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1、第6章 圆轴扭转本讲稿第一页，共五十三页 6-1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形工程上传递功率的圆轴及其扭转变形本讲稿第二页，共五十三页本讲稿第三页，共五十三页实例实例：方向盘的操纵杆 传动轴 钻头、钻杆本讲稿第四页，共五十三页请判断轴受那些请判断轴受那些力，将发生那些力，将发生那些变形？变形？本讲稿第五页，共五十三页受受力力特特点点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。变变形形特特点点：任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。本章只研究圆轴扭转问题。本讲稿第六页，共五十三页 6-2 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图本讲稿第七页，共五十三页一一.传动轴的外力偶传动轴的外力偶1、直接给出作用在轴上外力偶矩大
2、小；2、通过外力平移计算得出；3、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速计算得出；（一般有三种情况给出）本讲稿第八页，共五十三页二二.扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力，该内力偶矩称为扭矩，用T表示。圆轴两端受外加圆轴两端受外加扭力矩作用时，扭力矩作用时，横截面上将产生横截面上将产生分布剪应力，这分布剪应力，这些剪应力将组成些剪应力将组成对横截面中心的对横截面中心的合力矩合力矩扭矩扭矩本讲稿第九页，共五十三页扭矩扭矩T：按右手法则扭矩的按右手法则扭矩的矢量方向离开截面矢量方向离开截面为正；指向截面为为正；指向截面为负。负。符号规定：符号规定：本讲稿第十
3、页，共五十三页mTmTmTmT正负(a)(b)本讲稿第十一页，共五十三页 例例61 已知A轮为主动轮，B、C、D试求1-1，2-2，3-3截面的扭矩。，轴的转速为300转/分，为从动轮。ABDC123123本讲稿第十二页，共五十三页解：1.求外力偶本讲稿第十三页，共五十三页mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD2.求扭矩求扭矩 作轴的受力图，利用截面法可求出扭矩此时，T的符号具有双重意义。本讲稿第十四页，共五十三页3.扭矩图扭矩图+5.093.82(kNm)TmAmCmBmD7.64132本讲稿第十五页，共五十三页mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD 若将力偶用矢量表示，则与杆的
4、拉、压内力计算完全类似。本讲稿第十六页，共五十三页 6-3 切应力互等定律切应力互等定律本讲稿第十七页，共五十三页切应力互等定律切应力互等定律考察承受剪应力作用的微元考察承受剪应力作用的微元体，假设作用在微元左、右体，假设作用在微元左、右面上的剪应力为面上的剪应力为 ，这两个，这两个面上的剪应力与其作用面的面上的剪应力与其作用面的乘积，形成一对力，二者组乘积，形成一对力，二者组成一力偶成一力偶为了平衡这一力偶，微元的为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力上、下面上必然存在剪应力 ，二者与其作用面积相乘后，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶。形成一对力，组成另一力偶。为保持
5、微元的平衡，这两个为保持微元的平衡，这两个力偶的力偶矩必须大小相等，力偶的力偶矩必须大小相等，方向相反。方向相反。本讲稿第十八页，共五十三页根据对根据对Z轴的力矩平衡得：轴的力矩平衡得：本讲稿第十九页，共五十三页 6-4 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析本讲稿第二十页，共五十三页m0m0本讲稿第二十一页，共五十三页dx1 2xzyo1 21lxmm1212dxAAod本讲稿第二十二页，共五十三页本讲稿第二十三页，共五十三页本讲稿第二十四页，共五十三页静力关系静力关系静力关系静力关系 极惯性矩本讲稿第二十五页，共五十三页本讲稿第二十六页，共五十三页本讲稿第二十七页，共五十三页(1)直
6、径为d的实心圆轴(2)内外直径分别为d和D的 空心圆轴截面的极惯性矩与扭转截面截面的极惯性矩与扭转截面系数本讲稿第二十八页，共五十三页已知：p=7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa，空心圆轴内外径之比a=0.5.二轴长度想相同。求：实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2，确定二轴的面积比。本讲稿第二十九页，共五十三页本讲稿第三十页，共五十三页 6-5 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算本讲稿第三十一页，共五十三页1.强度条件强度条件强度条件强度条件等直圆轴在扭转时，杆内各点均处于纯剪切状态，其强度条件是最大工作剪应力不大于材料的许用剪应力。即 max
7、等直圆轴强度条件为本讲稿第三十二页，共五十三页根据上式可进行三种不同情况的强度计算 校核强度 设计截面 计算许可荷载本讲稿第三十三页，共五十三页 例例例例3 33 3 一传动轴，横截面上最大扭矩为Mxmax=1.5kNm，许用剪用力=50MPa，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其重量。(1)横截面为实心圆截面(2)横截面是a=0.9的空心截面本讲稿第三十四页，共五十三页解解：设计实心圆轴本讲稿第三十五页，共五十三页本讲稿第三十六页，共五十三页(2)设计空心圆轴本讲稿第三十七页，共五十三页(3)比较重量同种材料，杆长相同，所以，重量比即为横截面面积之比本讲稿第三十八页，共五十三页2.等直
8、圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形刚度条件刚度条件本讲稿第三十九页，共五十三页GIp 抗扭刚度抗扭刚度对比 轴向拉压公式形式相似，适用条件相同。圆轴扭转本讲稿第四十页，共五十三页 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端的相对扭转角为：本讲稿第四十一页，共五十三页刚度条件刚度条件 为了保证轴的刚度，通常限制轴的最大单位长度扭转角本讲稿第四十二页，共五十三页在工程中，的单位习惯上用 度度/m,记为/m，而上式求出的值单位为弧弧度度/m，此外，等直杆上式中的Mx 为 Mxmax：许用单位长度扭转角本讲稿第四十三页，共五十三页通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件。可进行三种不同形
9、式的刚度计算：即 校核刚度 设计截面 计算许可荷载本讲稿第四十四页，共五十三页 例例64 实心圆轴的直径D=100mm，长l=1m，两端受外力偶矩m0=14kNm作用，如图所示。设材料的剪切弹性模量G=80GPa。ABzm0m0yC本讲稿第四十五页，共五十三页(1)杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应力数值及方向；(2)杆内最大剪应力 max(3)两端截面之间相对扭转角试求：ABzm0m0yC本讲稿第四十六页，共五十三页解：(1)由截面法，易求得轴任意截面的扭矩均为T=m0本讲稿第四十七页，共五十三页本讲稿第四十八页，共五十三页本讲稿第四十九页，共五十三页 截面扭矩为正号扭矩，由静力等效的关系知：在整体图中从右往左看，剪应力方向为A水平向左，B铅垂向下，C竖直向上。ACByzT本讲稿第五十页，共五十三页(2)因为等直圆轴，且各截面Mx相等，因此，轴内最大剪应力即为任意截面最外缘的剪应力。本讲稿第五十一页，共五十三页(3)本讲稿第五十二页，共五十三页本讲稿第五十三页，共五十三页