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1、单元检测四(时间:90分钟总分:120分)一、选择题(每小题4分,共40分)1.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,ab,1=50°,2=60°,则3的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°解析:由直线ab可知3=4,其对顶角与1,2恰好形成一个三角形的内角,则由三角形的内角和可确定3的大小.3=180°-1-2=180°-50°-60°=70°,故选C.答案:C2.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是()A.8 cmB.5 cm
2、C.5.5 cmD.1 cm解析:折叠一次最长为对角线的长,即(cm).8>,不可能是8 cm,故选A.答案:A3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有()A.2对B.3对C.4对D.6对答案:B4.如图所示,在ABC中,AB=AC,过AC上一点作DEAC,EFBC,若BDE=140°,则DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°解析:DEAC,BDE=140°,A=50°.又AB=AC,C=65°.EFBC,DEF=C=65°.故选C.
3、答案:C5.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以40海里/时的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里解析:依题意知MN=40×2=80(海里).M=70°,N=40°,MPN=70°,NP=NM=80海里,故选D.答案:D6.如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则BEC的周长为()A.13B.14C.15D.16解析:由题意得AB=AC=(21-5)=8.D
4、E是AB的垂直平分线,AE=BE.BE+BC+CE=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.答案:A7.如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是()A.110°B.120°C.125°D.130°答案:C8.如图,在RtABC中,C=90°,CDAB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于()A.5B.5C.13D.9解析:在RtABC中,AC2+BC2=AB2=132=169,由三角形面积法可得,AC·BC=CD
5、83;AB,即2AC·BC=156,+,得(AC+BC)2=325,所以AC+BC=5答案:B9.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是()A.4B.5C.6D.8解析:如图,连接PD,由题知POD=60°,OP=OD,1+2+60°=180°,1+A+APO=180°,2=APO.同理1=CDO.APOCOD.AP=OC=AC-AO=9-3=6.故选C.答案:C10.如图,在RtABC中,ACB=
6、90°,ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中点,若动点E以1 cm/s的速度从A点出发,沿着ABA的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0t<6),连接DE,当BDE是直角三角形时,t的值为()A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5解析:在RtABC中,ACB=90°,ABC=60°,BC=2 cm,AB=2BC=4 cm,BC=2 cm,D为BC的中点,动点E以1 cm/s的速度从A点出发,BD=BC=1 cm,BE=AB-AE=(4-t) cm.若DEB=90°,当AB时,ABC=60°,BD
7、E=30°,BE=BD= cm,t=3.5,当BA时,t=4+0.5=4.5.若EDB=90°,当AB时,ABC=60°,BED=30°,BE=2BD=2(cm),t=4-2=2,当BA时,t=4+2=6(舍去).综上可得,t的值为2或3.5或4.5.答案:D二、填空题(每小题4分,共24分)11.如图,ABCD,CE平分ACD,若1=25°,则2的度数是. 解析:CE平分ACD,ACD=21=50°.ABCD,BAF=ACD=50°.2+BAF=180°,2=130°.答案:130°
8、12.如图,已知AB=AD,BAE=DAC,要使ABCADE,可补充的条件是.(写出一个即可) 解析:由已知条件,根据SAS,AAS,ASA定理,确定可补充的条件为AC=AE或C=E或B=D.答案:AC=AE或C=E或B=D13.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于. 解析:(1)如图,当CDB=C时,2=,解得:=36°,此时,底角为=72°(2)如图,当CDB=CBD时,2=-,解得:=°,此时,底角为°.所以,原等腰三角形纸片的底角等于72°或°.答案
9、:72°或°14.如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点,若ABC的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是cm2. 答案:615.如图是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,小亮随机地往大正方形区域内投针一次,则针孔在阴影部分的概率是. 解析:投针的概率是小正方形面积与大正方形面积的比值.小正方形的边长为4-3=1,则面积为1;大正方形的边长为=5,则面积为25,故概率为答案:16.如图,在RtABC中,ACB=90°,B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点
10、B,C重合),过点D作DEBC交AB于点E,将B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当AEF为直角三角形时,BD的长为. 解析:根据题意得:EFB=B=30°,DF=BD,EF=EB,DEBC,FED=90°-EFD=60°,BEF=2FED=120°.AEF=180°-BEF=60°.在RtABC中,ACB=90°,B=30°,BC=3,AC=BC·tan B=3,BAC=60°,如图,若AFE=90°,在RtABC中,ACB=90°,EFD+AFC=FA
11、C+AFC=90°,FAC=EFD=30°,CF=AC·tan FAC=1,BD=DF=1;如图,若EAF=90°,则FAC=90°-BAC=30°,CF=AC·tan FAC=1,BD=DF=2,AEF为直角三角形时,BD的长为1或2.答案:1或2三、解答题(56分)17.(6分)已知:如图,ACBC,DCEC,AC=BC,DC=EC,求证:D=E.证明:ACBC,DCEC,ACB=ECD=90°,ACE=BCD.AC=BC,DC=EC,ACEBCD,D=E.18.(8分)如图,在ABC中,点E在AB上,点D在B
12、C上,BD=BE,BAD=BCE,AD与CE相交于点F,试判断AFC的形状,并说明理由.解:AFC是等腰三角形.理由如下:在BAD与BCE中,B=B,BAD=BCE,BD=BE,BADBCE.BA=BC.BAC=BCA.BAC-BAD=BCA-BCE,即FAC=FCA.AFC是等腰三角形.19.(10分)如图,已知RtABCRtADE,ABC=ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.(1)解:ADCABE,CDFEBF.(2)证明:如图,连接CE.RtABCRtADE,AC=AE,ACE=AEC.又Rt
13、ABCRtADE,ACB=AED.ACE-ACB=AEC-AED,即BCE=DEC.CF=EF.20.(10分)某货站传送货物的平面示意图如图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4 m.(1)求新传送带AC的长度;(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2 m的通道,试判断距离点B处 4 m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1),(2)的计算结果精确到0.1 m,参考数据:1.41,1.73,2.24,2.45)解:(1)如图,过点A作ADBC,交CB的延长线于点D.在RtABD中,AD=A
14、Bsin 45°=4=2(m).在RtACD中,ACD=30°,AC=2AD=45.6(m),即新传送带AC的长度约为5.6 m.(2)货物MNQP需要挪走.理由:在RtABD中,BD=ABcos 45°=4=2(m),在RtACD中,CD=ACcos 30°=4=2(m),CB=CD-BD=2-2=2()2.1(m).PC=PB-CB4-2.1=1.9(m),1.9<2,货物MNQP需要挪走.21.(10分)问题情境:将一副直角三角板(RtABC和RtDEF)按图所示的方式摆放,其中ACB=90°,CA=CB,FDE=90°,
15、E=30°,O是AB的中点,点D与点O重合,DFAC于点M,DEBC于点N.(1)试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;(2)将图中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM,ON.试判断线段OM,ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.图图证明:(1)OM=ON,理由如下:CA=CB,A=B.O是AB的中点,OA=OB.DFAC,DEBC,AMO=BNO=90°.在OMA和ONB中,OMAONB(AAS).OM=ON.(2)OM=ON,OMON.理由
16、如下:如图,连接OC.BNDE,FMCM,CMBN,四边形DMCN是矩形,CN=DM.DAM=CAB=45°,DMA=90°.DM=MA,CN=MA.ACB=90°,O为AB中点,CO=AB=AO,BCO=45°,COAB,NCO=MAO=135°.在NOC和MOA中,NOCMOA(SAS),OM=ON,AOM=NOC.NOC+AON=90°,AOM+AON=90°,MON=90°,即OMON.22.(12分)如图,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点.(1)若E,F分别是AB,AC上
17、的点,且AE=CF,求证:AEDCFD;(2)当点F,E分别从C,A两点同时出发,以1个单位长度/秒的速度沿CA,AB运动到点A,B时停止,设DEF的面积为y,点F的运动时间为x,求y与x之间的函数关系式.(1)证明:BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点,AD=DC,DAE=C=45°.又AE=CF,AEDCFD.(2)解:由题知AE=x,AF=6-x,EF2=AE2+AF2=x2+(6-x)2=2x2-12x+36,由(1)知:AEDCFD,DE=DF,ADE=CDF,ADE+ADF=CDF+ADF=ADC=90°,DEF是等腰直角三角形,DE2=DF2=EF2,SDEF=DE·DF=DE2=EF2,即y=(2x2-12x+36)=x2-3x+9.