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1、第六节第六节 正定二次型正定二次型 第六节第六节 实二次型的正定性实二次型的正定性正（负）定二次型的判定正（负）定二次型的判定正（负）定二次型的概念正（负）定二次型的概念二次型的规范形及惯性定理二次型的规范形及惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，其准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，其标准形一般来说是不唯一的标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含有的但标准形中所含有的项数项数是确定的，是确定的，项数等于二次型的项数等于二次型的秩秩下面我们限定所用的变换为实变换，来研究下面我们限定所用的变换为实变换
2、，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质再实施线性变换再实施线性变换则则二次型化为二次型化为这种系数为这种系数为1或或-1的二次型称为的二次型称为二次型的规范形二次型的规范形一、二次型的规范形及惯性定理一、二次型的规范形及惯性定理惟一是指规范形中指标惟一是指规范形中指标p和和r是由二次型确定的，是由二次型确定的，其中其中r是二次型的是二次型的秩秩,p 称为二次型的称为二次型的正惯性指数正惯性指数.任意一个实二次型任意一个实二次型定理定理总总可以经过一个适当的可逆线性变换化可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形成规范形,且规范形是且规范形是惟一惟一的的.称称 r-p 为为负
3、惯性指数负惯性指数,正负惯性指数的差正负惯性指数的差 2p-r 叫做叫做符号差符号差.因为二次型的规范形因为二次型的规范形对应的矩阵为：对应的矩阵为：所以有以下推论：所以有以下推论：任意实对称矩阵合同于对角形矩阵任意实对称矩阵合同于对角形矩阵则称实二次型则称实二次型正定正定，恒有恒有若对任何非零向量若对任何非零向量若对任何若对任何恒有恒有则称实二次型则称实二次型二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念 定义定义负定负定,并称对称矩阵并称对称矩阵A为为负定矩阵负定矩阵.是实二次型，是实二次型，A为为正定矩阵正定矩阵；并称对称矩阵并称对称矩阵为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型
4、例如例如实二次型实二次型为正定的为正定的充分必要条件充分必要条件是：它的标准形的是：它的标准形的n个系数个系数全为正。全为正。充分性：充分性：三、正定二次型的判定定理三、正定二次型的判定定理定理定理 设可逆变换设可逆变换证明证明 必要性：反证法。必要性：反证法。假设有假设有这与这与f为正定相矛盾。这就证明了为正定相矛盾。这就证明了 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定A的特征值全为正。的特征值全为正。推论推论，子式子式称为矩阵称为矩阵A 的的 i 阶阶顺序主子式顺序主子式。A的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 定义定义 实二次型实二次型正定正定定理定理A的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 实二次型实二次
5、型负定负定定理定理负负正相间，正相间，例例 判断下列实二次型是否正定判断下列实二次型是否正定解解 （1）f 的矩阵为的矩阵为所以所以 f 是正定的。是正定的。解解 （2）f 的矩阵为的矩阵为所以所以 f 是负定的。是负定的。例例 求参数求参数t 的范围，使下列二次型为正定二次型的范围，使下列二次型为正定二次型解解 二次型二次型的矩阵的矩阵为使为使式大于零，而式大于零，而正定，要求正定，要求A 的各阶顺序主子的各阶顺序主子推得推得即即所以当所以当时时正定。正定。2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型与正定矩阵的概念正定二次型与正定矩阵的概念3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导小小 结结思思考考题题正定二次型与正定矩阵有何区别与联系正定二次型与正定矩阵有何区别与联系？