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1、.页脚.三角函数的应用题三角函数的应用题一一、【学习目标】【学习目标】1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。2、掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念，利用解直角三角形解应用问题。3、学会测量底部可以到达的物体的高度。二二、【知识要求【知识要求】会利用解直角三角形的知识解决一般图形问题，并能掌握把一般三角形化为直角三角形的方法。三三、【例题分析】【例题分析】第一阶梯第一阶梯 例例 11如图，ADBC，ACBC，若 AD=3，DC=5，且B=30，求 AB 的长。解：DAC=90由勾股定理，有CD2=AD2+AC2AD=3，DC=5AC=4B=30AB=2ACAB=8 例例 2 2 如图，AB
2、C 中，B=90，D 是 BC 上一点，且AD=DC，若 tgDAC=41,求 tgBAD。探索探索：已知 tgDAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求BAD 的正切值需要满足怎样的条件？点拨点拨：由于已知中的 tgDAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地 D 点作 AC 的垂线。又要求BAD 的正切值应已知 RtBAD 的三边长，或两条直角边 AB、BD 的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的 tgDAC 的条件。由于 AD=DC，即C=DAC，这时也可把正切值直接移到 RtABC 中。解答解答：过 D 点作 DEAC 于 E，41DAC t
3、g且AEDEDAC tg设 DE=k，则 AE=4kAD=DC,DAC=C，AE=ECAC=8k41BCABtgC设 AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2.页脚.km17178kBC171732由勾股定理，有CD2=DE2+EC2kCD17kBD171715由正切定理，有.815BADtgABDBBADtg 例例 3 3 如图，四边形 ABCD 中，D=90，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求 sinB。探索探索：已知条件提供的图形是什么形？其中D=90，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求 sinB 应放在什么图形中。点拨点拨：因已知是四边形所以不能求解，由
4、于有D=90，AD=3，DC=4，这样可求 AC=5，又因有 AB=13，BC=12，所以可证ABC 是 Rt，因此可求 sinB。解解：连结 ACD=90由勾股定理，有AC2=CD2+CD2AD=3，CD=4，AC=5AB=13，BC=12132=122+52ACB=90由正弦定义，有135sinsinBABACB第二阶梯第二阶梯 例例 1 1 如图，在河的对岸有水塔 AB，今在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30，前进 20 米后到 D 处，又测得 A 的仰角为 45，求塔高 AB。探索探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在 C、D 两处测得仰角的含义是什么？怎样用 CD 的长？
5、点拨点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及 CD.页脚.长，由于塔身与地面垂直，且 C、D、B 三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有ACB=30，ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解解：根据仰角的定义，有ACB=30，ADB=45又 ABCB 于 B。DAB=45DB=AB设 AB=x由正切定义，有20)13(,20)13(.xCDxCDCBABACBtgDBABADBtg及解得)13(10 x即塔高)13(10AB答：塔高 AB 为)13(10米。第三阶梯第三阶梯 例例 1 1 已知等腰三角形的顶点为 A，底边为 a
6、，求它的周长及面积。探索探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为 a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知ABC 中，AB=AC，BC=a（如图）解：过 A 点作：ADBC 竽 D 点，设BAD=AB=ACBD=CD=CADBADa,2根据正弦定义，有sin2.sin2sin2sinaACaaABABBDBAD同理即AB+AC+BC=a+sina.页脚.由余
7、切定义，有DBADBADctgAD=ctga2ADBCSABC21ctgaSABC42注意：也可设BAC=，则BAD=2。例例 2 2 有一块矩形纸片 ABCD，若把它对折，B 点落在 AD 上 F 处，如果 DC=6cm，且DFC=2，ECB=，求折痕 CE 长。探索探索：根据已知条件图形对折，B 点落在 F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知 DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨点拨：由于 F 点的形成是因对折 B 点而形成的，因此可有EBCFEC，同时又可有AEFCDF。根据已知条件DFC=2及ECB=，这时就
8、可以形成与角有关的图形。进而可求 CE 的长。解解：根据已知条件，有EBCFECEB=EF，BC=FC，ECB=ECFCFD=2，且ECB=ECF=由余弦定义，有CFCDADC cosADC=9022sinCDCF 由余弦定义，有CECFFCE coscos2sin6CE 例例 3 3 如图 6-5-5，某船向正东方向航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30，又航行了半小时，望见灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、D 两点间的距离，（结果不取近似值）.页脚.图 6-5-5思路分析：思路分析：易知ACD 是等腰直角三角形，要求
9、AD，不能利用ACD 直接求得，由于,102120BD图形中再没有其他的直角三角形，必须构造直角三角形，作 CEAD 于 E，只要求出 CE，就可能以求出 AD，借助两个直角三角形（BCE和DCE）中，BE、DE 与 BD 的关系以及 BE 与 CE 之间的关系就可求 CE。解解 作 CEAD，垂足为 E，设 CE=x 海里CAD=CDA=90-45=45，CE=AE=DE=x。在 RtBCE 中，CBE=90-30=60，,3360cotxCEBE由 DE-BE=BD 得，212033xx，解得3515x。）xAD海里)(31030(2。答：A、D 两点间的距离为)31030(海里。第四阶梯
10、第四阶梯 例例 1 1 有一段防洪大堤，其横断面为梯形 ABCD，ABDC，斜坡 AD 的坡度 i1=1:1.2,斜坡 BC 的坡度 i2=1:0.8，大坝顶宽 DC 为 6 米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形 DCFE，EFDC，点 E、F分别在 AD、BC 的延长线上（如图 6-5-6），当新大坝顶宽 EF 为 3.8 米时，大坝加高了几米？.页脚.图 6-5-6思路分析：思路分析：本题实质上是梯形 CDEF 的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即 DE、CF 的坡度公别为 1:1.2,1:0.8,又 DC=6米，EF=3.8 米,要求大坝加高的高度,分别作
11、FHDC 于 G,FHDC 于 H,利用 RtDEG,RtCFH 和矩形 EFHG可以求出新大坝的高度.解解 作 EGDC,FHDC,垂足分别为 G,H,则四边形 EFHG 是矩形,GH=EF=3.8 米.设大坝加高 x 米,则 EG=FH=x 米。i1=1:1.2,i2=1:0.8,.8.01,2.11CHFHDGEG.8.0,2.1xCHxDG由 DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1答：答：大坝加高了 1.1 米。例例 2 2 如图 6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城
12、市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图 6-5-7思路分析：思路分析：（1）作 ADBC 于 D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）20=160 千米的范围内，比较 AD 与 160 的大小关
13、系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（2）当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将受到台风的影响，如图 6-5-7，AE=AF=160 千米，当台风中心从 E 处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出 EF 的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。（3）显然当台风中心位于 D 处时，A 市所受这次台风的风力最大。解解.页脚.（1）如图 6-5-7，由点 A 作 ADBC，垂足为 D。AB=220，B=30，)(11021千米ABAD。由题意，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响，由于 AD=110160,所以 A 市会受
14、到这次台风的影响.(2)在 BD 及 BD 的延长线上分别取 E,F 两点,使 AE=AF=160 千米.由于当 A 点距台风中心不超过 160 千米时,将会受到台风的影响.所以当台风中心从 E 点移到 F 点时,该城市都会到这次台风的影响.在 RtADE 中,由勾股定理,得5301101602222ADAEDE15602DEEF(千米).该台风中心以 15 千米/时的速度移动,这次台风影响该城市的持续时间154151560(小时).(3)当台风中心位于 D 处时,A 市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为)(5.62011012级四四、【课后练习课后练习】A A 组组1如图：6-5
15、-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽 AB=_。2如图 6-5-9，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _米（精确到 0.1 米）图 6-5-8 图 6-5-93如图 6-5-10，在高离铁塔 150 米的 A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为 30，已知测角仪高 AD=1.52 米，则塔高BE=_（精确到 0.1 米）图 6-5-10图 6-5-114某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为 60 米，坡角为 30，则坝高为_米。5升国旗时，某同学站地离旗杆底部 24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为 30，若双
16、眼离地面 1.5 米，则旗杆高度为_ 米，（用含根号的式子表示）.页脚.6在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为 45，沿水平方面再向塔底前进 a 米，又测得塔尖的仰角为 60，那么电视塔高为_。7若太阳光线与地面成 37角，一棵树的影长为 10m，则树高 h 的取值范围是（）A3h5B、5h10C.10h158河堤的横断面如图 6-5-11 所示。堤高 BC 是 5 米，迎水坡 AB 的长是 13 米。那么斜坡 AB 的坡宽 I 是（）A1：3B、1：2 6C.1:2.4D.1:29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 80角。房屋朝南的窗子高 AB=1.8m,要在窗子外面上
17、方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板 AC 的宽度至少应为（）图 6-5-12图 6-5-13A1.8tan80mB.1.8cos80mC.80sin8.1mD.1.8cot80m10.如图 6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽 6 米，坝高 24 米，斜坡 AB 的坡角为 45，斜坡 CD 的坡度I=1：2，则坝底 AD 的长为（）A42 米B、（30+243）米C、78 米D、（30+83）米11、如图 6-5-14，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）Asin
18、1B.cos1C.sinaD.1图 6-5-1412.如图 6-5-15，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO=450 米，且 A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为=30,=45，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，供选的数据：21.41,31.73）.13.某型号飞机的机翼形状如图 6-5-16 所示，其中 ABCD，根据图中的数据计算 AC、BD 和 CD 的长度。（结果保留根号）14如 6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为 6 米，坝高 10 米，斜坡 AB 的坡度是 1：2（AR：BR），现要加高 2 米，在坝顶宽度
19、和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长 50 米的大坝，需要多少土方？15 如图 6-5-18,已知 C 城市在 B 城市的正北方向，两城市相距 100 千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 BC），经测量，森林保护区 A 在 B 城市的北偏东 40方向上，又在 C 城市的南偏东 56的方向上，已知森林保护区 A 的范围是以 A 为圆心，半径为 50 千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？（已知 tan40=0.839,tan56=1.483）B B 组组.页脚.1、1、知小山的高为 h,为了测得小山顶上铁塔 AB 的高 x,在平地上选择一点 P，在 P 点处测得 B
20、点的仰角为，A 点的仰角为。（见右表中测量目标图 6-5-19）（1）试用、和 h 的关系式表示铁塔高 x;（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中、的数值；（3）根据表中数据求出铁塔 x 的值。（精确到 0.01m）2.如图 6-5-20，某校的教室 A 位于工地 O 的正西方向，且 OA=200 米，一台拖拉机从 O 点出发，以每秒 5 米的速度沿北偏西 53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为 130 米，试问教室 A 是否在拖拉机的噪声污染范围内？若 不 在，请 说 明 理 由；若 在，求 出 教 室 A 受 污 染 的 时 间 有 几 秒？（已 知sin53
21、0.80,sin370.60,tan370.75）图6-5-20C C 组组1、已知ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，CD=9，AB=20，求 sinB。2、已知水库大坝的横截面是梯形 ABCD，若 BCAD，坝顶 BC 宽 5 米，坝高 20 米，斜坡 AB 的坡度之 i=12.5，斜坡 CD 的坡度 i=12，求坝底 AD 及 AB、CD 长。3、在 RtABC 中，ACB=Rt,CDAB 于点 D，AD4,54sinACD则 CD，BC。A A 组答案组答案1、34m2、5.53、88.1 米4.305.(83+1.5)6.a233米7B8、C9、D 10、C11、A 12、3
22、29 米13、AC=36米，BD=6 米，CD=（33311）米14、5000 米315、过点 A 作 ADBC，垂足为 D，在 RtADC 中，CD=56tanAD；在 RtABD 中，BD=40tanAD，依题意有56tanAD+40tanAD=100。所以 AD=40tan56tan40tan56tan10053.58，因为 AD50，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越森林保护区。B B 组答案：组答案：1（1）x=1tantanh;(2)=2918，=3559；（3）x30.88m2作 ABOM 于 B，易知AOB=90-53=37，所以 AB=OAsinAOB=OAsin372000.60=120(米)。因为 120130，所以教室 A 在噪声污染范围内，依题意，在 OM 上取两点 C、D，连结 AC、AD，使 AC=AD=130.页脚.米。在 RtABC 中，由勾股定理可得 BC=50 米，所以 CD=2BC=100 米，5100=20（秒），教室 A 受噪声污染时间为 20 秒。C C 组答案组答案：1、易证ABDABC，即 AB2=BCBD，设 BD=x，则20920 xxx=16，即 BD=25，AC=15，53sinB2、作 BEAD 于 E，CFAD 于 F，AD=95 米，AB53.9 米，CD44.7 米。3、3，