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1、关于方程的根与函数的零点(2)第一页，讲稿共二十一页哦问题情境问题情境:(1)y=x(1)y=x2 2+2x-3+2x-3与与x x2 2+2x-3=0+2x-3=0(2)y=x(2)y=x2 2+2x+1+2x+1与与x x2 2+2x+1=0+2x+1=0(3)y=x(3)y=x2 2+2x+3+2x+3与与x x2 2+2x+3=0+2x+3=0问题问题1 1：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴交点和相应方程的根轴交点和相应方程的根有何关系？有何关系？第二页，讲稿共二十一页哦 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象
2、象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y=x22x+3第三页，讲稿共二十一页哦方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交
3、点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2问题问题2:2:二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与的图象与x x轴交点和相轴交点和相应一元二次方程应一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根有何关系的根有何关系?结论结论:二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。就是相应方程的实数根。第四页，讲稿共二十一页哦 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函
4、数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：等价关系等价关系第五页，讲稿共二十一页哦观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象:2,1 f(2)0 f(1)0 f(2)f(1)0（2,1）x1 x22x30的一个根的一个根 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0（2,4）x3 x22x30的另一个根的另一个根.xy0132112123424观察对数函数观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:0.5,1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0（0.5,1.5)x1 lgx=
5、0的一个根的一个根.xy0121.第六页，讲稿共二十一页哦 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。注注注注:只要满足上述两个条件只要满足上述两个条件,就能判断函数在就能判断函数在就能判断函数在就能判断函数在指定区间内存在零点。指定区间内存在零点。指定区间内存在零点。指定区间内存在零点。x xy y0 0a ab b.
6、第七页，讲稿共二十一页哦结结论论例例第八页，讲稿共二十一页哦练习练习2 2、求函数、求函数y=xy=x2 2-5x+1-5x+1的零点。的零点。变式：判断函数变式：判断函数y=xy=x3 3-5x+1-5x+1是否有零点。是否有零点。练一练练一练:练习练习1 1、利用函数图象判断下列方程有没有根，、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根。有几个根。(2)5x(2)5x2 2+2x=3x+2x=3x2 2+5+5(1)lnx-2=0(1)lnx-2=0第九页，讲稿共二十一页哦练习练习3 3、函数、函数f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1在下列哪个区间有零点（在下列哪个区间有零点（）
7、A.(-2A.(-2，-1)B.(0-1)B.(0，1)C.(11)C.(1，2)D.(22)D.(2，3)3)练习练习4 4、求证：方程、求证：方程5x5x2 2-7x-1=0-7x-1=0的一个根在区间的一个根在区间(-1,0)(-1,0)内，另一个根在区间内，另一个根在区间(1,2)(1,2)内。内。变式：若函数变式：若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不断的曲线，且函数连续不断的曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,b)(a,b)内有内有零点，则零点，则f(a)f(b)f(a)f(b)的值的值()()
8、A A、大于、大于0 B0 B、小于、小于0 C0 C、无法判断、无法判断 D D、等于零、等于零第十页，讲稿共二十一页哦总结：总结：函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的一条曲线：的一条曲线：（1 1）f(a)f(b)0 f(a)f(b)0 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点；内有零点；（2 2）函数）函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点 f(a)f(b)0f(a)f(b)0。第十一页，讲稿共二十一页哦由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(
9、2)f(3)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)=x33x+5在区间在区间(1,1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是(,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy0132112543f(x)=x33x+5.第十六页，讲稿共二十一页哦解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：.因为因为f(3)30,所以所以f(x)=2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)=2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一
10、个零点。上有且只有一个零点。xy01321125-3-24f(x)=2x ln(x2)3第十七页，讲稿共二十一页哦解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：.因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)=ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x)=ex1+4x4是是(，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。f(x)=ex1+4x4xy0132112123424第十八页，讲稿共二十一页哦解：解：解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40,f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)=3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3)、(3，2,)、(2,3)上各有上各有一个零点。一个零点。f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.第十九页，讲稿共二十一页哦小结小结与与思考思考函数零点的定义函数零点的定义三个等价关系三个等价关系三个等价关系三个等价关系函数的零点或相应方程的根的存在性以及函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断个数的判断第二十页，讲稿共二十一页哦感谢大家观看第二十一页，讲稿共二十一页哦