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1、第三节第三节1一、正定二次型正定矩阵一、正定二次型正定矩阵定义定义由定由定义义，可得以下，可得以下结论结论：充分性是充分性是显显然的；下面用反然的；下面用反证证法法证证必要性：必要性：代入二次型，得代入二次型，得 2 由上述两个由上述两个结论结论可知，研究二次型的正定性，只要可知，研究二次型的正定性，只要通通过过非退化非退化线线性性变换变换，将其化，将其化为标为标准形，就容易由以下准形，就容易由以下定理判定理判别别其正定性。其正定性。3定理定理推论推论 实对实对称矩称矩阵阵A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的特征的特征值值全全为为正。正。正定矩阵。正定矩阵。这是因为：这是因为：4解解
2、例例1 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。二次型二次型对应对应的矩的矩阵为阵为 5全全为为正，正，因此二次型正定。因此二次型正定。6定理定理设矩阵设矩阵A正定，正定，则则 （1 1）A的主的主对对角元全角元全为为正；正；证明证明7上述上述定理是定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。正定的必要条件，但不是充分条件。定理定理8解解例例2 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。二次型二次型对应对应的矩的矩阵为阵为 它的它的顺顺序主子式序主子式为为：因此因此 A是正定的，是正定的，即二次型即二次型 f 正定。正定。9解解例例3 设有实二次型设有实二次型 问问 t 取何值时，该二次型为正定二次
3、型？取何值时，该二次型为正定二次型？f 的矩的矩阵为阵为 顺顺序主子式序主子式为为：解得解得10 实对称矩阵实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵可逆矩阵C，使得使得 实际上，正定二次型的规范形为实际上，正定二次型的规范形为即即A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C，使，使11证证因为因为于是于是122、其它有定二次型、其它有定二次型定义定义如果二次型不是有定的，就称如果二次型不是有定的，就称为为不定二次型不定二次型。13 显显然，然，A是是负负定（半定（半负负定定 ）的当且）的当且仅
4、仅当当-A是正定是正定（半正定）的。由此，容易得出以下（半正定）的。由此，容易得出以下结论结论：（2 2）A负负定的充分必要条件是定的充分必要条件是A的特征的特征值值全全负负；（3 3）A半半负负定的充分必要条件是定的充分必要条件是A的特征的特征值值非正；非正；（4 4）A负负定的充分必要条件是定的充分必要条件是A的奇数的奇数阶顺阶顺序主子式序主子式全全为负为负而偶数而偶数阶顺阶顺序主子式全序主子式全为为正；正；（1 1）A半正定半正定的充分必要条件是的充分必要条件是A的特征的特征值值非非负负；（5 5）若）若A负负定，定，则则A的的对对角元全角元全为负为负。注意注意:1.最后一条只是必要条件
5、。最后一条只是必要条件。2.A的的顺顺序主子式序主子式全非全非负负，A也未必是半正定也未必是半正定的的。14例如，设矩阵例如，设矩阵 显然显然A的的顺序主子式顺序主子式但对角元有正有负，显然但对角元有正有负，显然A是不定的。是不定的。15例例5 5判定下列二次型是否是有定二次型。判定下列二次型是否是有定二次型。解解（1 1）f 的矩的矩阵为阵为 顺顺序主子式序主子式 所以所以 f 是是负负定的。定的。16例例5 5判定下列二次型是否是有定二次型。判定下列二次型是否是有定二次型。解解（2 2）f 的矩的矩阵为阵为 顺顺序主子式序主子式 所以所以 f 是是不不定的。定的。17练习：练习：P222 习题五习题五18END19选用例题1 1、解解C是正定的。是正定的。且且C是实对称阵，故是实对称阵，故C是正定矩阵。是正定矩阵。20证证必要性必要性 充分性充分性:将上述将上述过过程逆推程逆推,即可得即可得证证.21