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1、第五章圆轴的扭转1本讲稿第一页，共三十六页第第5章章 圆轴的扭转圆轴的扭转5.1 圆轴扭转的实例与概念圆轴扭转的实例与概念5.2 扭转时的外力和内力扭转时的外力和内力5.3 扭转时横截面上的应力扭转时横截面上的应力5.4 扭转的强度条件扭转的强度条件5.5 圆轴的扭转变形与刚度条件圆轴的扭转变形与刚度条件本讲稿第二页，共三十六页5.1 扭转变形的实例与概念扭转变形的实例与概念本讲稿第三页，共三十六页传动轴传动轴本讲稿第四页，共三十六页受力特点受力特点受力特点受力特点：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的外力：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作用面垂直圆杆轴线。偶作用，力偶作
2、用面垂直圆杆轴线。变形特点变形特点变形特点变形特点：任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对转动：任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对转动（轴表面纵线歪成螺旋线）。（轴表面纵线歪成螺旋线）。B端相对于端相对于A端面的转角端面的转角，称为，称为扭转角。扭转角。扭转角。扭转角。ABABj jg gMnMn扭转角扭转角切应变切应变本讲稿第五页，共三十六页5.2 扭转时的外力和内力扭转时的外力和内力一、扭转时的外力偶矩计算一、扭转时的外力偶矩计算在在工工程程实实际际中中，外外力力偶偶矩矩往往往往不不是是直直接接给给出出，给给出出的的是是轴轴所所传传递递的的功功率率N和和轴轴的的转转速速n，因因此此需需要要
3、根根据据N、n来来计计算算外力偶矩。外力偶矩。转速转速n传递功率传递功率N本讲稿第六页，共三十六页5.2 扭转时的外力和内力扭转时的外力和内力若已知圆周力若已知圆周力P和半径和半径R，则外力偶矩，则外力偶矩若已知功率若已知功率N(kW)和转速和转速n(r/min)，则，则PRnv转速转速n输入功率输入功率N齿轮、传动链条和皮带的圆周力对轮心的力矩就是使轴发生扭转变形的外力偶矩齿轮、传动链条和皮带的圆周力对轮心的力矩就是使轴发生扭转变形的外力偶矩 本讲稿第七页，共三十六页二、扭转时横截面上的内力二、扭转时横截面上的内力求出所有外力偶矩后，即可用求出所有外力偶矩后，即可用截面法截面法求横截面上的内
4、力。求横截面上的内力。mMMT Tmm作用在横截面上的内力偶 MT 称为扭矩扭矩。取右段，取右段，MT方向相反方向相反本讲稿第八页，共三十六页扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定负负mmMMT TmmMMT T正正右手螺旋法则为为使使取取左左侧侧和和右右侧侧得得到到的的同同一一截截面面的的扭扭矩矩，不不仅仅数数值值相相等，且符号相同，对扭矩的正负号规定如下。等，且符号相同，对扭矩的正负号规定如下。本讲稿第九页，共三十六页求扭矩的快捷方法求扭矩的快捷方法求扭矩的快捷方法求扭矩的快捷方法扭矩的大小等于截面任何一侧所有外力偶矩的代数和。扭矩的大小等于截面任何一侧所有外力偶
5、矩的代数和。扭矩的大小等于截面任何一侧所有外力偶矩的代数和。扭矩的大小等于截面任何一侧所有外力偶矩的代数和。外力偶矩正负号规定同扭矩外力偶矩正负号规定同扭矩。BCADmmB BmmC CmmD DmmA A1 11 12 22 23 33 3本讲稿第十页，共三十六页书上的一个问题书上的一个问题书上的一个问题书上的一个问题扭扭扭扭矩矩矩矩一一一一定定定定要要要要按按按按正正正正向假设向假设向假设向假设本讲稿第十一页，共三十六页外力偶矩的正负号同扭矩，右手，离开截面为正。外力偶矩的正负号同扭矩，右手，离开截面为正。正正mmmm负负右手螺旋右手螺旋法则法则MMT TMMT T本讲稿第十二页，共三十六
6、页【例例5-1】主主动动轮轮NA=120kW，从从动动轮轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转转速速n=300r/min，求求截截面面1-1、1-2、1-3的的扭扭矩。矩。解：解：解：解：Mt1Mt2Mt3本讲稿第十三页，共三十六页可可见见2-22-2截截面面扭扭矩矩最最大大，是危险截面。是危险截面。Mt扭矩图扭矩图本讲稿第十四页，共三十六页5.3 扭转时横截面上的应力扭转时横截面上的应力 应力应力应力应力分布分布分布分布应力应力应力应力公式公式公式公式变形变形变形变形观察观察观察观察应变应变应变应变分布分布分布分布平面假定平面假定静力方程静力方程确定横截面上应确定横截面上应力的
7、方法与过程力的方法与过程 物理关系物理关系（虎克定律）（虎克定律）本讲稿第十五页，共三十六页5.3 扭转时横截面上的应力扭转时横截面上的应力一、应力分布规律一、应力分布规律变变形形后后圆圆圆圆周周周周线线线线的的形形状状、大大小小都都没没有有改改变变，两两相相邻邻圆圆周周线之间的距离也没有改变。线之间的距离也没有改变。纵纵纵纵向向向向线线线线仍仍为为直直线线，都都倾倾斜斜了了同同一一个个角角度度，原原来来矩矩形形变变成成了平行四边形。了平行四边形。本讲稿第十六页，共三十六页圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及而且其大小、形状以及相邻两截面之相
8、邻两截面之间的距离保持不变间的距离保持不变，横截面半径不变横截面半径不变。v横截面上各点无轴向变形，故横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力横截面上没有正应力横截面上没有正应力横截面上没有正应力。v横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，矩形变为平横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，矩形变为平行四边形，故行四边形，故横截面上有切应力存在横截面上有切应力存在横截面上有切应力存在横截面上有切应力存在。v各横截面半径不变，所以各横截面半径不变，所以切应力方向与半径垂直切应力方向与半径垂直切应力方向与半径垂直切应力方向与半径垂直。推断结论推断结论推断结论推断结论平面假设平面假设平面假设平面假设本讲稿
9、第十七页，共三十六页变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系在受扭圆轴中取一个微段在受扭圆轴中取一个微段dx来分析。注意来分析。注意d、ABCD根根据据几几何何关关系系，圆圆周周表表面面任任一一点点A的的切应变：切应变：距离圆心为距离圆心为处的处的E点切应变点切应变（横截面（横截面上任一点上任一点E切应变）切应变）：在微段中取出一个扇形体放大后的图在微段中取出一个扇形体放大后的图本讲稿第十八页，共三十六页横截面上任一点的切应横截面上任一点的切应变与该点到圆心的距离变与该点到圆心的距离成正比。成正比。本讲稿第十九页，共三十六页物理关系物理关系物理关系物理关系切切切切应应应应力力力力分分分
10、分布布布布规规规规律律律律 圆圆轴轴扭扭转转时时横横截截面面上上各各点点的的切切应应力力与与它它们们离离中中心心的的距距离离成成正正比比。圆圆心心处处切切应应力力等等于于0 0，轴轴表表面面处处切切应应力力最大。最大。切应力沿半径线性分布，方向垂直于半径。切应力沿半径线性分布，方向垂直于半径。根据剪切胡克定律：根据剪切胡克定律：本讲稿第二十页，共三十六页二、横截面上切应力的计算公式二、横截面上切应力的计算公式t t t tr r r rMTot tr r r rr rt tdA静力关系静力关系静力关系静力关系各各各各微面积微面积微面积微面积上微内力对中心之矩的总和应等于截面扭矩上微内力对中心之
11、矩的总和应等于截面扭矩上微内力对中心之矩的总和应等于截面扭矩上微内力对中心之矩的总和应等于截面扭矩本讲稿第二十一页，共三十六页t t t tr r r rMTot tr r r rr rt tdA称为截面的称为截面的极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩，与截面尺与截面尺寸有关的几何量。寸有关的几何量。称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量令：令：书上有错书上有错因因本讲稿第二十二页，共三十六页三、极惯性矩和抗扭截面模量三、极惯性矩和抗扭截面模量1、实心圆轴、实心圆轴本讲稿第二十三页，共三十六页2、空心圆轴、空心圆轴d dD Do o本讲稿第二十四页，共三十六页5.4 扭转的强度条
12、件扭转的强度条件强度校核、设计截面与确定许可载荷。强度校核、设计截面与确定许可载荷。为了保证圆轴安全工作，要求最大切应力不超过材为了保证圆轴安全工作，要求最大切应力不超过材料的许用切应力。料的许用切应力。本讲稿第二十五页，共三十六页【例【例5-2】某机器传动轴由空心钢管制成，钢管外径】某机器传动轴由空心钢管制成，钢管外径D=90mm，内径内径d=85mm，材料许用切应力，材料许用切应力=60MPa，轴传递的功率，轴传递的功率N=16kW，转速，转速n=100r/min。试校核该轴的扭转强度。试校核该轴的扭转强度。（1 1）计算外力偶矩和扭矩）计算外力偶矩和扭矩解：解：解：解：轴横截面上的扭矩轴
13、横截面上的扭矩MT等于外力偶矩等于外力偶矩m，即：，即：（2 2）校核扭转强度）校核扭转强度轴内最大切应力为轴内最大切应力为 故该传动轴强度足够。故该传动轴强度足够。本讲稿第二十六页，共三十六页【例【例5-3】若上例中的传动轴采用实心轴，其它条件不变，】若上例中的传动轴采用实心轴，其它条件不变，现要求它与原来的空心轴强度相同（现要求它与原来的空心轴强度相同（即最大切应力相同即最大切应力相同），），试确定其直径，并比较空心轴与实心轴的重量。试确定其直径，并比较空心轴与实心轴的重量。（1）确定实心轴的直径）确定实心轴的直径D1解：解：解：解：因要求与上例空心轴强度相同，故实心轴的最大切应力也应因要
14、求与上例空心轴强度相同，故实心轴的最大切应力也应为为52.2MPa。即。即本讲稿第二十七页，共三十六页（2）比较空心轴与实心轴的重量）比较空心轴与实心轴的重量上例空心轴的横截面面积为上例空心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为在两轴长度相等，材料相同情况下，两轴重量之比等于在两轴长度相等，材料相同情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比，即横截面面积之比，即本讲稿第二十八页，共三十六页可见在相同的外力偶矩情况下，强度相等的空心轴的重可见在相同的外力偶矩情况下，强度相等的空心轴的重量仅为实心轴的量仅为实心轴的31%，即，即选用空心轴要比实心轴更省材选用空心轴要比实心轴更省材选用
15、空心轴要比实心轴更省材选用空心轴要比实心轴更省材料料料料。解释解释解释解释从截面应力分布可见，实心轴圆周上从截面应力分布可见，实心轴圆周上max时，中间部分切应力与时，中间部分切应力与相相差甚远，中间材料大部分没有充分利差甚远，中间材料大部分没有充分利用。若把中间部分材料向边缘移，成用。若把中间部分材料向边缘移，成为空心截面，就会增大为空心截面，就会增大W，提高强，提高强度。度。MT本讲稿第二十九页，共三十六页一、圆轴的扭转变形一、圆轴的扭转变形5.5 圆轴的扭转变形与刚度条件圆轴的扭转变形与刚度条件用两端面相对扭转角表示用两端面相对扭转角表示本讲稿第三十页，共三十六页工程上常用工程上常用单位
16、长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角表示扭转变形大小。表示扭转变形大小。单位：单位：rad/m工程上中规定的工程上中规定的单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角常以常以/m为单位，为单位，故上式可改写成故上式可改写成NmNmmm4 4Pa(N/mPa(N/m2 2)GJGJ 抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度本讲稿第三十一页，共三十六页二、扭转的刚度条件二、扭转的刚度条件要求精密度高、运转稳定的轴：要求精密度高、运转稳定的轴：=0.2500.500/m要求一般的轴：要求一般的轴：=0.5001.00/m要求精密度低的轴：要求精密度低的轴：=1.0
17、03.00/m本讲稿第三十二页，共三十六页【例【例5-4】传动轴主动轮】传动轴主动轮C输入外力偶矩输入外力偶矩mC=955N.m，从动轮，从动轮A、B、D分别输出分别输出 mA=159.2N.m，mB=318.3Nm，mD=477.5N.m，已知材料切变弹性模量，已知材料切变弹性模量G=80103MPa，许，许用切应力用切应力=40MPa，单单位位长长度度许许用用扭转角扭转角=1/m。设计轴。设计轴的直径。的直径。解：解：解：解：（1）计算扭矩，画扭矩图；）计算扭矩，画扭矩图；AB段：段：MT1=-159.2N.m，BC段：段：MT2=-477.5N.m，CD段：段：MT3=477.5N.m。MTmax=477.5N.m本讲稿第三十三页，共三十六页(2)按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径3、按刚度条件设计轴的直径、按刚度条件设计轴的直径结论：取圆轴直结论：取圆轴直结论：取圆轴直结论：取圆轴直径径径径d d=44mm=44mm。本讲稿第三十四页，共三十六页作 业P96 第第27、28题题本讲稿第三十五页，共三十六页本讲稿第三十六页，共三十六页