可能危险的点，在Q和和M均很大的截面均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）的腹、翼相交处。（以后讲）3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：MQ 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而Q较大时，要校核剪应力。较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向
15、异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。要校核剪应力。、校核强度：、校核强度：校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许用载荷：计算许用载荷：解：解：画内力图求危险截面内力画内力图求危险截面内力例例 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截面木梁如图，截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大试求最大正应力和最大正应力和最大剪应力之比，并校核梁的强度。剪应力之比，并校核梁的强度。q=3.6kN/mABL=3mQ+xM M求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比q=3.6kN/mQ+xM M 6.5 6.5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施1
16、.1.降低降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷2.2.提高提高 WZ 合理设计截面几何形状合理设计截面几何形状合理布置支座合理布置支座FFF合理布置支座合理布置支座合理布置载荷合理布置载荷F合理设计截面合理设计截面 在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面。面。合理放置截面合理放置截面对于铸铁类抗拉、对于铸铁类抗拉、抗抗压能力不同的材料，最好使用类似压能力不同的材料，最好使用类似T T字字形的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗形的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：上端。如下图：Gzzy+y-合理设计截面：等强度梁合理设计截面：等强度梁 阶梯轴阶梯轴鱼腹式横梁鱼腹式横梁叠合钢板梁叠合钢板梁 采用变截面梁采用变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为若为等强度矩形截面，则高为同时同时Px