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1、第一部分教材梳理,第3节反比例函数,第三章函数,知识梳理,概念定理,1. 反比例函数的概念：一般地，函数 (k是常数，k0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k的形式.自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.2. 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称.由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.,方法规律,1. 反比例函数解析式的确定：确定反比例函数解析式的方法为
2、待定系数法.由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.2. 反比例函数中反比例系数的几何意义：若过反比例函数 (k0)图象上任一点P作x轴,y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=|y|x|=|xy|.y= ,xy=k,S=|k|.3. 反比例函数的应用：利用反比例函数解决实际问题，要能把实际问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，并从实际意义中找到对应的变量的值；还要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式，同时体会数学中的转化思想.,中考考点精讲精练,考点1反比例函数的图象
3、和性质5年1考：2013年(选择题),典型例题1. 关于反比例函数y=- ，下列说法正确的是 ( )A. 图象过(1，2)点B. 图象在第一、三象限C. 当x0时，y随x的增大而减小D. 当x0时，y随x的增大而增大,D,2. 对于函数y= ，下列说法错误的是 ( )A. 这个函数的图象位于第一、第三象限B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C. 当x0时，y随x的增大而增大D. 当x0时，y随x的增大而减小,C,考点演练3. 如图1-3-3-1，已知反比例函数y= (k0)的图象经过点B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，BAx轴于点A，CDx轴于点D.(1)求这个反比函数的解
4、析式；(2)求ACD的面积.,解：(1)将B点坐标代入函数解析式，得 =2. 解得k=6. 反比例函数的解析式为y= . (2)由B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，得C(-3，-2). 由BAx轴于点A，CDx轴于点D，得A(3，0)，D(-3，0). SACD= ADCD= 3-(-3)|-2|=6.,4. 如图1-3-3-2，已知反比例函数y= 的图象经过点A(4，m)，ABx轴，且AOB的面积为2. (1)求k和m的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y= 的图象上，当-3x-1时，求函数值y的取值范围.,解：(1)AOB的面积为2，k=4. 反比例函数解析式为y= . A(4
5、，m)，m= =1. (2)当x=-3时，y=- ；当x=-1时，y=-4. 又反比例函数y= 在x0时，y随x的增大而减小，当-3x-1时，y的取值范围为-4y- .,考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握反比例函数的各项基本性质. 注意以下要点：(1)当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内，y随x 的增大而减小;(2)当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内，y随x 的增大而增大.,考点2求反比例函数的解析式5年4考：2014年(解答题)、2015年(解答题)、2016年(解答
6、题)、2017年(选择题),典型例题1. 如图1-3-3-3，已知点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数y= (k0)的图象上，ABx轴，分别过点A,B向x轴作垂线，垂足分别为C,D，若OC= OD，则k的值为 ( )A. 10 B. 12C. 14 D. 16,B,2. 如图1-3-3-4，反比例函数y= (k0)经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，求反比例函数的解析式.,3. 如图1-3-3-5，A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为_.,y= -,4. (2016乐山)如图1-3-
7、3-6，反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象交于点A(2，2)，B( ，n.) 求这两个函数的解析式.,解：点A(2，2)在反比例函数y= 的图象上，k=4. 反比例函数的解析式为y= . 又点B( ，n)在反比例函数y= 的图象上， n=4. 解得n=8，即点B的坐标为( ，8). 由A(2，2)，B( ，8)在一次函数y=ax+b的图象上，得 一次函数的解析式为y=-4x+10.,考点演练5. 如图1-3-3-7，在矩形OABC中，AB=2BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，连接OB，反比例函数y= (k0，x0)的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标
8、是4，则k的值是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,B,6. 如图1-3-3-8，直线AB与坐标轴分别交于A(-2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的解析式.,解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把A(-2，0)，B(0，1)代入，得 -2k+b=0, b=1.解得 k= , b=1.一次函数的解析式为y= x+1. 把C(4，n)代入，得n=3. C(4，3). 设反比例函数的解析式为y= ，把C(4，3)代入y= ，得m=34=12. 反比例函数的解析式为y= .,7. 如图1-3-3-9，在直角坐标系中，正方形的
9、中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数y= (k0)的图象上与正方形的一个交点. 若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_.,y=,8. 如图1-3-3-10，在平面直角坐标系中，一次函数y=-ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(-4，-2)，B(m，4)，与y轴相交于点C. 求反比例函数和一次函数的表达式.,解：点A(-4，-2)在反比例函数y= 的图象上，k=-4(-2)=8. 反比例函数的表达式为y= . 点B(m，4)在反比例函数y= 的图象上，4m=8，解得m=2. 点B(2，4). 将A(-4，-2)，B(2，4)代入y
10、=-ax+b中，得 -2=4a+b, 解得 a=-1, 4=-2a+b. b=2. 一次函数的表达式为y=x+2.,考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式. 注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法.,考点3反比例函数的应用(5年未考),典型例题1. (2017杭州)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3. (1)设矩形的相邻两边长分别为x，y. 求y关于x的函数表达式；当y3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩
11、形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？,解：(1)由题意,得xy=3，则y= . 当y3时，则 3. 解得x1. 故x的取值范围是0 x1. (2)一个矩形的周长为6，x+y=3. x+ =3. 整理,得x2-3x+3=0. b2-4ac=9-12=-30，矩形的周长不可能是6. 所以圆圆的说法不对.,一个矩形的周长为10，x+y=5. x+ =5. 整理,得x2-5x+3=0. b2-4ac=25-12=130，矩形的周长可能是10. 所以方方的说法对.,2. (2017乐山)某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：,(1)请
12、你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；(2)按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元. 预计生产成本每件比2016年降低多少万元？若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？(结果精确到0.01万元),解：(1)设其为一次函数，解析式为y=kx+b，当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6， 2.5k+b=7.2, 解得 k=-2.4， 3k+b=6. b=13.2.一次函数解析式为y=-2.4x+13.2. 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边右边,其不是一次函数. 同理,
13、其也不是二次函数. 设其为反比例函数,解析式为y= ,当x=2.5时，y=7.2，可得7.2= 解得k=18.,反比例函数是y= . 验证：当x=3时， y= =6，符合反比例函数. 同理可验证x=4时，y=4.5;x=4.5时，y=4成立. 可用反比例函数y= 表示其变化规律. (2)当x=5万元时，y=3.6. 4-3.6=0.4(万元)，生产成本每件比2016年降低0.4万元.当y=3.2万元时，3.2= ，x=5.625. 5.625-5=0.6250.63(万元). 还约需投入技改资金0.63万元.,考点演练,3. 如图1-3-3-11，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液
14、中的药物浓度y(微克/ml)用药后的时间x(h)变化的图象(图象由线段OA与部分双曲线AB组成). 并测得当y=a时，该药物才具有疗效. 若成人用药4 h，药物开始产生疗效，且用药后9 h，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物需要多长时间达到最大浓度？,解：设直线OA的解析式为y=kx，把(4，a)代入，得a=4k，解得k= . 即直线OA的解析式为y= x. 根据题意，得(9，a)在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为y= . 当 x= 时，解得x=6(负值舍去). 故成人用药后，血液中药物需要6 h达到最大浓度.,4. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.
15、为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道. 木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图1-3-3-12所示.(1)请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；(2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板的面积至少要多大？,解：(1)p= (S0). (2)当S=0.2时，p= =3 000，即压强是3 000 Pa. (3)由题意知 6 000，S0.1，即木板面积至少要有0.1 m2.,考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在
16、于掌握实际问题与反比例函数模型的转化. 注意以下要点：利用反比例函数解决实际问题. 能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型;注意在自变量和函数值的取值上的实际意义;问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.,广东中考,1. (2017广东)如图1-3-3-13，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x(k10)与双曲线y= (k20)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为 ( ),A,2. (2013广东)已知k10k2，则函数y=k1x-1和y= 的图象大致是 ( ),A,3. (2017广州)a0，函数y= 与y=-ax2+a在同一直角
17、坐标系中的图象大致是 ( ),D,4.(2016广州)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80 km/h的速度用了4h到达乙地，当他按原路匀速返回时.汽车的速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系是 （ ）,B,5. (2015深圳)如图1-3-3-14，已知点A在反比例函数y= (x0)上，作RtABC，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E. 若BCE的面积为8，则k=_.,16,6. (2017广州)将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y= 的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3. (1)求m和k的值；(2)结合图象求不等
18、式3x+m 的解集.,解：(1)由平移,得y=3x+1-1=3x，m=0. 当y=3时，3x=3，x=1，A(1，3). k=13=3. (2)画出直线y=3x和反比例函数y= 的图象,如答图1-3-3-2所示，由图象,得不等式3x+m 的解集为-1x0或x1.,7. (2016茂名)如图1-3-3-15，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= (k为常数，k0)的图象交于点A(-1，4)和点B(a，1). (1)求反比例函数的表达式和a,b的值；(2)若A,O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标.,解：(1)点A(-1，4)在反比例函数y= (k为常数，k0)的图象上，k=-14=-4. 反比例函数解析式为y= - . 把点A(-1，4),B(a，1)分别代入y=x+b中，得 4=-1+b, 解得 a=-4, 1=a+b. b=5.,(2)连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如答图1-3-3-3所示. A,O两点关于直线l对称，点M为线段OA的中点. 点A(-1，4),O(0，0)，点M的坐标为(- ，2). 直线l与线段AO的交点坐标为(- ，2).,