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1、专题卷(六) 与切线有关的证明与计算 数 学 1如图，平行四边形 OABC 的三个顶点 A，B，C 在以 O 为圆心的半圆上，过点 C 作CDAB，分别与 AB，AO 的延长线交于点 D，E，AE 交半圆 O 于点 F，连接 CF. (1)判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系，并说明理由； (2)求证：CFOC； 若半圆 O 的半径为 12，求阴影部分的周长 ,题图) ,答图) 解：(1)DE 是O 的切线理由：如图，连接 OB，BF. 四边形 OABC 是平行四边形，且 OAOC， 四边形 OABC 是菱形， OAOBABOCBC， ABO，BCO 都是等边三角形， AOBBOCCOF60
2、， OBOF，OCBF， AF 是直径，CDAD， ABFDBGDBGC90， 四边形 BDCG 是矩形 OCD90，DE 是O 的切线 (2)由(1)可知：COF60，OCOF， OCF 是等边三角形，CFOC 在 RtOCE 中， OC12，COE60，OCE90， OE2OC24，EC12 3，EFOEOF12， CF的长60121804， 阴影部分的周长为 41212 3 2在等腰ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的O 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F. (1)求证：DF 是O 的切线； (2)分别延长 CB，FD，相交于点 G，A60，O
3、 的半径为 6，求阴影部分的面积 来源:学,科,网 解：(1)连接 OD ACBC，OBOD， ABCA，ABCODB，AODB， ODAC，DFAC，DFOD， OD 是O 的半径，DF 是O 的切线 (2)ACBC，A60，ABC 是等边三角形， ABC60，ODOB，OBD 是等边三角形， BOD60，ODG90，G30， OG2OD2612，DG 3OD6 3， 阴影部分的面积ODG的面积扇形OBD的面积1266 3606236018 36 3如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于 C，BECO. (1)求证：BC 是ABE 的平分线； (2)若 DC8，O 的半径 OA6，求
4、CE 的长 解：(1)DE 是切线，OCDE， BECO，OCBCBE， OCOB，OCBOBC， CBECBO，BC 是ABE 的平分线 (2)在 RtCDO 中，DC8，OCOA6，ODCD2OC210，OCBE， DCCEDOOB，8CE106.EC4.8 4如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，BDAB，交 AC 的延长线于点 D， (1)E 为 BD 的中点，连接 CE，求证：CE 是O 的切线； (2)若 AC3CD，求A 的大小 ,题图) ,答图) 解：(1)如图，连接 OC，OAOC，A1，AOOB，E 为 BD 的中点，OEAD，13，A2，23，在COE 与BOE 中
5、，OCOB，23OEOE，COEBOE，OCEABD90，CE 是O 的切线 (2)AB 为O 的直径，BCAD，ABBD，ABCBDC，BCACCDBC，BC2ACCD，AC3CD，BC213AC2， tanABCAC33，A30 5如图，在菱形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上，且 PAPD，O 是PAD 的外接圆 (1)求证：AB 是O 的切线； (2)若 AC8，tanBAC22，求O 的半径 解：(1)连接 OP、OA，OP 交 AD 于 E，如图，PAPD，APDP， OPAD，AEDE， 1OPA90， OPOA，OAPOPA，来源:学&科&网 1OAP9
6、0，四边形 ABCD 为菱形， 12，2OAP90，OAAB，AB 是O 的切线 (2)连接 BD，交 AC 于点 F，如图， 四边形 ABCD 为菱形， DB 与 AC 互相垂直平分，DACBAC， AC8，tanBAC22，AF4，tanDAFDFAF22，DF2 2，ADAF2DF22 6， AE 6，在 RtPAE 中，tanPAEPEAE22，PE 3，设O 的半径为 R，则OER 3，OAR，在 RtOAE 中，OA2OE2AE2，R2(R 3)2( 6)2，R3 32，即O 的半径为3 32来源来源:学科网学科网ZXXK 6如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过点
7、 C 的切线互相垂直，垂足为点 D，AD 交O 于点 E，连接 CE，CB， (1)求证：CECB； (2)若 AC2 5，CE 5，求 AE 的长 解：(1)连接 OC，CD 是O 的切线， OCCD.ADCD，OCAD， DACACO.又 OAOC， OACACO，DACOAC， CECB (2)AB 是直径，ACB90， AC2 5，CBCE 5， ABAC2CB2（2 5）2（ 5）25. ADCACB90，DACCAB， ADCACB，ADACACABDCCB，即AD2 52 55DC5. AD4，DC2.在直角DCE 中，DEEC2DC21， AEADED413 来源:学,科,网
8、Z,X,X,K 7如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于 D. (1)求证：ADCCDB； (2)若 AC2，AB32CD，求O 的半径 解：(1)连接 OC，CD 与O 相切于点 C，AB 是圆O 的直径，ACB90， ACOBCD， ACOCAD，CADBCD， 又ADCCDB，ADCCDB (2)设 CD 为 x，则 AB32x，OCOB34x， OCD90，ODOC2CD2（34x）2x254x， BDODOB54x34x12x.由(1)知，ADCCDB， ACCBCDBD，即2CBx12x，解得 CB1，ABAC2BC2 5， O 的半径是52 8
9、如图，已知 AB 是圆 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，与 AC 平行的圆 O 的一条切线交 CD 的延长线于点 M，交 AB 的延长线于点 E，切点为 F，连接 AF 交 CD 于点 N. (1)求证：CACN； (2)连接 DF，若 cosDFA45，AN2 10，求圆 O 的直径的长度 解：(1)连接 OF，则OAFOFA， ME 与O 相切，OFME. CDAB，MFOH180， BOFOAFOFA2OAF，FOHBOF180，来源:学科网 M2OAF.MEAC，MC2OAF.CDAB，ANCOAFBACC90，ANC90OAF，BAC90C902OAF，CANOAFBAC90O
10、AFANC，CACN (2)连接 OC，cosDFA45，DFAACH，CHAC45.设 CH4a，则 AC5a，AH3a，CACN，NHa，ANAH2NH2（3a）2a2 10a2 10，a2，AH3a6，CH4a8.设圆的半径为 r，则 OHr6，在 RtOCH 中，OCr，CH8，OHr6，OC2CH2OH2，r282(r6)2，解得：r253，圆 O 的直径的长度为 2r503 9 如图， ABD 是O 的内接三角形， E 是弦 BD 的中点， 点 C 是O 外一点且DBCA，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C. (1)求证：BC 是O 的切线； (2)若O 的半
11、径为 6，BC8，求弦 BD 的长 解：(1)连接 OB，E 是弦 BD 的中点， BEDE，OEBD，BFDF12BD， BOEA，OBEBOE90， DBCA，BOEDBC， OBEDBC90， OBC90，即 BCOB，BC 是O 的切线 (2)OB6，BC8，BCOB， OCOB2BC210， OBC 的面积12OCBE12OBBC， BEOBBCOC68104.8， BD2BE9.6，即弦 BD 的长为 9.6 10如图，O 与 RtABC 的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点 C、D，与边 BC 相交于点 F，OA 与 CD 相交于点 E，连接 FE 并延长交 AC 边于点
12、G. (1)求证：DFAO； (2)若 AC6，AB10，求 CG 的长 解：(1)连接 OD.AB 与O 相切于点 D，又 AC 与O 相切于点 C，ACAD， OCOD，OACD，CDOA， CF 是直径，CDF90，DFCD， DFAO (2)过点 E 作 EMOC 于 M， AC6，AB10，BCAB2AC28，ADAC6，BDABAD4，易证BDFBCD，BD2BFBC，BF2，CFBCBF6.OC12CF3，OAAC2OC23 5，易证OCEOAC，OC2OEOA，OE3 55，EMAC，EMACOMOCOEOA15，OM35，EM65，FMOFOM185，EMCGFMFC3.66
13、35，CG53EM2 11如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 是O 的切线，ADCD 于点D，E 是 AB 延长线上一点，CE 交O 于点 F，连接 OC，AC. (1)求证：AC 平分DAO； (2)若DAO105，E30， 求OCE 的度数； 若O 的半径为 2 2，求线段 EF 的长 解：(1)CD 是O 的切线， OCCD， ADCD，ADOC， DACOCA， OCOA，OCAOAC， OACDAC， AC 平分DAO (2)ADOC，EOCDAO105， E30，OCE45 作 OGCF 于点 G，则 CGFGOG， OC2 2，OCE45，CGOG2，FG2， 在 RtOGE 中，E30，GE2 3， EFGEGF2 32