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1、方程的近似解现在学习的是第1页，共17页机动目录上页下页返回结束一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法(1)作图法 1.求隔根区求隔根区间的一般方法的一般方法 现在学习的是第2页，共17页机动目录上页下页返回结束(2)逐步收索法由图可见只有一个实根可转化为以定步长 h 一步步向右搜索,若搜索过程也可从 b 开始,取步长 h 0.现在学习的是第3页，共17页2.二分法二分法取中点对新的隔根区间重复以上步骤,反复进行,得则误差满足机动目录上页下页返回结束现在学习的是第4页，共17页例例1.用二分法求方程的近似实根时,要使误差不超过至少应对分区间多少多少次?解解:设 故该方程只有一个实根 ,欲使必
2、需即可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值(计算算结果果见“高等数学高等数学”(上册上册)P177178)机动目录上页下页返回结束现在学习的是第5页，共17页二、牛二、牛顿切切线法及其法及其变形形有如下四种情况:机动目录上页下页返回结束现在学习的是第6页，共17页牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与同号的端点为用切线近似代替曲线弧求方在此点作切线,其方程为令 y=0 得它与 x 轴的交点其中再在点作切线,可得近似根如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:称为牛牛顿迭代公式迭代公式 机动目录上页下页返回结束现在学习的是第7页，共17页牛牛顿法的法的误差估差估计:由微分中值定理得则
3、得说明明:用牛顿法时,若过纵坐标与异号的端点作切线,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在机动目录上页下页返回结束现在学习的是第8页，共17页牛牛顿法的法的变形形:(1)简化牛化牛顿法法若用一常数代替即用平行则得简化牛顿迭代公式.线代替切线,得优点:因而节省计算量.缺点:逼近根的速度慢一些.机动目录上页下页返回结束现在学习的是第9页，共17页(2)割割线法法为避免求导运算,用割线代替切线,例如用差商代替从而得迭代公式:(双点割线法)特点特点:逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法.说明明:若将上式中则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当.机动目录上页下页返回结束现在学习的是第10页，共17
4、页例例2.用切线法求方程的近似解,使误差不超过 0.01.解解:由草图可见方程有唯一的正实根 ,且机动目录上页下页返回结束现在学习的是第11页，共17页得而再求因此得满足精度要求的近似解机动目录上页下页返回结束现在学习的是第12页，共17页三三.一般迭代法一般迭代法(补充)在隔根区按递推公式则 即为原方程的根.称为迭代格式,初值.否则称为发散.机动目录上页下页返回结束现在学习的是第13页，共17页例例3.用迭代法求方程解法解法1 将方程变形为迭代格式为发散!解法解法2 将方程变形为迭代格式为迭代收敛,1.32472 为计算精度范围内的所求根.机动目录上页下页返回结束现在学习的是第14页，共17页定理定理.(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.机动目录上页下页返回结束可以证明下述定理:现在学习的是第15页，共17页内容小内容小结1.隔根方法 作图法 二分法 2.求近似根的方法二分法 牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点.习题课目录上页下页返回结束现在学习的是第16页，共17页机动目录上页下页返回结束作作业(习题3-8)P182 1;3现在学习的是第17页，共17页