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1、 专题三专题三 几何图形综合题几何图形综合题 类型一动点探究题类型一动点探究题 1.如图，已知如图，已知ABC 中，中，BC=AC=8 cm,C90，如果点，如果点 P 在线段在线段AC 上以上以 1 cm/s 的速度由的速度由 A 点向点向 C 点运动，同时，点点运动，同时，点 Q 在线段在线段 BC上由上由 C 点向点向 B 点运动，运动速度与点点运动，运动速度与点 P 的运动速度相等，点的运动速度相等，点 M 是是AB 的中点的中点. （1）在点）在点 P 和点和点 Q 运动过程中，运动过程中，APM 与与CQM 是否保持全等，是否保持全等，请说明理由；请说明理由； （2）在点）在点 P
2、 和点和点 Q 运动过程中，四边形运动过程中，四边形 PMQC 的面积是否变化？的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由；若不变，求出这个四边形的面积； （3） 线段） 线段 AP、PQ、BQ 之间满足什么数量关系式， 写出这个关之间满足什么数量关系式， 写出这个关系式，系式，并加以证明并加以证明. 第第 1 题图题图 2.2.如图如图，矩形矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上的两条边在坐标轴上，点点 D 与坐标原点与坐标原点O 重合重合，且且 AD8，AB6.如图如图，矩形矩形 ABCD 沿沿 OB 方向以每秒方向以每秒 1个单位长度的速度运动个单位长度
3、的速度运动，同时点同时点 P 从从 A 点出发也以每秒点出发也以每秒 1 个单位长个单位长度的速度沿矩形度的速度沿矩形 ABCD 的边的边 AB 经过点经过点 B 向点向点 C 运动运动，当点当点 P 到达到达点点 C 时时，矩形矩形 ABCD 和点和点 P 同时停止运动同时停止运动，设点设点 P 的运动时间为的运动时间为 t秒秒 (1)当当 t5 时时，请直接写出点请直接写出点 D、点、点 P 的坐标；的坐标； (2)当点当点 P 在线段在线段 AB 或线段或线段 BC 上运动时上运动时， 求出求出PBD 的面积的面积 S关于关于 t 的的函数关系式，并写出相应函数关系式，并写出相应 t 的
4、取值范的取值范围；围； (3)点点 P 在线段在线段 AB 或线段或线段 BC 上运动时上运动时，作作 PEx 轴轴，垂足为垂足为点点 E，当当PEO 与与BCD 相似时相似时，求出相应的求出相应的 t 值值 第第 2 题图题图 3.3.如图如图，在在ABC 中中，AB5，AC9，SABC272，动点动点 P 从从A 点出发点出发，沿射线沿射线 AB 方向以每秒方向以每秒 5 个单位的速度运动，动点个单位的速度运动，动点 Q 从从 C点出发点出发，以相同的速度在线段以相同的速度在线段 AC 上由上由 C 向向 A 运动运动，当当 Q 点运动到点运动到A 点时点时， P、 Q 两点同时停止运动
5、以两点同时停止运动 以 PQ 为边作正方形为边作正方形 PQEF(P、 Q、E、F 按逆时针排序按逆时针排序)，以以 CQ 为边在为边在 AC 上方作正方形上方作正方形 QCGH. (1)求求 tanA 的值；的值； (2)设点设点 P 运动时间为运动时间为 t，正方形正方形 PQEF 的面积为的面积为 S，请探究请探究 S 是是否存在最小值？若存在否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在求出这个最小值；若不存在，请说明理由；请说明理由； (3)当当 t 为何值时为何值时，正方形正方形 PQEF 的某个顶点的某个顶点(Q 点除外点除外)落在正方落在正方形形 QCGH 的边上的边上，请直接
6、写出请直接写出 t 的值的值 第第 3 题图题图 备用图备用图 4.4.已知：如图已知：如图，在在 ABCD 中中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB. ACD 沿沿 AC 的方向匀速平移得到的方向匀速平移得到PNM，速度为速度为 1 cm/s；同；同时时， 点点Q从点从点C出发出发， 沿沿CB方向匀方向匀速移动， 速度为速移动， 速度为1 cm/s； 当； 当PNM停止平移停止平移时时， 点点 Q 也停止移动也停止移动， 如图如图.设移动时间为设移动时间为 t(s)(0t4) 连 连接接 PQ，MQ，MC.解答下列问题：解答下列问题： (1)当当 t 为何值时为何值时，PQMN? (2)设
7、设QMC 的面积为的面积为 y(cm2)，求求 y 与与 t 之间的函数关系式；之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻是否存在某一时刻 t，使使 SQMCS四边形四边形ABQP14？若存在？若存在，求出求出 t 的值；若不存在的值；若不存在，请说明理由；请说明理由； (4)是否存在某一时刻是否存在某一时刻 t，使使 PQMQ？若存在？若存在，求出求出 t 的值；若的值；若不存在不存在，请说明理由请说明理由 第第 4 题图题图 类型二类型二 操作探究题操作探究题 1. 如图如图，矩形矩形 ABCD 中中，AD5，AB8，点点 E 为射线为射线 DC 上上一个一个动点动点，把把ADE 沿沿 A
8、E 折叠折叠，点点 D 的对应点为的对应点为 D. (1)求点求点 D刚好落在对角线刚好落在对角线 AC 上时上时，线段线段 DC 的的长；长； (2)求点求点 D刚好落在线段刚好落在线段 BC 的垂直平分线上时的垂直平分线上时，DE 的长；的长； (3)求点求点 D刚好落在线段刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时的垂直平分线上时，DE 的长的长 第第 1 题图题图 2.2.如图如图，以点以点 P(1，0)为圆心的圆为圆心的圆，交交 x 轴于轴于 B、C 两点两点(B 在在C 的左侧的左侧)， 交交 y 轴于轴于 A、 D 两点两点(A 在在 D 的下方的下方)， AD2 3， 将将ABC绕点
9、绕点 P 旋转旋转 180 ，得到得到MCB. (1)求求 B、C 两点的坐标；两点的坐标； (2)请在图中画出线段请在图中画出线段 MB、 MC， 并并判断四边形判断四边形 ACMB 的形状的形状(不不必证明必证明)，求出点求出点 M 的坐标；的坐标； (3)动直线动直线 l 从与从与 BM 重合的位置开始绕点重合的位置开始绕点 B 顺时针旋转顺时针旋转，到与到与BC 重合时停止设直线重合时停止设直线 l 与与 CM 交点为交点为 E，点点 Q 为为 BE 的中点的中点，过过点点 E 作作 EGBC 于于 G，连接连接 MQ、QG.请问在旋转过程中请问在旋转过程中MQG 的的大小是否变化大小
10、是否变化，若不变若不变，求出求出MQG 的度数；若变化的度数；若变化，请说明理由请说明理由 第第 2 题图题图 3.3.在数学兴趣小组活动中在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动小明进行数学探究活动，将边长为将边长为 2的正方形的正方形 ABCD 与边长为与边长为 2 2的正方形的正方形 AEFG 按图按图位置放置位置放置， AD与与 AE 在同一条直线上在同一条直线上，AB 与与 AG 在同一条直在同一条直线上线上 (1)小明发现小明发现 DGBE，请你帮他说明理由请你帮他说明理由 (2)如图如图，小明将正方形小明将正方形 ABCD 绕点绕点 A 逆时针旋转逆时针旋转，当点当点 B 恰恰
11、好落在线段好落在线段 DG 上时上时，请你帮他求出此时请你帮他求出此时 BE 的长的长 (3)如图如图，小明将正方形小明将正方形 ABCD 绕点绕点 A 继续逆时针旋转继续逆时针旋转，线段线段DG 与线段与线段 BE 将将相交，交点为相交，交点为 H，写出写出GHE 与与BHD 面积之和面积之和的最大值的最大值，并简要说明理由并简要说明理由 图图 图图 图图 第第 3 题图题图 4.4.两个全等的直角三角形两个全等的直角三角形 ABC 和和 DEF 重叠在一起重叠在一起，其中其中A60 ，AC1，固定固定ABC 不动不动，将将DEF 进行如下操作：进行如下操作： (1)如图如图，将将DEF 沿
12、线段沿线段 AB 向右平移向右平移(即即 D 点在线段点在线段 AB 上上移动移动)，连接连接 DC、CF、FB，四边形四边形 CDBF 的形状在不断的变化的形状在不断的变化，它它的面积是否变化？如果不变的面积是否变化？如果不变，请求出其面积；如果变化请求出其面积；如果变化，说明理由；说明理由； (2)如图如图，当当 D 点移到点移到 AB 的中点时的中点时，请你猜想四边形请你猜想四边形 CDBF的形状的形状，并说明理由；并说明理由； (3)如图如图，DEF 的点的点 D 固定在固定在 AB 的中点的中点，然后绕然后绕 D 点按顺时点按顺时针针方向转方向转DEF，使使 DF 落在落在 AB 边
13、上边上，此时此时 F 点点恰好与恰好与 B 点重合点重合，连接连接 AE.请你求出请你求出 sinDEA 的值的值 第第 4 题图题图 5.5.已知已知，在矩形在矩形 ABCD 中中，连接对角线连接对角线 AC，将将ABC 绕点绕点B 顺时针旋转顺时针旋转 90 得到得到EFG，并将它沿直线并将它沿直线 AB 向左平移向左平移，直直线线 EG 与与 BC 交于点交于点 H，连接连接 AH，CG. (1)如图如图，当当 ABBC，点点 F 平移到线段平移到线段 BA 上时上时，线段线段AH，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想； (2)如
14、图如图， 当当 ABBC， 点点 F 平移到线段平移到线段 BA 的延长线上时的延长线上时，(1)中的结论是否成立中的结论是否成立，请说明理由；请说明理由； (3)如图如图，当当 ABnBC(n1)时时，对矩形对矩形 ABCD 进行如已进行如已知同样的变换操作知同样的变换操作，线段线段 AH、CG 有怎样的数量关系和位置关有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想系？直接写出你的猜想 第第 5 题图题图 参考答案：参考答案： 1. 1. 解：解：(1)在点在点 P 和点和点 Q 运动的过程中运动的过程中，APM 与与CQM 保持保持全等全等 理由如下：理由如下： 在在ABC 中中，BCAC8
15、 cm，C90 ，点点 M 是是 AB 的中的中点点， AMCAMCQ45 ，AMCM， 又又点点 Q 的运动速度与点的运动速度与点 P 的运动速度相等的运动速度相等， APCQ， 在在APM 与与CQM 中中， AMCMAMCQAPCQ， APMCQM(SAS)； (2)在点在点 P 和点和点 Q 运动过程中运动过程中，四边形四边形 PMQC 的面积不变的面积不变 由由(1)知知，APMCQM， SAPMSCQM， S四边形四边形PMQCSAMC12SABC14ACBC148816 cm2， 在点在点 P 和点和点 Q 运动过程中运动过程中，四边形四边形 PMQC 的面积不变化的面积不变化，
16、其其面积是面积是 16 cm2； (3)AP2BQ2PQ2. 证明如下：证明如下： 由由(1)知知，APMCQM， APCQ， 又又ACBC， PCBQ， AP2BQ2CQ2PC2PQ2，即即 AP2BQ2PQ2. 2.2. 解解：(1)D(4，3)，P(12，8)(2 分分) 第第 2 题解图题解图 【解法提示】【解法提示】当当 t5 时时，ODAP5. 如解图如解图，延长延长 CD 交交 x 轴于点轴于点 M，则则 DMx 轴轴， 在在 RtABD 中中，AB6，AD8， BD10， sinBDA35，cosBDA45， 由矩形由矩形 ABCD 沿沿 OD 方向平移知方向平移知 ADx 轴
17、轴， DOMBDA， OMOD cosDOM4，MDOD sinDOM3， 点点 D 在第二象限在第二象限， 点点 D 的坐标为的坐标为(4，3)； 延长延长 BA 交交 x 轴于点轴于点 N， 则则 ONADOM8412， PNPADM538， 点点 P 的坐标为的坐标为(12，8) (2)当点当点 P 在边在边 AB 上且不与点上且不与点 B 重合时重合时，BP6t， S12BPAD12(6t) 84t24；(4 分分) 当点当点 P 在边在边 BC 上时上时，BPt6， S12BPAB12(t6) 63t18， 综合综合，可得可得 S 4t24（0t6）3t18（6t14）.(6 分分)
18、 第第 2 题解图题解图 （3 3）由题意易知由题意易知 D 点的坐标可表示为点的坐标可表示为(45t，35t)， 当点当点 P 在边在边 AB 上且不与点上且不与点 B 重合时重合时，点点 P 坐标为坐标为(45t8，85t)， 若若PEOECDCB，则则85t45t868，解得解得 t6； 若若PEOECBCD，则则85t45t886，解得解得 t20， 0t6， t6，t20 时时，不合题意不合题意(9 分分) 当点当点 P 在边在边 BC 上时上时，点点 P 坐标为坐标为(1415t，35t6)， 若若PEOECDBC，则则35t61415t68，解得解得 t6； 若若PEOEBCCD
19、，则则35t61415t86，解得解得 t19013， 6t14， t19013时时，点点 P 不在边不在边 BC 上上，不合题意不合题意 综上所述综上所述，当当 t6 时时，PEO 与与BCD 相似相似(12 分分) 3. 3. 解：解：(1)设在设在ABC 中中 AC 边上的高为边上的高为 h， SABC12ACh272，AC9， h3， AB5， sinAhAB35， 由勾股定理知由勾股定理知，以以 AB，h 为边的直角三角形的另一条边为为边的直角三角形的另一条边为 4， tanA34.(2 分分) 第第 3 题解图题解图 (2)S 存在最小值存在最小值 理由如下：如解图理由如下：如解图
20、，过过 P 作作 PMAC 交交 AC 于点于点 M，若运动若运动时间为时间为 t，P、Q 以每秒以每秒 5 个单位的速度运动个单位的速度运动，则则 APCQ5t， tanA34， AM4t，PM3t，QM99t(0t1)， 在在 RtPMQ 中中，PQ2PM2QM2， PQPQ2 2(3(3t t) )2 2(9(99 9t t) )2 290(90(t t9 91010) )2 28110， SPQ2， S90(t910)28110， 当当 t910时时，S最小值最小值8110， S 有最小值有最小值8110.(4 分分) (3)当当 t914 、t911、 t1、t97时时，正方形正方形
21、 PQEF 的某个顶点的某个顶点(Q 点除外点除外)会落在正方形会落在正方形 CQHG 上上(8 分分) 【解法提示】解法提示】 第第 3 题解图题解图 a. 如解图如解图，点点 E 落在落在 GH 边上边上， MQPPQH90 ，PQHHQE90 ， MQPHQE， PMQH90 ，PQQE， PMQEHQ， QHQM. 又又QHCQ， QMCQ， 5t99t， 解得：解得：t914； b. 如解图如解图，点点 F 落在落在 GH 边上边上，过点过点 E 作作 ETQC 于点于点 T，TE 的延长线交的延长线交 HG 于点于点 S， 第第 3 题解图题解图 同理：同理：PMQQTEESF，
22、PMTQSE，MQTE， STHQCQ5t， STMQPM， 5t99t3t， 解得：解得：t911； 第第 3 题解图题解图 c. 如解图如解图，点点 P 落在落在 QH 边上边上，PQ 与与 PM 重合时重合时，点点 M 与与点点 Q 重合重合， 此时：此时：AMCQAC， 4t5t9， 解得：解得：t1； d. 如解图如解图，点点 F 落在落在 CG 边上边上，1t95时时，QM9t9， 过点过点 F 作作 FWPM 于点于点 W， 第第 3 题解图题解图 同理可证：同理可证：PQMFPW， PMWFCM， ACAMCM， 4t3t9， 解得：解得：t97. 综上所述：当综上所述：当 t
23、 的值为：的值为：t914 、t911、 t1、t97时时，正方正方形形 PQEF 的某个顶点的某个顶点(Q 点除外点除外)会落在正方形会落在正方形 CQHG 上上 4. 解：解：(1)四边四边形形 ABCD 是平行四边形是平行四边形， ABCD. 在在ABC 中中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB， 由勾股定理得由勾股定理得 AC BC2AB24 cm. cosACBACBC45.(1 分分) ACD 沿沿 AC 方向平移得到方向平移得到PNM，平移的速度为平移的速度为 1 cm/s， MNAB，PC(4t) cm. 点点 Q 在在 BC 上运动上运动，运动的速度为运动的速度为 1 cm
24、/s， QCt cm.(2 分分) 如解图如解图，当当 PQMN 时时，PQAB， 第第 4 题解图题解图 PQAC， cosACBPCQCACBC45， 即即4tt45， 解得解得 t209.(3 分分) (2)PMN 是由是由ACD 平移得到的平移得到的， PMAD， 又又BCAD， PMBC， SCPQSQMC(同底等高同底等高)(4 分分) 在在PCQ 中中，如解图如解图，过点过点 P 作作 PHBC，垂足为点垂足为点 H， 第第 4 题解图题解图 则则 PHPCsinPCQ35(4t)，(5 分分) y12QCPH12t35(4t)310t265t， 即即 y310t265t(0t4
25、)(6 分分) (3)存在存在(7 分分) 理由理由：由由(2)得得 SQCPSQCM， SQMCS四边形四边形ABQP14， SCPQS四边形四边形ABQP14， SCPQSACB15.(8 分分) SACB12ABAC12346 cm2， SCPQ615，SCPQ65 cm2， y310t265t65 cm2， 0t4， t2. 存存在在 t2 使使 SQMCS四边形四边形ABQP14.(9 分分) (4)存在存在(10 分分) 理由如下：如解图理由如下：如解图，过点过点 P 作作 PHBC 于点于点 H，过点过点 M 作作MGHC，交交 HC 的延长线于点的延长线于点 G，则有则有 MG
26、PH35(4t)， HC45(4t)，QCt，HGPM5， HQHCQC45(4t)t16595t， QGHGHQ5(16595t)95t95.(11 分分) PQM90 ， PQHMQG90 ， 又又HPQPQH90 ， 第第 4 题解图题解图 HPQGQM， RtPHQRtQGM， PHHQQGGM， 即即12535t16595t95t9512535t， 解得解得 t10，t232， 经检验经检验，t10，t232是上述方程的解是上述方程的解 0t4， t32， 当当 t32时时，PQMQ. (12 分分) 类型二类型二 操作探究题操作探究题 1. 解：解：(1)如解图如解图， 四边形四边
27、形 ABCD 为矩形为矩形， B90 ，BCAD5，AB8，由勾股定理求得由勾股定理求得 AC 89， 点点 A、D、C 在同一直线上在同一直线上， DCACADACAD 895. 第第 1 题解图题解图 (2)如解图如解图，连接连接 DD， 点点 D在在 BC 的垂直平分线上的垂直平分线上， 点点 D在在 AD 的垂直平分线上的垂直平分线上， DDADAD， 设设 DE 为为 x，易得易得 AE2x， 在在 RtADE 中中，由勾股定理得：由勾股定理得：(2x)2x252， x533， 即此时即此时 DE 的长为的长为533. (3)分两种情况讨论：分两种情况讨论： )当点当点 D在矩形内部
28、时在矩形内部时，如解图如解图，连接连接 DB， 点点 D在在 AB 的的垂直平分线上，垂直平分线上， AN4， AD5，由勾股定理得由勾股定理得 DN AD2AN23， DM2， 设设 DE 为为 y， EM4y，DEy， 在在 RtEMD中中，由勾股定理得：由勾股定理得：y2(4y)222， y52，即即 DE 的长为的长为52. )当点当点 D在矩形外部时在矩形外部时，如解图如解图，连接连接 DB， 同同的方法可得的方法可得 DN3， DM8，设设 DE 为为 z， EMz4，DEz， 在在 RtEMD中中，由勾股定理由勾股定理得：得：z2(z4)282， z10，即即 DE 的长为的长为
29、 10. 综上所述综上所述，点点 D刚好落在线段刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时的垂直平分线上时，DE 的长的长为为52或或 10. 2. 解：解：(1)如解图如解图，连接连接 PA， POAD， AODO. AD2 3， OA 3.(2 分分) 点点 P 坐标为坐标为(1，0)， OP1， PA OP2OA22， BPCP2， B(3，0)，C(1，0)(4 分分) 图图 图图 第第 2 题解图题解图 (2)如解图如解图，连接连接 AP，延长延长 AP 交交P 于点于点 M，连接连接 MB、MC.线段线段 MB、MC 即为所求作即为所求作 四边形四边形 ACMB 是矩形是矩形(6 分分)
30、 【解法提示】【解法提示】 MCB 由由ABC 绕点绕点 P 旋转旋转 180 所得所得， 四边形四边形 ACMB 是平行四边形是平行四边形 BC 是是P 的直径的直径，CAB90 ， 平行四边形平行四边形 ACMB 是是矩形矩形 如解图如解图，过点过点 M 作作 MHBC，垂足为垂足为 H, 在在MHP 和和AOP 中中， MHPAOP，HPMOPA，MPAP， MHPAOP， MHOA 3，PHPO1， OH2， 点点 M 的坐标为的坐标为(2， 3)(8 分分) (3) 第第 2 题解图题解图 在旋转过程中在旋转过程中MQG 的大小不变的大小不变(9 分分) 四边形四边形 ACMB 是矩
31、形是矩形， BMC90 . EGBO，BGE90 ， BMCBGE90 .(10 分分) 点点 Q 是是 BE 的中点的中点， QMQEQBQG， 如解图如解图，点点 E、M、B、G 在以点在以点 Q 为圆心为圆心，QB 为半径的为半径的圆上圆上， MQG2MBG. COA90 ，OC1，OA 3， tanOCAOAOC 3， OCA60 ， MBCBCA60 ， MQG120 ， 在旋转过程中在旋转过程中MQG 的大小不变的大小不变，始终等于始终等于 120 .(12 分分) 3. 解：解：(1)如解图如解图，延延长长 EB 交交 DG 于点于点 H， 第第 3 题解图题解图 形形， ADA
32、B，DAGBAE90 ，AGAE， ADGABE(SAS)， AGDAEB. 在在ADG 中中，AGDADG90 ， AEBADG90 ， DHE90 ，即即 DGBE.(4 分分) (2)四边形四边形 ABCD 与四边形与四边形 AEFG 都是正方形都是正方形， ADAB，DABGAE90 ，AGAE， 第第 3 题解图题解图 DABBAGGAEBAG， DAGBAE. ADAB，DAGBAE，AGAE， ADGABE(SAS)， DGBE. 如解图如解图， 过点过点 A 作作 AMDG 于点于点 M， AMDAMG90 ， BD 是正方形是正方形 ABCD 的一条对角线的一条对角线， 第第
33、 3 题解图题解图 MDA45 . 在在 RtAMD 中中， MDA45 ，AD2， DM 2，AM 2， 在在 RtAMG 中中， AM2GM2AG2， GM AG2AM2（2 2）2（ 2）2， GM 6. DGDMGM 2 6， BEDG 2 6.(8 分分) (3)GHE 与与BHD 面积之和的最大值为面积之和的最大值为 6.(10 分分) 理由：如解图理由：如解图，对于对于GHE，由由于线段于线段 GE 是固定的是固定的，且且BEDG，故可得点故可得点 H 在以在以 EG 为直径的圆上为直径的圆上，当点当点 H 与点与点 A 重合重合时时，GHE 中中 GE 边上的高最大边上的高最大
34、，同理对于同理对于BHD，点点 H 在以在以 BD为直径的圆上为直径的圆上， 即点即点 H 与点与点 A 重合时重合时， BHD 中中 BD 边上的高最大边上的高最大，所以所以GHE 与与BHD 面积之和的最大值是面积之和的最大值是12S正方形正方形ABCD12S正方形正方形AEFG122212(2 2)2246.(12 分分) 4. 解：解：(1)它的面积不变它的面积不变 过过 C 点作点作 CGAB 于点于点 G，如如解图解图， 第第 4 题解图题解图 DEF 沿线段沿线段 AB 向右平移向右平移(即即 D 点在线段点在线段 AB 上移动上移动)， CFAD，CFAD， SADCSCBF(
35、同底等高同底等高)， 在在 RtAGC 中中，sin60CGAC，AC1， CG32. AB2， S四边形四边形CDBFSABC1223232. (2)四边形四边形 CDBF 的形状为菱形的形状为菱形， 理由：理由：CFADDB，FCBD， 四边形四边形 CDBF 是平行四边形是平行四边形， DFAC，ACB90 ， CBDF， 四边形四边形 CDBF 是菱形是菱形 (3)过点过点 D 作作 DHAE 于点于点 H，如解图如解图， 则则 SADE12ADEB121 332， 第第 4 题解图题解图 SADE12AEDH32， 又又AE AB2BE222（ 3）2 7， DH3AE37217，
36、DEAB2， 在在 RtDHE 中中，sinDEADHDE21722114. 5. 解解：(1)AHCG，AHCG.(4 分分) 【解法提示】【解法提示】延长延长 AH 与与 CG 交于点交于点 T，如解图如解图， 由旋转和平移的性质可得：由旋转和平移的性质可得： EFAB， FGBC， EFGABC. 四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形，ABBC， EFGF，EFGABC90 . 第第 5 题解图题解图 CBG90 ，EGF45 ， BHG90 45 45 EGF， BHBG. 在在ABH 和和CBG 中中， ABCBABHCBGBHBG， ABHCBG(SAS)， AHCG，HABGCB
37、， HABAGCGCBAGC90 . ATC90 ， AHCG. (2)(1)中的结论仍然成立中的结论仍然成立(5 分分) 理由如下：延长理由如下：延长 CG 与与 AH 交于点交于点 Q，如解图如解图， 由旋转和平移的性质可得：由旋转和平移的性质可得： EFAB， FGBC， EFGABC. 第第 5 题解图题解图 四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形，ABBC， EFGF，EFGABC90 ， ABH90 ，EGF45 ， BGHEGF45 ， BHG90 45 45 BGH， BHBG. 在在ABH 和和CBG 中中， ABCBABHCBGBHBG， ABHCBG(SAS)， AHCG，
38、HABGCB， GCBCHAHABCHA90 ， CQA90 ， CGAH.(8 分分) (3)AHnCG，AHCG.(12 分分) 【解法提示】【解法提示】延长延长 AH 与与 CG 交于点交于点 N，如解图如解图， 由旋转和平移的性质可得：由旋转和平移的性质可得： EFAB， FGBC， EFGABC. 四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形，ABnBC， EFnGF，EFGABC90 ， 第第 5 题解图题解图 EFGABC180 . BHEF， GBHGFE， BHBGFEFG， FEFGnABBC， BHBGABBC， ABHCBG， ABHCBG， AHCG ABCBn，HABGCB， AHnCG，HABAGCGCBAGC90 ， ANC90 ， AHCG.