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1、正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵第三节第三节二次型的有定性二次型的有定性二次型的有定性二次型的有定性二次型和对称矩阵的有定性二次型和对称矩阵的有定性一、正定二次型和正定矩阵一、正定二次型和正定矩阵1.定义定义定义定义 5.4 设实二次型设实二次型设实二次型设实二次型f f(x x1 1,x x2 2,x xn n )=)=X XT TAX AX (A AT T=A A ),),如果对于任意的如果对于任意的如果对于任意的如果对于任意的 X X=(=(x x1 1,x x2 2,x xn n )T T 0 0，有有有有 f f(x x1 1,x x2
2、 2,x xn n )=)=X XT TAX AX 0 0则称该二次型为则称该二次型为则称该二次型为则称该二次型为正定二次型正定二次型.矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 称为称为称为称为正定矩正定矩阵阵.2.两个基本结论两个基本结论定理定理 5.6 实二次型实二次型实二次型实二次型正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是 d di i 0,0,i i=1,2,=1,2,n n.定理定理 5.5 可逆线性替换不改变二次型的正定可逆线性替换不改变二次型的正定可逆线性替换不改变二次型的正定可逆线性替换不改变二次型的正定性性性性.3.实二次型正定性的判别方法实二次型正定
3、性的判别方法定理定理 5.7 n n 元实二次型元实二次型元实二次型元实二次型 f f(x x1 1,x x2 2,x xn n )是是是是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n n.1)惯性指数法惯性指数法利用定理利用定理 5.6，立刻得到，立刻得到推论推论 对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵 diag(diag(d d1 1,d d2 2,d dn n)为正定为正定为正定为正定矩阵的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是 d di i 0(
4、0(i i=1,2,=1,2,n n).定理定理 5.8 实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 为正定矩阵的充分为正定矩阵的充分为正定矩阵的充分为正定矩阵的充分必要条件是必要条件是必要条件是必要条件是 A A 的所有特征值均为正数的所有特征值均为正数的所有特征值均为正数的所有特征值均为正数.例例 1 证明：若证明：若 A 是正定矩阵，则是正定矩阵，则 A-1 也是正也是正定的定的.证明证明由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对称矩阵，称矩阵，由推论由推论 2 知，正定矩阵知，正定矩阵 A 是可逆的，是可逆的，且且(A-1)T=(AT)-1=A-1，所以
5、所以 A-1 也是实对称矩阵也是实对称矩阵.证明其正定性的方法很证明其正定性的方法很多多.2)顺序主子式法顺序主子式法给出了实对称矩给出了实对称矩 A 为为正定矩阵的必要条件：正定矩阵的必要条件：det A 0.为了利用行列式给出为了利用行列式给出 A 为正定矩阵的充分必要为正定矩阵的充分必要条件，先引入顺序主子式的概念条件，先引入顺序主子式的概念.定理定理 5.9 实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 为正定矩阵的充分为正定矩阵的充分为正定矩阵的充分为正定矩阵的充分必要条件是必要条件是必要条件是必要条件是 A A 的所有顺序主子式都大于零的所有顺序主子式都大于零的所有顺序主子式都
6、大于零的所有顺序主子式都大于零.即即即即例例 2 设二次型设二次型试问试问 t 为何值时，该二次型为正定二次型为何值时，该二次型为正定二次型.(2)如果对任意的如果对任意的如果对任意的如果对任意的 X X=(x x1 1,x x2 2,x xn n)T T，有有有有 X XT TAXAX 0(0(0 0)且存在且存在且存在且存在 X X0 0=(=(x x1 10 0,x x2 20 0,x xn n0 0)0 0，使，使，使，使 X X0 0T TAXAX0 0 =0,0,则称该则称该则称该则称该二次型为半正定二次型为半正定(半负定半负定)的的，实对称矩，实对称矩，实对称矩，实对称矩阵阵阵阵
7、A A 称为称为称为称为为半正定为半正定(半负定半负定)矩阵矩阵.(3)如果对某些如果对某些如果对某些如果对某些 X X=(x x1 1,x x2 2,x xn n)T T，有，有，有，有 X XT TAXAX 0 0；而对另一些而对另一些而对另一些而对另一些 X X=(x x1 1,x x2 2,x xn n)T T，又有，又有，又有，又有 X XT TAXAX 0 0，则该二次型称为则该二次型称为则该二次型称为则该二次型称为不定的不定的，其矩阵，其矩阵，其矩阵，其矩阵 A A 也称为也称为也称为也称为不不定的定的.2.判定定理判定定理定理定理 5.10 设二次型设二次型设二次型设二次型f
8、f(x x1 1,x x2 2,x xn n)=)=X XT TAXAX（A AT T=A A）则下列各条件等价：）则下列各条件等价：）则下列各条件等价：）则下列各条件等价：(1)f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)为负定二次型；为负定二次型；为负定二次型；为负定二次型；(2)f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)的负惯性指数为的负惯性指数为的负惯性指数为的负惯性指数为 n n;(3)实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 合同于合同于合同于合同于-E E ；(4)实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 的特征值均小于零；的特征值均小于零；的特征值
9、均小于零；的特征值均小于零；(5)实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 的奇数阶顺序主子式小于的奇数阶顺序主子式小于的奇数阶顺序主子式小于的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零零，偶数阶顺序主子式大于零零，偶数阶顺序主子式大于零零，偶数阶顺序主子式大于零.定理定理 5.11 设二次型设二次型设二次型设二次型f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)=)=X XT TAXAX（A AT T=A A）则下列各条件等价：）则下列各条件等价：）则下列各条件等价：）则下列各条件等价：(1)f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)为半正定二次型；为半正定二次型；为半
10、正定二次型；为半正定二次型；(2)f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)的正惯性指数的正惯性指数的正惯性指数的正惯性指数 p p=r r n n;(3)实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 合同合同合同合同于于于于且且且且 r r n n;(4)实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 A A 的所有特征值大于或等于零的所有特征值大于或等于零的所有特征值大于或等于零的所有特征值大于或等于零且至少存在一个特征值等于零且至少存在一个特征值等于零且至少存在一个特征值等于零且至少存在一个特征值等于零.例例 4 利用下列模型判定矩阵的正定性利用下列模型判定矩阵的正定性.例例 5
11、判定下列二次型的正定性判定下列二次型的正定性.例例 6 求曲线求曲线所围的面积所围的面积.例例 7 用惯性指数法判断二次型用惯性指数法判断二次型是否是正定二次型是否是正定二次型.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请
12、单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若
13、想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本
14、节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.