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1、【新教材】（3）函数2023届高考数学一轮复习大单元达标测试【满分：80分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则( )A.-50B.0C.2D.502.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，.则( )A.0B.C.1D.3.若不等式的解集为,则函数的图象为( )A.B.C.D.4.若函数为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数.若函数是上的正函数，则实数m的取值范围为( )A.B.C.D.5.设a，b，c均为正数，且，则( )A.B.C.D.6
2、.的值为( )A.-1B.C.3D.-57.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满并摇匀，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第次时共倒出纯酒精，则的解析式是( )A.B.C.D.8.已知a，且，对于任意均有，则( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知是定义在R上的偶函数，且当时，则下列说法正确的是( )A.是以4为周期的周期函数B.C.函数的图像与函数的图像有且仅有3个交点D.当时，1
3、0.已知实数，且，则下列判断正确的是( )A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.11.已知，函数若关于x的方程恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.12.已知函数，则的解集为_.13.若函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为_.四、解答题：本题共1小题，共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.已知函数，a，b均为正数.（1）若，求证：；（2）若，求的最小值.答案以及解析1.答案：C解析：因为是定义在上的奇函数，所以，且.又因为，所以.由可得，则有.由，得，于是有，所以.2.答案：D解析：因为为奇函数，所以，将中的x替换为得.因为为偶
4、函数，所以，由得，则，所以是以4为周期的函数，故.故选D.3.答案：C解析：由题意知,不等式的解集为,故对应的二次函数的图象开口向下,对应的一元二次方程的两个根分别为,解得则函数,为图象开口向下的二次函数,且其图象与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选C.4.答案：C解析：因为函数是上的正函数，所以，所以当时，函数单调递减，则，即，两式相减得，即，代入得，因为，且，所以，即所以解得.故关于a的方程在区间内有实数解.记，则，即解得即.5.答案：A解析：因为a，b，c均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得，所以.故选A.6.答案：A解析：原式.故选A.7.答案：A解析：因为倒第k次时共
5、倒出纯酒精x L，所以第k次后容器中含纯酒精，第次倒出的纯酒精是，所以.8.答案：C解析：解法一：令，则方程存在三个根，.当三个根都小于0时，如图所示，对于任意，恒成立，符合题意.当存在实数根大于0时，要使得对于任意，恒成立，则三个根一定是两个相等的正根和一个负根，如图所示.当时，不符合题意，舍去；当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去.综上所述，当满足条件时，.故选C.解法二：令，则，则.若，则当时，与矛盾，舍去；当时，由，得，故，与已知矛盾，舍去.故.故选C.9.答案：ACD解析：本题考查函数周期性的定义及求解、利用函数的周期性求函数值和解析式、函数图像的应用.对于选项A：由可得，（提示：
6、将代入），因为是定义在R上的偶函数，所以，所以（提示：将代入），所以函数是以4为周期的周期函数，故A正确；对于选项B：由A知，函数是以4为周期的周期函数，所以，则，故B错误；对于选项C：由得的图像关于点对称，当时，作出函数与函数的大致图像如图所示：当时，结合图像可知，.当时，即函数图像与函数的图像在上无交点，由图可知，函数与函数的图像有3个交点，故C正确；对于选项D：当时，则，所以，故D正确.故选ACD.10.答案：AD解析：本题考查基本不等式的应用及幂函数的单调性.由于，由基本不等式，可得，当且仅当时等号成立.对于选项A，当且仅当时等号成立，故A正确；对于选项B，由于，当时，故B错误；对于选
7、项C，由于，可得，即.，在上单调递增，故，故C错误；对于选项D，故，故D正确.故选AD.11.答案：解析：设方程恰有2个互异的实数解，即函数有2个零点，即的图像与x轴有2个交点，满足条件的的图像有以下两种情况：情况一：则解得.情况二：则不等式组无解.综上，满足条件的a的取值范围是.12.答案：解析：由题意，函数是定义在R上的奇函数，且，在R上单调递增，即，即，解得.13.答案：解析：由题可得，关于x的方程有两个不同的解，分离参数可得，所以直线与函数的图象有两个不同的交点，令，可得，易知在上单调递减，在上单调递增，所以.又，且当时，所以当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，所以a的取值范围是.14.答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明：，且a，b均为正数，当且仅当时，取等号，令，则，令，易知在上为减函数，即.（2），b均为正数，令，则，可设，任取，且，则，易知，同理，任取，且，则，在上单调递减，在上单调递增，即，的最小值为.