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1、第一部分教材梳理,第3节锐角三角函数及其应用,第六章图形与变换、坐标,知识梳理,概念定理,1. 锐角三角函数的定义假设在RtABC中，C=90，则有：（1）正弦：锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的正弦，记作sinA.（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，记作cosA.,（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切，记作tanA. （4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.,2. 解直角三角形的应用的有关概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1m的形式. （2
2、）坡角：把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为（3）仰角和俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.,主要公式,1. 同角三角函数关系公式（1）平方关系：sin2A+cos2A=1. （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 或sinA=tanAcosA.,2. 两角互余的三角函数关系公式在RtABC中，A+B=90时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90-A）.（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90-A）.也可以理
3、解成若A+B=90，那么sinA=cosB或sinB=cosA.,3. 特殊角的三角函数值,方法规律,1. 解直角三角形要用到的关系（1）锐角之间的关系：A+B=90.（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.（3）边角之间的关系：2. 解直角三角形的应用问题的有关要点（1）应用范围：,通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.（2）一般步骤将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）.根据题目的已知条件选
4、用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.,中考考点精讲精练,考点1锐角三角函数、解直角三角形5年3考：2013年(填空题)、2016年(选择题)、2017年(解答题),典型例题1. (2017聊城)在RtABC中，cosA= ，那么sinA的值是( )A. B. C. D.,B,2. 如图1-6-3-1，已知RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD,CB相交于点H,E，AH=2CH. (1)求sinB的值；(2)如果CD= ，求BE的值.,3. 在RtABC中，C=90，AC=12，cosA= ，则
5、tanA等于 ( )A. B. C. D.4. 如图1-6-3-2，已知四边形ABCD中，ABC=90，ADC=90，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若A=60，求BC的长；(2)若sinA= ，求AD的长. (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号),D,考点演练5. 如图1-6-3-3，在RtABC中，斜边AB的长为m，A=35，则直角边BC的长是 ( ),A,6. 如图1-6-3-4，在RtABC中，ACB=90，D是边AB的中点，BECD，垂足为点E. 已知AC=15，cosA= . 求线段CD的长.,解：AC=15，cosA= ，cosA= = . A
6、B=25. ACB为直角三角形，D是边AB的中点，CD= (或12.5).,7. 在RtABC中，C=90，AB=4，AC=1，则cosB的值为 ( )A. B. C. D.8. 如图1-6-3-5，在ABC中，AD是BC边上的高，C=45，sinB= ，AD=1. 求BC的长.,A,考点点拨：本考点的题型一般为选择题或解答题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于利用锐角三角函数的定义进行计算. 注意以下要点：锐角三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切的定义等.,考点2解直角三角形的应用5年1考：2014年(解答题),典型例题1. (2017海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库
7、的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD=2 m)，背水坡DE的坡度i=11(即DBEB=11)，如图1-6-3-6所示，已知AE=4 m，EAC=130，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.2),2. (2017通辽)如图1-6-3-7，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角EOA=30，在OB的位置时俯角FOB=60，若OCEF，点A比点B高7 cm. 求：(1)单摆的长度;( 1.7)(2)从点A摆动到点B经过的路径长. (3.1),考点演练3. 如图1-6-3-8，为了测得一棵树的高度A
8、B，小明在D处用高为1 m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45，再向树方向前进10 m，又测得树顶A的仰角为60，求这棵树的高度AB.,4. 如图1-6-3-9，一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20 min到达C处，求救援船的航行速度. (sin370.6，cos370.8， 1.732，结果取整数),考点点拨：本考点的题型一般为解答题，难度适中. 解答本考点的有关题目，关键在于借助实际问题中的俯角、仰角或方向角等构造直角三角形并解直角三角形.注意以下要点：(1)将
9、实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题);(2)根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.,广东中考,1. (2016广东)如图1-6-3-10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos的值是 ( )A. B. C. D.,D,2. (2017深圳)如图1-6-3-11，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是 ( ) A. B.3
10、0 m C. D.40 m,B,3. (2013广东)在RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，则sinA=_.4. (2017广州)如图1-6-3-12，RtABC中，C=90，BC=15，tanA= ，则AB=_.,17,5. (2014广东)如图1-6-3-13，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10 m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60(A，B，D三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据： 1.414， 1.732),解：CBD=A+ACB，ACB=C
11、BD-A=60-30=30.A=ACB.BC=AB=10(m).在RtBCD中，CD=BCsinCBD=答：这棵树CD的高度为8.7 m.,6. (2015佛山)如图1-6-3-14，在水平地面上竖立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D. 光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37角. 墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC=5.5 m. (1)求墙AB的高度(结果精确到0.1 m)；(参考数据：tan370.75，sin370.60，cos370.80)(2)如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法.,解：(1)在RtABC中，AC=5.5 m，C=37，t
12、anC= ，AB=ACtanC=5.50.754.1(m). 答：墙AB的高度为4.1 m.(2)要缩短影子AC的长度，增大C的度数即可，即第一种方法：增加路灯D的高度.第二种方法：使路灯D向墙靠近.,7. (2015茂名)如图1-6-3-15，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20 km，CAB=30，CBA=45，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路. (1)求新铺设的输电线路AB的长度；(结果保留根号)(2)问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？(结果保留根号),8. (2016深圳)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园. 如图1-6-3-16，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30. 已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度. (结果保留根号),解：如答图1-6-3-4，过点A作ADBC交BC于点D，过点B作BH水平线交水平线于点H，由题意,得ACH=75，BCH=30，ABCH，ABC=30，ACB=45. AB=32 m，CD=AD=ABsin30=16(m)，BD=ABcos30= (m). BC=CD+BD=( +16)m. 则BH=BCsin30=( +8)m.答：这架无人飞机的飞行高度为( +8)m.,