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1、第一部分教材梳理,第3节一元二次方程,第二章方程与不等式,知识梳理,概念定理,1. 一元二次方程(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.(2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，它的特征是：等式左边为一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.,2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平
2、方根，当b0时，x+a=b，x=-ab，当b0时，方程没有实数根.(2)配方法配方法的理论根据是完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则有x22bx+b2=(xb)2.,配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方公式.(3)公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式为：公式法的步骤：把一元二次方程的各系数分别代入求根公式，然后计算得出结果即可，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系
3、数为c.,(4)因式分解法因式分解法就是利用因式分解的思想，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求出方程的解的方法，它是解一元二次方程最常用的方法.,主要公式,1. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即=b2-4ac.I. 当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II. 当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；III. 当0时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：,方法规律,公式法和因式分解法的运用技
4、巧(1)在解一元二次方程时，最常用到的方法是公式法和因式分解法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法). 在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解.(2)在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.,中考考点精讲精练,考点1解一元二次方程5年1考：2015年(解答题),典型例题1. 解方程：x2-5x-1=0.,2. x2-4x+1=0.(用配方法),解：x2-4x+1=0，x2-4x=-1. x2-4x+4=4-1，即(x-2)2=3.x-2= . 解得x1=2+ ，x2=2
5、- .,3. 解方程：(2x-1)2=25.,解：开方,得2x-1=5或2x-1=-5. 解得x1=3，x2=-2.,4. 解方程：x2+x-2=0.,解：分解因式,得(x-1)(x+2)=0. 可得x-1=0或x+2=0. 解得x1=1，x2=-2.,考点演练5. 4x2-3=12x.(用公式法解),解：原方程整理,得4x2-12x-3=0，a=4，b=-12，c=-3，=144-44(-3)=1920.,6. 解方程：(x-1)(x-3)=8.,解：(x-1)(x-3)=8，x2-4x+3=8.x2-4x=5.x2-4x+4=9，即(x-2)2=9.x-2=3.x1=3+2=5，x2=2-
6、3=-1.,7. 解方程：3(x-3)2-25=0.,解：3(x-3)2-25=0，(x-3)2= .x-3= .x1=3+ ，x2=3- .,8. 解方程：(x-2)(x-5)=-2.,解：(x-2)(x-5)=-2,x2-7x+12=0.(x-3)(x-4)=0.x-3=0或x-4=0.x1=3，x2=4.,考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题和解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤. 注意以下要点：(1)解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种；(2)求根公式法和因式分解法是最
7、常用的两种方法，重点在与掌握求根公式和因式分解的方法.,考点2一元二次方程根的判别式与根的情况5年3考：2014年(选择题)、2015年(选择题)、2017年(选择题),典型例题1. (2017安顺)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ( )A. 0 B. -1 C. 2 D. -32.(2017北京)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围.,D,(1)证明：在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中，=-(k+3)2-41(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)20，方程
8、总有两个实数根. (2)解：x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0，x1=2，x2=k+1. 方程有一根小于1，k+11，解得k0. k的取值范围为k0.,3. (2017宜宾)一元二次方程4x2-2x+ =0的根的情况是 ( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断,B,4. 已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. (1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.,解：(1)设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系,得x+1=-a，x1=a-2. 解得x=- ，a
9、= . 即a= ，方程的另一个根为- . (2)=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+40，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.,考点演练5. 已知a,b,c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断,B,6. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.,解：(1)根据题意,得=22-4(k-2)0. 解得k3. (2)k为正整
10、数，k=1或k=2. 当k=1时，=8，所以该方程的根为无理数. 当k=2时，原方程为x2+2x=0. 解得x1=0，x2=-2. k的值为2.,7. 若关于x的方程kx2-3x- =0有实数根，则实数k的取值范围是 ( )A. k=0 B. k-1且k0C. k-1 D. k-18. 关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值.,C,解：(1)原方程有两个不相等的实数根，=(2k+1)2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-30. 解
11、得k . (2)k ，x1+x2=-(2k+1)0. 又x1x2=k2+10，x10，x20. |x1|+|x2|=-x1-x2=-(x1+x2)=2k+1. |x1|+|x2|=x1x2，2k+1=k2+1. k1=0，k2=2. 又k ，k=2.,考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键是熟练掌握一元二次方程根的判定方法. 注意以下要点：一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)0 方程有两个不相等的实数根；(2)=0 方程有两个相等的实数根；(3)0 方程没有实数根.,考点3一元二次方程的应用5年1考：2013年(解答题),典型例题1
12、. (2017菏泽)列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个. 已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？,解：设销售单价为x元，由题意，得(x-360)160+2(480-x)=20 000. 整理，得x2-920 x+211 600=0. 解得x1=x2=460. 答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元.,2. (导学号20744219)(2017桂林)为
13、进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元. (1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影仪需2 000元，则最多可购买电脑多少台？,解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意,得5 000(1+x)2=7 200. 解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍
14、去). 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%. (2)2018年投入基础教育经费为7 200(1+20%)=8 640(万元)，设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1 500-m)台，根据题意,得3 500m+2 000(1 500-m)86 400 0005%. 解得m880. 答：2018年最多可购买电脑880台.,3. (2017眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元. 调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由
15、于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件. 若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？,解：(1)(14-10)2+1=3(档次). 答：此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意,得(2x+8)(76+4-4x)=1 080. 整理,得x2-16x+55=0. 解得x1=5，x2=11(不合题意，舍去). 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品.,4. (2017南宁)为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2014年图书借阅总量是7
16、 500本，2016年图书借阅总量是10 800本. (1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1 350人，预计2017年达到1 440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？,解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意,得7 500(1+x)2=10 800，即(1+x)2=1.44. 解得x1=0.2，x2=-2.2(舍去). 答：该社区的图书借阅总量从20
17、14年至2016年的年平均增长率为20%.(2)10 800(1+0.2)=12 960(本),10 8001 350=8(本),12 9601 440=9(本),(9-8)8100%=12.5%. 答：a的值至少是12.5.,考点演练5. 水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售. (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是_斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低
18、多少元？,150+300 x,解：(2)根据题意,得(6-4-x)(150+300 x)=450. 解得x1= ，x2=1. 当x= 时，销售量是150+300 =300360；当x=1时，销售量是150+300=450(斤). 每天至少售出360斤，x=1. 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.,6. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元. (1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年
19、的利润能否超过3.4亿元？,解：(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x. 根据题意,得2(1+x)2=2.88. 解得 x1 =0.2=20%，x2 =-2.2 (不合题意，舍去). 答：这两年该企业年利润平均增长率为20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88(1+20%)=3.456(亿元)，3.4563.4. 答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元.,7. 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒. 2014年，该商店用3 500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2 4
20、00元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒. (1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？,解：(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x-11)元/盒，根据题意,得 . 解得x=35. 经检验，x=35是原方程的解. 答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒. (2)设年增长率为a，2014年的销售数量为3 50035=100(盒). 根据题意,得(60-35)100(1+a)2=(60-35+11)100. 解得a1=0.2=20%，a2=-2.2(不合
21、题意，舍去). 答：年增长率为20%.,8. 一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2，(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都需增加多少米？,解：(1)长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，增加后的长和宽分别为(8+x)m和(6+x)m. 根据题意,得y=(8+x)(6+x)-68=x2+14x. (2)根据题意,得x2+14x=32. 解得x1=-16(舍去)，x2=2. 答：长和宽都需要增加2 m.,考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度较难. 解答本考点的有关题目，关键是
22、要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.,广东中考,1. (2017广东)如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为 ( )A. 1 B. 2 C. -1 D. -22. (2015广东)若关于x的方程x2+x-a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a23. (2014广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ( )A. m B. m C. m= D. m-,B,c,B,4. (2017广州)关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不
23、相等的实数根，则q的取值范围是 ( )A. q16 B. q16 C. q4 D. q45. (2016广州)定义运算：ab=a(1-b). 若a，b是方程x2-x+ m=0(m0)的两根，则bb-aa的值为 ( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关6. (2015广州)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，则ABC的周长为 ( )A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10,A,A,B,7. (2016梅州)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形. 设矩形的一边长为x cm，则可列方程为_.8
24、. (2014广州)若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x2，则x1(x2+x1)+ 的最小值为_.9. (2015广东)解方程：x2-3x+2=0.,x(20-x)=64,解：a=1，b=-3,c=2,=b2-4ac=(-3)2-412=1.x= .x1=1，x2=2.,10. (2013广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？,解：(1)设捐款增长率为x，根据题意列方程,得10 000(1+x)2=12 100，解得x1=0.1，x2=-2.1(不合题意，舍去).答：捐款增长率为10%(2)12 100(1+10%)=13 310(元)答：第四天该单位能收到13 310元捐款,