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1、2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. sin17cos13+sin73cos77（ ） A.B.C.D.2. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A.ytanxB.y3xC.D.yx33. 设alog0.33，clog23，则（ ） A.cbaB.cabC.acbD.bca4. 函数f(x)x3+3x2的零点所在区间为（ ） A.B.C.D.5. 已知函数yax+3+3(a0，且a1)的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则cos（ ） A.B.C.D
2、.6. 改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数yloga(x+b)图象的一部分，ABC是函数yMsin(x+)(M0，0，|0，cos1，则为第一象限角D.函数y=sin|x|是周期为的偶函数 已知函数f(x)sinx+cosx，则（ ） A.f(x)在上单调递减B.f(x)图象关于点对称C.f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为D.当时，f(x)取得最小值 已知函数f(x)logax+loga(ax)(a0，且a1)，则（ ） A.f(
3、x)定义域为(0,a)B.f(x)的最大值为22loga2C.若f(x)在(0,2)上单调递增，则10，且a1) 已知函数 （1）设，求f(x)的最值及相应x的值； （2）设，求的值 为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园如图所示，现有一处边长为40m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30m的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设PAB，矩形草坪PMCN的面积为S （1）求S关于的函数关系式； （2）求S的最大值以及相应的值 已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数
4、，且f(x)+g(x)2ex，其中e2.71828 （1）求函数f(x)和g(x)的解析式； （2）若不等式f(x2+3)+f(1ax)0在(0,+)恒成立，求实数a的取值范围； （3）若x10,1，x2m,+)，使成立，求实数m的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得式子的值【解答】sin17cos13+sin73cos77sin17cos13+cos17sin
5、13sin(17+13)，2.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】根据条件分别判断两个函数的单调性和奇偶性是否满足条件即可【解答】ytanx在定义域上不具备单调性，不满足条件y3x是增函数，为非奇非偶函数y的定义域为0，为非奇非偶函数yx6是增函数，是奇函数3.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】由，即可得出a，b，c的大小关系【解答】 log0.34log271， cba4.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可【解答】函数f(x)x3+3x5是连续函数且单调递增， f（）+0 f（）f（，由零点判定定
6、理可知函数的零点在（，）5.【答案】B【考点】任意角的三角函数指数函数的单调性与特殊点【解析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点问题，再利用任意角的三角函数的定义，求得结果【解答】令x+30，求得x2，函数yax+3+3(a8，且a1)的图象恒过点P(3，角的终边经过点P，则cos，6.【答案】C【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【解析】根据函数图象先求出M，和的值，然后利用待定系数法求出对数函数的图象即可【解答】由三角函数的图象知M，853，即T12，则，则ysin（，由函数过B(5，），得sin（，得sin（，即+2k+， |， 当k2时，则ysin（
7、），(4x8)，D，当x8时，y4sin，即A(4,2)，yloga(x+b)过(7,0)ab0，则b3，则yloga(4+1)loga72，得a，则ylog(x+1)，排除A，7.【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6100(110%)t20，解不等式即可求解【解答】设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6100(210%)t20，即3，即t，所以t，所以t11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，8.【答案】D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】根据图象变换关系先求出g(x)的解析式，结合f(x1)g(x2)1，得
8、到x1，x2是两个函数的对称轴，根据对称轴之间的关系进行求解即可【解答】将函数的图象向左平移，则g(x)cos2(x+)cos(2x+2），若x1，x2使得f(x4)g(x2)1，则f(x8)1，g(x2)3或f(x1)1，g(x7)1，不妨设f(x1)7，g(x2)1，则2x16k1，2x5+26k2+，k1Z，k7Z，即2x17k1+，6x2+2k4+2+，两式作差得8(x1x2)6(k1k2)+5，即(x1x2)(k7k2)+， |x8x2|的最小值为， 当k8k20时，最小|， 00，cos1sin2+cos2+2sincos12sincos0，又sin+cos=10，所以sin0，c
9、os0，即为第一象限角，所以C对；对于D，函数y=sin|x|是偶函数，但不以周期，如f(2)=1，f(+2)=1，二者不等，所以D错；【答案】A,B,C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性两角和与差的三角函数三角函数的最值【解析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论【解答】函数f(x)sinx+cosxsin(x+），当x（，)上（，）上单调递减；令x，求得f(x)6对称；f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为；当x+7k，f(x)，故D错误【答案】A,D【考点】对数函数的单调性与特殊点对数函数的图象与性质【解析】利用函数的定义域即为使得函数有意义的
10、自变量的范围，列出关于x的不等式，求解即可判断选项A，利用二次函数的最值以及对数函数的单调性即可判断选项B，利用复合函数的单调性即可判断选项C，利用函数f(x)是否满足f(x)f(ax)即可判断选项D【解答】对于选项B，f(x)logax+loga(ax)loga(ax)xloga(x6+ax)，因为yx2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0a5时，函数ylogax单调递减，此时f(x)无最大值，故选项B错误（1）对于选项C，若f(x)在(0，当0a1时，则yx2+ax在(2,2)上单调递增，故，解得a4，故选项C错误（3）对于选项D，f(x)logax+loga(ax)，则f(ax)lo
11、ga(ax)+logaxf(x)，所以f(x)图象关于直线对称，故选项D正确故选：AD【答案】B,C,D【考点】对数的运算性质【解析】利用新定义及对数的性质和运算法即可求解【解答】对于A，由题意aalog2(2a+2a)a+1，故A错误；对于B，(ab)clog2(5a+2b)clog25+2clog2(7a+2b+2c，a(bc)alog6(2b+2c)log32a+2log7(2a+2b+8c(ab)c，故正确；对于C，ablog2(2a+6b)，2a+2b37+1，所以log2(6a+2b)log23+1，即；对于D，(ab)clog2(7a+2b)c(ac)(bc)log2(2ac+2
12、bc)log22log32c+log2(8a+2b)c+log2(8a+2b)，故正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分【答案】(1,+)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】把零点问题转化为二次方程根的个数问题即可求解结论【解答】函数f(x)x22xa有两个不同的零点，即方程x32xa0有两个不等实根，故(2)24(a)6a1，【答案】1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断f(x)的图象是否经过原点即可【解答】由函数是幂函数，所以m2m71，解得m1或m5；当m1时，f(x)x1，图象不经过原点，满足题意；当m7时，f(x)
13、x8，图象经过原点，不满足题意；所以m1【答案】2k,k,k【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数成立的条件进行求解即可【解答】要使函数有意义，则sinx+，及sinx，及2kx2k+，即函数的定义域为2k，3k+，【答案】【考点】弧长公式【解析】可以分为三步，每步走60，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，利用弧长公式分别求解，最后求和即可【解答】可以分为三步，每步走60，到P的距离为半径，第一步：r2，L1，第二步：r，L2，第三步：r1，L3，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L4+L3+L3四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演
14、算步骤【答案】原式由于tan2，原式1【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值运用诱导公式化简求值对数的运算性质【解析】（1）利用指数，对数的运算性质即可求解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解【解答】原式由于tan2，原式1【答案】由已知得，于是，解得，故g(x)的单调递增区间为若选：（1）由已知得，则1，于是f(x)2sin(x+)因为f(x)图象关于直线对称，即又因为，所以，故由已知得由，）即故g(x)的单调递增区间为若选：（1）由已知得，则3，于是f(x)2sin(x+)因为f(x)图象关于点对称，即，又因为，所以，故（1）由已知得，由，kZ，即故g(x)的单调递增
15、区间为【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】（1）根据条件分别求出和的值即可求出函数的解析式（2）根据三角函数图象平移变换关系，结合函数的单调性进行求解即可【解答】由已知得，于是，解得，故g(x)的单调递增区间为若选：（1）由已知得，则1，于是f(x)2sin(x+)因为f(x)图象关于直线对称，即又因为，所以，故由已知得由，）即故g(x)的单调递增区间为若选：（1）由已知得，则3，于是f(x)2sin(x+)因为f(x)图象关于点对称，即，又因为，所以，故（1）由已知得，由，kZ，即故g(x)的单调递增区间为【答案】令tlog2x，由于
16、，1于是原函数变为，由于y(t)图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值，y取最大值4所以原函数的值域为当a1时，原不等式可化为：故a1时，原不等式的解集为当0a1时，原不等式可化为：，即，解得1x2故0a1时，原不等式的解集为x|3x1时0a7时，原不等式的解集为x|1x1时，原不等式可化为：故a1时，原不等式的解集为当0a1时，原不等式可化为：，即，解得1x2故0a1时，原不等式的解集为x|3x1时0a7时，原不等式的解集为x|1x0在(0,+)上恒成立，又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x8+3)f(ax1)在(6,+)上恒成立，又因为f(x)exex为R上的增函数，所以
17、x2+3ax6在(0,+)上恒成立，即在(3，所以因为，当且仅当所以a4；设h(x)e|xm|，f(x)在m,+)上的最小值为f(x)min，h(x)在0,2上的最小值为h(x)min，由题意，只需f(x)minh(x)min，因为f(x)exex为R上的增函数，所以当m0时，因为h(x)在(，在(m，所以当x0,4时minminh(0),h(1)于是，由h(0)e|m|emem得em2em，即e4m2，解得考虑到，故h(1)e11m|em3emem，即，解得因为，所以当m0，emem0，所以对任意max1在(0,+)上恒成立，运用参数分离和基本不等式求最值，可得所求范围；（3）设h(x)e|
18、xm|，f(x)在m,+)上的最小值为f(x)min，h(x)在0,1上的最小值为h(x)min，由题意，只需f(x)minh(x)min，由f(x)的单调性可得f(x)的最小值，再对m讨论，结合指数函数和含绝对值的函数的单调性，分别求得h(x)的最小值，解不等式可得所求范围【解答】由题意知f(x)+g(x)2ex，可得f(x)+g(x)2ex，由f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，可得f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以f(x)+g(x)2ex，于是+可得2g(x)2ex+6ex，即g(x)ex+ex，所以f(x)exex；由已知f(x2+3)+f(7ax)0在(0,+)上恒
19、成立，又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x8+3)f(ax1)在(6,+)上恒成立，又因为f(x)exex为R上的增函数，所以x2+3ax6在(0,+)上恒成立，即在(3，所以因为，当且仅当所以a4；设h(x)e|xm|，f(x)在m,+)上的最小值为f(x)min，h(x)在0,2上的最小值为h(x)min，由题意，只需f(x)minh(x)min，因为f(x)exex为R上的增函数，所以当m0时，因为h(x)在(，在(m，所以当x0,4时minminh(0),h(1)于是，由h(0)e|m|emem得em2em，即e4m2，解得考虑到，故h(1)e11m|em3emem，即，解得因为，所以当m0，emem0，所以对任意m3，恒有h(1)em1ememf(x)min恒成立综上，实数m的取值范围为第25页 共26页 第26页 共26页