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1、第第1111章章 弯曲应力弯曲应力目录1n对称弯曲正应力对称弯曲正应力n对称弯曲切应力对称弯曲切应力n梁的强度条件梁的强度条件n梁的合理强度设计梁的合理强度设计n弯拉（压）组合弯拉（压）组合0目录2纯弯曲纯弯曲梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图中的CD段)。alABaACD(a)FFFS图M图(b)(c)FFFa对称弯曲正应力对称弯曲正应力 3从三方面考虑：从三方面考虑：变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系4梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验 横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。由梁变
2、形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴中性轴。(b)(a)mnpqmnpqFFCD几何方面几何方面5根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：（1 1）平面假设）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。（2 2）单向受力假设）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。6正应力公式的推导正应力公式的推导 相应的纵向线
3、应变为：弧线O1O2的长度为：距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为：(b)中性层中性轴abO1O2mnpq(a)dxmnpq dy(c)dxabO2O17物理方面物理方面将式 代入，得 此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在并且在y坐标相同的各点处正应力相等坐标相同的各点处正应力相等，如图所示。梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：8静力学方面静力学方面 由图可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=dA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化，由截面法可知，上式中的FN
4、等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以有9因为 不等于零，所以有由此可知，中性轴通过横截面的形心中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。10另外有 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度弯曲刚度。最后，可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为即有11横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力 yc,maxyt,maxyz bd1 hOd2中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大
5、拉、压应力的值为Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数。12横截面上应力分布横截面上应力分布hbzyoyc,maxyt,maxyz bd1Od2中性轴中性轴 z z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为值和最大压应力值为13惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面组合公式组合公式平行轴定理平行轴定理14在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩弯矩而且有剪剪力力，这种情况下我们称之为横力弯曲。横力弯曲。而实际工程中的梁，大多发生的都是横力弯曲。横力弯曲。对于工程实际中常
6、用的梁，应对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求程中的精度要求。横力弯曲横力弯曲 15解：解：先求出C截面上弯矩 例题例题 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。截面对中性轴的惯性矩 将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有 K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。16对称弯曲切应力对
7、称弯曲切应力1、两点假设（1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。（2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。2、切应力公式的推导矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 从梁中取出长为dx的微段，如右图所示。FSMFSM+dMdx17 现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力，且=,如图c所示。微段梁上的应力情况如图微段梁上的应力情况如图b b所示。所示。(b)dxdx(c)yyz18得（a）由 以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的总和，如
8、图d。dx(d)FN2FN1dFS其中（b）式中的A1是横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积（图e），是A1对中性轴的静矩。bhzyA1(e)y19同样有 由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有综合考虑FN1、FN2、dFS，得到 经整理得经整理得 20上式即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。对于矩形截面梁，由图67a可知 max(b)bhzyA1(a)y最后可得 21 例题例题 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=1
9、00mm，y=40mm，F=3kN，求m m截面上K点的切应力。解：解：先求出m m截面上的剪力为3kN，截面对中性轴的惯性矩为 面积A*对中性轴的静矩为 则K点的切应力为 习题65图Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*22工字形截面梁的切应力工字形截面梁的切应力 工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。1、腹板上的切应力 由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。切应力沿腹
10、板高度的分布规律如图a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力max仍发生在截面的中性轴上。23翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。2 2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力 24梁的强度条件梁的强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，而对整个等截面梁来讲，最大应力由弯矩分布和截面形状二者决定式中的Wz称为弯曲截面系数弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。25梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 整个等截面
11、梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截面的中性轴上，即 为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即此式即为切应力的强度条件。26 在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以一般情况下，总是根据梁横截面一般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行校核校核。27解：解：（1）校核最大正应力 弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大弯矩的截
12、面上。查型钢表可知 例题例题 一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力=170MPa，=100MPa,试校核梁的强度。(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b)FS图12kN.m39kN.m(c)M图则最大正应力（2）校核最大切应力 剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大剪力的截面上。查型钢表可知 则最大切应力 所以此梁安全。28梁的合理强度设计梁的合理强度设计 梁的合理截面形状梁的合理截面形状梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数。矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相
13、同条件下其合理性的比较。矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较。dabhbh(a)(b)(c)(d)矩形和正方形的比较矩形和正方形的比较 说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理。当 时（图a）由hb=a2知 从而 即，当 时（图b），可得 ，即 ，说明此时矩形截面 不如同样面积的正方形截面合理。29 正方形和圆形的比较正方形和圆形的比较 由 ，得 ，于是 这说明正方形截面比同样面积圆形截面合理。由以上的分析可以看出，Wz值与截面的高度及截面的面积分布有关。截面的高度愈大，面积分布得离中性轴愈远，Wz值就愈大；反之，截面的高度愈小，面积分布得离中性轴愈近，Wz值就愈
14、小。所以，选择合理截面的基本原则是尽可能地增选择合理截面的基本原则是尽可能地增大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较远的地方大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较远的地方。因此，在工程实际中，经常采用工字形、环形、箱形等截面形式。30变截面梁与等效强度梁变截面梁与等效强度梁 横截面沿着梁轴线变化的梁，称为横截面沿着梁轴线变化的梁，称为变截面梁变截面梁。最理想的变截面梁，是使梁的各个截面上的最大正应力同时达到材料的许用应力。即得这种梁梁称为等强度梁等强度梁。现以跨度为l，自由端作用有集中力F的矩形截面悬臂梁为例，说明等强度梁的设计计算步骤。假定梁截面的高度为常量h=h0，而其宽度为变量b=b(x)，则在离自由端距离为x处的弯曲截面系数为 弯矩为 31b(x)Fxlh0b0(a)bminFb0h0(b)而在固定端处的弯曲截面系数为 弯矩为 由 得 即 即当梁截面高度为常数时，它的宽度将按直线变化，如图（a）所示。为了抵抗剪力的作用，在截面x=0处，还需根据该处的切应力强度条件设计它所需要的宽度bmin，如图所示。32梁的合理受力梁的合理受力3334弯拉（压）组合弯拉（压）组合偏心压缩偏心压缩弯拉（压）组合弯拉（压）组合35作业作业11-111-111-511-511-611-611-1611-1611-2211-2236