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1、第5课时因 式 分 解,考点一因式分解的概念【主干必备】1.因式分解的形式:,2.因式分解与整式乘法的关系:,【微点警示】 (1)因式分解的结果必须是积的形式.(2)因式分解的结果中,每个因式必须是整式.(3)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.(4)在因式分解的过程中分解到每一个因式均不能再分解为止,注意防止分解不彻底或走回头路.,【核心突破】【例1】下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )A. a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2,C,C.10 x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x,【明技法】因式
2、分解与整式乘法的区别与联系1.区别:(1)因式分解:多项式由和差的形式乘积的形式.(2)乘法公式:多项式由乘积形式和差的形式.,2.联系:因式分解与整式乘法是两个互逆变形过程,如图所示:x2-1 (x+1)(x-1).提醒:要正确理解整式乘法和因式分解的互逆关系,避免将二者混淆.,【题组过关】1.(2019柳州模拟)下列式子是因式分解的是( )A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x+1)(x-1),C,2.(2019重庆沙坪坝区月考)下列等式中,从左往右的变形是因式分解的是世纪金榜导学号( )A.-(x-4)(x+4)=16-x2B.x
3、2-9y2=(x+3y)(x-3y)C.x2y+2xy+y=xy(x+2)+yD.x2-x+1=(x-1)2,B,考点二提公因式法因式分解【主干必备】提公因式法:ma+mb+mc=_.【微点警示】 (1)若多项式的各项有公因式,则应先提取公因式,首项是负的,可将负号一并提取.,m(a+b+c),(2)分解因式要彻底. (3)要检验因式分解的结果是否正确,可以用整式的乘法进行验证.,【核心突破】【例2】(1)(2019宁波中考)分解因式:x2+xy=_.(2)(2018潍坊中考)因式分解:(x+2)x-x-2=_.,x(x+y),(x+2)(x-1),【明技法】提公因式法的依据、步骤1.提公因式
4、法的依据是乘法分配律的逆用.公因式可以是单项式,也可以是多项式.,2.提公因式法的步骤:“一定”:确定公因式,可按“系数大(最大公约数)、字母同(各项相同的字母)、指数低(相同字母的指数取次数最低的)”的规则来确定.“二提”:将各项的公因式提出来,并确定另一个因式.,【题组过关】1.(2019无锡模拟)分解因式:2x2-4x=_.2.多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是_.3.(易错警示题)分解因式:3x(a-b)+2y(b-a)=_.,2x(x-2),x-1,(a-b)(3x-2y),4.用提公因式法将下列各式分解因式.世纪金榜导学号(1)2x2+3x3+x.(2)-2n3-8n
5、2+6n.(3)a(x-3)+2b(x-3).,(4)(1+x)(1-x)-(x-1).略,考点三用公式法因式分解及其应用【主干必备】1.用公式法因式分解:(1)平方差公式:a2-b2=_.(2)完全平方公式:a22ab+b2=_.,(a+b)(a-b),(ab)2,2.因式分解的“一提二套三彻底”一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则先提_.二套:即套用公式,在没有_的前提下,套用公式.,公因式,公因式,三彻底:因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止,即要分解彻底.,3.因式分解的其他方法(1)分组分解法:有些因式分解需要先分组,再用提公因式法或公式法
6、分解.(2)十字相乘法:分解因式:x2+bx+c(b2-4c0).,若 其中pq=c,p+q=b,则x2+bx+c=(x+p)(x+q).,【微点警示】 1.应用平方差公式进行因式分解:(1)将多项式化成二项式,每项都能写成一个数(或一个式子)的平方,且符号相反,(2)根据平方差公式将多项式化成两个数(或两个式子)的和与这两个数(或两个式子)的差的积.(3)如果有公因式时,要先提取公因式,再利用平方差公式因式分解.,2.应用完全平方公式进行因式分解:(1)将多项式化成三项式,首尾两项分别是两项的平方,中间项是上面两项积的2倍,再看符号,中间项的符号为正时,则为两数和的平方,为负时则为两数差的平
7、方.,(2)如果有公因式时,要先提取公因式,再利用完全平方公式因式分解.(3)有时平方差公式、完全平方公式和提公因式法综合使用.,【核心突破】命题角度1:用平方差公式因式分解【例3】(1)(2019北部湾中考)因式分解:3ax2-3ay2=_.,3a(x+y)(x-y),(2)(2018株洲中考)因式分解:a2(a-b)-4(a-b)=_.,(a-b)(a+2)(a-2),命题角度2:用完全平方公式因式分解【例4】(1)(2019绵阳中考)因式分解:m2n+2mn2+n3=_.(2)(2018威海中考)分解因式:- a2+2a-2=_.,n(m+n)2,- (a-2)2,命题角度3:因式分解的
8、应用【例5】(原型题)已知a+b=10,a-b=8,则a2-b2=_.【变形题1】已知a+b=4,a2+b2=10,则(a-b)2的值为_.,80,4,【变形题2】已知a+b=10,ab=24.求:(1)a2+b2.(2)(a-b)2的值.,【解析】(1)将a+b=10两边平方得:(a+b)2=a2+b2+2ab=100,把ab=24代入得:a2+b2=52.(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-96=4.,【明技法】因式分解的步骤1.看有无公因式,如果有要先提取公因式.2.看能否套用公式.若能,要看有几项:(1)若多项式为两项,则考虑用平方差公式分解因式.,(2)若多项式为三项,
9、则考虑用完全平方公式分解因式.(3)若多项式有四项或四项以上,就考虑综合运用上面的方法.3.若上述方法都不能分解,则考虑把多项式重新整理、变形,再按上面步骤进行.,【题组过关】1.(2019贵阳模拟)下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )A.x2-xyB.x2+xyC.x2+y2D.x2-y2,D,2.(2019临沂中考)将a3b-ab进行因式分解,正确的是( )A.a(a2b-b)B.ab(a-1)2C.ab(a+1)(a-1)D.ab(a2-1),C,3.(2019威海模拟)已知a-b=1,则a2-b2-2b的值为 世纪金榜导学号( )A.4B.3C.1D.04.分解因式:(1)(20
10、19威海中考)2x2-2x+ =_.(2)-x3+2x2-x=_ _.,C,2(x- )2,-x(x-1)2,5.把下列各式分解因式:世纪金榜导学号(1)9x2-81; (2)a3b-b3a;(3)1-10 x+25x2;(4)(m+n)2-6(m+n)+9.,【解析】(1)方法一:9x2-81=9(x2-9)=9(x+3)(x-3); 方法二:9x2-81=(3x)2-92=(3x+9)(3x-9)=3(x+3)3(x-3)=9(x+3)(x-3).(2)a3b-b3a=ab(a2-b2)=ab(a+b)(a-b). (3)直接利用公式:1-10 x+25x2=(1-5x)2.,(4)将多项式看作一项,再利用公式:(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.,