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1、第八章圆轴扭转1本讲稿第一页，共二十九页工程构件分类工程构件分类:板板块体块体杆杆杆的基本变形杆的基本变形:轴向拉压弯 曲xyz 扭 转本讲稿第二页，共二十九页研究对象：研究对象：研究对象：研究对象：圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆受力特点：受力特点：受力特点：受力特点：作用在垂直于轴线的不同作用在垂直于轴线的不同作用在垂直于轴线的不同作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平面内的外力偶，且满足平面内的外力偶，且满足平面内的外力偶，且满足平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程:S S S SMMx x=0=0变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转
2、角 f f f fABAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0 0MM0 0MM变形前变形前变形后变形后f fAB汽车转向轴汽车转向轴传动轴传动轴8.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录本讲稿第三页，共二十九页扭矩：扭矩：T是横截面上的内力偶矩。是横截面上的内力偶矩。内力内力由截面法求得。由截面法求得。取左边部分取左边部分平衡平衡由平衡方程：由平衡方程：MM0 0MM0 0假想切面假想切面外力偶外力偶 MM0 0内力偶内力偶 T T8.2
3、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录本讲稿第四页，共二十九页由平衡方程：由平衡方程：取右边部分取右边部分T 和和T 是同一截面上的内力，是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。应当有相同的大小和正负。MM0 0MM0 0假想切面假想切面取左边部分取左边部分平衡平衡外力偶外力偶 MM0 0 扭矩扭矩 T T扭矩扭矩外力偶外力偶 平衡平衡T T MM0 0本讲稿第五页，共二十九页扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：按右手螺旋按右手螺旋法则确定扭法则确定扭矩的矢量方矩的矢量方向，扭矩矢向，扭矩矢量的指向与量的指向与截面的外法截面的外法线方向一致线方向一致者为正，反者为正，
4、反之为负。之为负。负负MM0 0T TMM0 0T T正正本讲稿第六页，共二十九页 以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标x x表示截面的位置，以垂直表示截面的位置，以垂直表示截面的位置，以垂直表示截面的位置，以垂直于于于于x x轴的坐标表示轴的坐标表示轴的坐标表示轴的坐标表示截面截面截面截面扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图。201 10画扭矩图：画扭矩图：xoCABABCAB段段：BC段段：本讲稿第七页，共二十九页5kN5kN5kN5kN3kN3kNFN 图+-5kN5kN2kN2kN8kN8kN5kN
5、5kN2kN2kN8kN8kN5kN5kN+向简捷画法简捷画法：201 10ABCF FN N图（轴力）图（轴力）图（轴力）图（轴力）按右手法确定按右手法确定+向xoCABT T 图图图图本讲稿第八页，共二十九页解解解解：由由由由功功功功率率率率转转转转速速速速关关关关系计算外力偶矩系计算外力偶矩系计算外力偶矩系计算外力偶矩例例例例 某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速n n=700r/min=700r/min，主动轮的输入功率为主动轮的输入功率为主动轮的输入功率为主动轮的输入功率为N NA A=400kW=400kW，从动轮从动轮从动轮从动轮B B、C C
6、和和和和D D的输出功率分别为的输出功率分别为的输出功率分别为的输出功率分别为N NB B=N NC C=120kW=120kW，N ND D=160kW=160kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D本讲稿第九页，共二十九页最大扭矩在最大扭矩在AB段，且段，且求各截面内力：求各截面内力：BC段段CA段段AD段段B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD DT1B BMMB BB BMMB BMMC CC CT2MMD DD DT3ACBDT/kN.m1.643.282.18 T 图
7、图本讲稿第十页，共二十九页简捷画法简捷画法：B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT /kN.m T T 图图图图按右手法确定按右手法确定+向1.64本讲稿第十一页，共二十九页讨论：讨论：试作扭矩图试作扭矩图2010 T T 图图图图按右手法确定按右手法确定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mA AB BC CD D20 xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：求反力偶：2010 T T 图图图图按右手法确定按右手法确定+向A AB BC CD D20返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录本讲稿第
8、十二页，共二十九页变形体静力学的基本研究思路：变形体静力学的基本研究思路：1.变形几何条件变形几何条件刚性平面假设：刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径径仍然保持为直线且半径大小不变。大小不变。变形前变形前变形前变形前变形后变形后变形后变形后8.3.1 8.3.1 圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录本讲稿第十三页，共二十九页2.物理关系物理关
9、系 材料的应力材料的应力-应变关系应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是是t t-g g曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。称为剪切弹性模量。-(2)1GOtg g1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。本讲稿第十四页，共二十九页3.力的平衡关系力的平衡关系最后得到：最后得到：-(4)I Ir r r r 称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯
10、性矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。t t t tr r r rTot tr r r rr r r rt tmaxt tmax在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且 W =I /r，称为称为抗扭截面模量。抗扭截面模量。T T T T r r r r求求I Ir r，WT?本讲稿第十五页，共二十九页圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量d dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴实实心心圆圆轴轴D Do o极惯极惯性矩性矩r r=)1(3244ap-DI抗扭截抗扭截面模量面模量 )1(1643a ap p-=DWTa=d
11、/D=0324DIp pr r=163 3DWT Tp p=本讲稿第十六页，共二十九页结论：结论：1 1 1 1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。向确定。向确定。向确定。2 2）截面任一处截面外圆周处（表面）截面任一处截面外圆周处（表面）截面任一处截面外圆周处（表面）截面任一处
12、截面外圆周处（表面）t tr r=T r r/Ir r t tmax=T/WT d dD Do o空空心心圆圆轴轴实实心心圆圆轴轴D Do o T Tt t t tr r r rt t t tmaxmax T Tt t t tr r r rt t t tmaxmax本讲稿第十七页，共二十九页讨论：讨论：2 2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1 1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知
13、二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？各段应力是否相同？各段应力是否相同？各段应力是否相同？变形是否相同？变形是否相同？变形是否相同？变形是否相同？相同相同相同相同不同不同o o T To T To T To T T本讲稿第十八页，共二十九页8.3.4 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形单位扭转角为：单位扭转角为：相对扭转角相对扭转角 ：B截面相对于截面相对
14、于A截面的扭转角。若截面的扭转角。若AB=L，则，则ABAB GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r r r r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。T T T T ABABLBAg g若若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则 T/GIr r=const.,故有：故有：r r GILTAB/=本讲稿第十九页，共二十九页例例例例2.2.空心圆轴如图，已知空心圆轴如图，已知空心圆轴如图
15、，已知空心圆轴如图，已知MMA A=150N.m=150N.m，MMB B=50N.m=50N.m MMC C=100N.m=100N.m，材料，材料，材料，材料G G=80Gpa=80Gpa，试求（试求（试求（试求（1 1）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；（2 2）C C截面相对截面相对截面相对截面相对A A截面的扭转角。截面的扭转角。截面的扭转角。截面的扭转角。解解解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。2)2)计算各段应力计算各段应力计算各段应力计算各段应力:ABAB段：段：段：段：N-mm-Mpa单位制单位制 f f22 f
16、 f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C150100T T/N.m/N.m本讲稿第二十页，共二十九页2)2)计算各段应力计算各段应力计算各段应力计算各段应力:BCBC段：段：段：段：故故故故 t t t tmaxmax=86.7Mpa=86.7Mpa f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C150100T T/N.m/N.m3)计算扭转角计算扭转角 ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=r rr r N-mm-MpaN-mm-Mpa单位制单位制单位制
17、单位制本讲稿第二十一页，共二十九页拉压拉压 t t=0.50.6s s (钢材，延性钢材，延性)t t与与s s之关系：之关系：t t=0.81.0s s (铸铁，脆性铸铁，脆性)1.1.强度条件强度条件/maxss=AFN/maxt tt t=TWT8.4 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录本讲稿第二十二页，共二十九页轴轴AB间的相对扭转角为：间的相对扭转角为：AB=TL/GIr r扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条
18、件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。还须满足刚度条件。还须满足刚度条件。还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：单位长度的扭转角为：q q=AB/L=T/GIr r扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：q q q qmamax x q q q q -许用扭转角许用扭转角许用扭转角许用扭转角机械设计手册建议：机械设计手册建议：机械设计手册建议：机械设计手册建议：q q q q
19、=0.250.5=0.250.5 /m;/m;精度高的轴；精度高的轴；精度高的轴；精度高的轴；q q q q=0.51.0=0.51.0 /m;/m;一般传动轴。一般传动轴。一般传动轴。一般传动轴。2.刚度条件刚度条件单位统一为单位统一为 /m，则有：则有：（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）180maxq qp pq qr r =o oGIT本讲稿第二十三页，共二十九页3.扭转圆扭转圆轴轴的的设计设计二者二者均须均须满足满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；确定
20、许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。强度条件：强度条件：/maxt tt t=TW T刚度条件：刚度条件：180maxq qp pq qr r =o oGIT极惯极惯性矩性矩324DIp pr r=抗扭截抗扭截面模量面模量 163DWTp p=本讲稿第二十四页，共二十九页解解解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。例例例例4.4.实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知MMB B=MMC C=1.64kN.m=1.64kN.m，MMD D=2.18k
21、N.m =2.18kN.m 材料材料材料材料G G=80GP=80GPa a，t t t t=40MPa=40MPa，q q q q=1=1 /m/m，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。最大扭矩在最大扭矩在AB段，且段，且B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按强度设计，有：按强度设计，有：16/3 3mamax xt tp pt t=DTW TT TN-m-paN-m-pa单位制单位制单位制单位制本讲稿第二十五页，共二十九页2)按刚度设计，有：按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，
22、则应取取大者同时满足强度与刚度要求，则应取取大者18032/1804maxq qp pp pp pq qr r =o oo oDGTGIT则有：则有：42max18032q qp pG MD 42911080180328032=p p N-m-pa单位制单位制)(109.693m-=mm70=本讲稿第二十六页，共二十九页讨论：若取讨论：若取a a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。，试设计空心圆轴尺寸。故：故：=76.4mm34 max)1(16t ta ap p-TD3641040)5.01(328016-=p p按刚度设按刚度设计，有：计，有：18032/)1(44maxq qp pa ap p
23、q q -=o oDGT则有：则有：取取 D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-a ap pD扭矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：maxmaxt tt t=T T16/)1(43maxa ap p-DWT)5.0(a a=1/)1()2/()2/()2/(2222a ag gp pg ga ap pp p-=-=LDLDD实心轴实心轴空心轴空心轴重量比：重量减轻重量比：重量减轻重量比：重量减轻重量比：重量减轻25%25%，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。本讲稿第二十七页，共二十九页圆轴扭转圆轴扭转小结小结杆的拉压杆的拉压强度强度强度强度设计设计设计设计刚度刚度设计设计极惯性矩：极惯性矩：实心轴实心轴空心轴空心轴抗扭截抗扭截面模量：面模量：实心轴实心轴空心轴空心轴本讲稿第二十八页，共二十九页习题：习题：8-5，8-10，8-11再再 见见本讲稿第二十九页，共二十九页