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1、2020 2021学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.若集合4=Z/-1 x v 2）,则人的真子集个数为（）A.l B.2 C.3 0.41sinCl=,a W （,冗）2.已知 3 2,则tana的值为（）加 返A.4 B,4 c.D.2 V 2Va,bCR,a b 畔）2A.2B.不能判断p的真假C.p是假命题 D.p是真命题4.方程sin2x-logsx=0解的个数为（）A.l B.3 C.5 D.7log a lo g 1 b5.已知 万 万，则下列不等式一定成立的是（）
2、1 b3 C.lnfb-a）0 D.3a-b -xB.mx （0,+8），1U第1页 共26页第2页 共26页C.若sina cosa 0,则a为第一象限角a （0,47 1）1 721；r、4 0,则满足的+加-的x的取值范围是已知函数y=cos3x-a,x右/-可力（其中a,3 为常数，且s0）有且仅有5个零点，则。的值为 的 取 值 范 围 是.四、解 答 题（本题共6小题，共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集一瓷。集合 N=xlW -m x-2m2 0.(1)当 m=2 时，求 M n N；不等式ax2+bx+c2 0的解集是仪/-1 x s 2）,对于系数a,
3、b,c,下列结论正确的 是（）A.a+b=0 B.a+b+c 0 C.c 0 D.b 0已知定义域为A的函数f（x）,若对任意的勺,x2 A,都有f（x2+x2）0.己知函数f （x）=V 3 s i n（3 x+。）+2COS2”T（3 0,0 0,a 1）与y=mlog2x+n（m 0）可供选择.（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2?（可能用到的数据Iog215=3.9,器，1.3 7,母=66.72）己知函数且QH”的图象经过点及,V 3）（1）若函数F仞=-3/凶+1
4、0-m在区间/0 2加存在零点，求实数m的取值范围;（2）若函数f仅尸g（x）+h（x）,其中g团为奇函数，/?仞为偶函数，若x e侑 力时，21nh（x）-l ng（x）-t 0恒成立，求实数t的取值范围.71（2）将 函 数 的 图 象 向 右 平 移6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的第 5页 共 26页第 6页 共 26页参考答案与试题解析2020 2021学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷一、单项选 择 题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】C【考点】子集与真子集【解析】先求出集合4然后集合的真子集定义写出
5、真子集，从而得到集合力的真子集的个数.【解答】,/集合 4=仅 Z I-1X 2=7,1,:.集合A=fx e z/-1 x （2）当 0,b 均为负数时，ab 2（2 ）由此能求出结果.【解答】命题小六b C R，a b（晋产b G R 3 )2,故 A 错误;软+b a+b当a,b一正一负时，(2 )4 0,ab 0,ab lo g7 b 圭 工*.*2 2,0 a b,a3 3=5f 故 D 正确，6.【答案】B【考点】抽象函数及其应用【解析】由 奇 函 数 的 性 质 和 求 出 函 数 的 周 期，利用函数的周期性和奇偶性将f(2021)转化为f,即可求解.【解答】由题意得，/。是定
6、义在R上的奇函数，所以打2+x)=f(-x)=-f(x)f 则 f(x+4)=_f(x+7)=f(x),所以函数/仅用勺周期为4,因为弁-=7,所以1)=-2,所以 f(2021)=f(2+504 x 5)=f(l)=-2.第9页 共26页故选：B.7.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】画出图形，求出弓所在的弧长以及对应的圆心角，进而可以求解.【解答】717T 兀 5兀*-p-+-如图所示，弓所在弧长为AB=4 4 6 8,771a工如15 2则其对应的圆心角40B=16,.15则两手之间的距离为48=2rsin 3=3x16 2=16,8.【答案】A【考点】函数的最值及其几何
7、意义【解析】根 据/仅)图 象 判 断v m,结合对数运算求得m,的关系式，根据力xj在m/,词上的最大值求得m,的另一个关系式，由此求得m,n,进而求得n的值.【解答】画出一仞图象如下图所示，由于 0 v a v m 时，f(m)=f(n),S/log3n/=/log5/n/,W-log3n=log3m,Iog2n+og3m=og3m n=21 mn=l.由。2-/)=/-8/0,得 0 v v 3 /.f(n2)3,则2a为第一象限角或第二象限角，a为第一象限角或第三象限角，故C错误；at (0,4)对于 D,若，则 sin2a (0,2 cos2a+si n a-:.s-in 2 an
8、+cos 7 na =s.i n 5 na cos 2 na =(-2sin2 a)4=sin26a 4.【答案】C,D【考点】由y=Asin(cox+4)的部分图象确定其解析式【解析】首先确定函数的周期，再设函数的解析式，待定系数可求函数的解析式.【解答】2 冗1,函数的周期为T=6。，.3=T =3 0,7 T设函数解析式为y=s in f-3 0 1+如(顺时针走动为负方向)PoS泠v 初 始 位 置 为u 2 5,返10 时，y 5,返 2 L/.sn(p=2,，.卬可取 6,71 冗/.函数解析式为y=s in(-3 0 t+3).7 T 7 T由诱导公式可得函数解析式为y=cos(
9、3 0 t+6).【答案】A,B,C【考点】一元二次不等式的应用【解析】根据不等式a/+bx+c 2 0的解集得出a v 0且b=-a,c=-2 a；结合不等式对应二次函数的关系，判断选项中的命题是否正确即可.【解答】第 11页 共 26页第 12页 共 26页所以a+b=O,选项A正 确(1)设二次函数+bx+c,且Q v。，且函数的零点是-1和5,所以外=0+b+c 0(2)因为c=-2o 7,所以选项C正确(3)因为b=-a 0,所以选项D错误.故选：ABC.【答案】A,C,D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据“定义域上的优美函数 的定义，逐一分析给定的函数是否满足定义，即可得到
10、答案.【解答】f(x)=x2+l，x E ,y 对于A 2 3 ,f(x1+x2)(x3+x2)2+3=xj+#+2X2X2+1,加6 加2片 号+6,f(Xi+x2)f(x1)+f(x2),不满足定义；对于 C,f(x)=srx,nff(x4+x2)=sn(x1+x6=sinxJcosx2+cosx4sinx2f(x j+f(x3)=zsrx1+sinx2f(X3+X2)Wf(xJ+f(X2)恒成立,满足定义；对于 D,fM=og3x,x 2,x7+x2 x?X2 恒成立，饱 +x2)=log7(x1+X2)，f M +/fr2J=log3x2*log3x2=log7(x2x2J,f(x2+
11、X2)S f(xj+f(x)恒成立,满足定义.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分,)【答案】x/x 0=xlx-7,B yly=zx2 =/y/y=V ,所以 A U B=x/x 0.【答案】1【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据。-6=佃-5+管-引，利用两角和的正切公式计算即可.【解答】因为 ta n/a-g j=：,tariff-6J o 2 6 3所以 tanfa-6)=t 3n(a6)6 6n ntanfa-J +tanf-=n n1-tanfa-/tanf-6)6 6【答案】(0,+)【考点】分段函数的应用【解析】作出函数/X用勺图象，由图象可知函数/为增函数，又因
12、为x x-l,B.x-(x-l)=3 f(O)=l,结合图象分析求解即可得到答案.【解答】x+1,x 0 ,作出图象如图所示，第 13页 共 26页第 14页 共 26页由图象可知函数f(x)在R上为单调递增函数，因为 x x-1,且 x-(x-7)=l,故要使 f(x)+f(x-l)5,则有解得x4,所以满足/仞 仅-的X的取值范围是亿+8 人【答案】6)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先利用函数为偶函数，得到X=0为其中一个零点，从而求出Q的值，再将零点问题转化为两个图象的交点进行分析，利用数形结合的方法求解即可.【解答】因为函数y=/(x尸C0S3X-Q,X G/-7T,其图象关
13、于 轴对称，因为函数有且仅有5个零点，所以必有一个零点为x=0,则 cosg 6-a=0,即 a=1,所以函数f(x)=C O SO J X-3x e /-%制的零点个数等价于曲线y=C0S3X与直线y=1在/-7T,当3=1时，曲线y=cosx与直线y=8在1-71,则当3=2时，曲线y=cos7x与直线y=1在/-Ji,则32,当3=3时，曲线y=cos4x与直线y=1在/-71,如图所示，当3=3时，曲线y=cos6x与直线y=1在/-汽，如图所示，所以3 的取值范围是/3,61四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)【答案】x+3由 X-3 7,所
14、以 M=xl -3 x 3,当 m=7 时，由/-2 x-6 v 0,得-2 xv3,所以 N=xl -2 x 4,所以M cN=x|-4vxv3.由/-mx-8m2 2,得因为x 是x G N的必要不充分条件，所以1 5 m 4 3 ,且等号不能同时成立，解得m 4,又m 0,A所以实数m的取值范围是(0,2.【考点】交集及其运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】(1)化简集合M，N,再进行集合交集运算即可求得答案；(2)x 是x G/V的必要不充分条件，得即可求得m的取值范围.【解答】x+3由 x-37,所以 M=xl -3 x 3,当 m =7时，由K-2X-6 0,得-2 X3,所以
15、 N=x1-2 x 4,所以 M c N=xl -4 x 3.由/-mx-8m2 2,得-mvxv2m,因为x金乂是乂 W N的必要不充分条件，-ID-3所以l 5 m 4 3 ,且等号不能同时成立，解得m 4,又m 0,所以实数m的取值范围是(O,2,【答案】1 83由题意可得 cosa=-5,sina=5 7,第 15页 共 26页第 16页 共 26页3 s i n(兀-a)+5 c o s(-a )，兀、/、8 s i n(F-a )+s i n (兀+a)可得 23 s i n。+7 c u s a=2c o s a-s i n a3 t an a+42-t an C l =i.7T
16、7T e x -由题意可得a-6=8 ,可得6=4 ,所以 sin26+6cos6=sin2(冗7 1a a -i 4 )+7cos(4 )7 1 兀a a -1=sinf2 6 )+2cos(4 )7 Ta =-cos6a+2cos(4 )=4 -2cos2a+yJS(cosa+sinaj16 2=I-2X2 5+V 6 0,贝k x v O,x 8 时，f(x)=x2-2x.f(x)=d +2x,/团是奇函数，f(-x)=x2+3 x=-f(x),即/仞=-/-2 x，(x4).第 18页 共 26页即加片X2-2X,X2-2Xx46x2设x X27,2 2 8 2则 f(x j 7仅2)
17、=X 8-2X 3-(X 2-2X2)=X L X 2+7X 2-2X7=(X1-X2)(x3+x2)-2(X4-x2)=的-X 3NX 1+X2-5),x1x2 8,xt-x2 3,x1+x2-3 0,即 f(x8)，即/在/-8,0/上的单调递减./仞是R上的奇函数，且在(-8,，/他|在R上的单调递减，由 f(ax-a)+f(-x-2)8 f(ax-a)-f(-x-2)=f(x+2),即 ax-a x+5,即 x(a-1)a+2,a+4若 a 1,则 a-6 0 4,a+2 a+5即Q v i时，不等式的解集为(a-3 ,G=i时，时，a-1).【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】(1)
18、根据函数奇偶性的性质，结合对称性进行求解即可.(2)根据函数单调性的定义进行证明即可.(3)结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可.【解答】如 x 0,则-x 4).X2_2X,X6即 加 片 x-2x,x2.设均x2 7,22 8 2则 f M -f(X2)=X 8 2X 3-(X 2-2X2)=X L 2+7X 2-2X 7=(xx2)(x3+x2)-2(X4-x2)=(Xi-x3)(Xi+X2-5),x1 x2 8,/.x2-x2 3,Xi+x2-3 0,即 f(X)f(X8),即f在G 8,0/上的单调递减./f仞是R上的奇函数，且在(-8,/同在R上的单调递减，由 f(ax-a
19、)+f(-x-2)8 得 f(ax-a)-f(-x-2)=f(x+2),即 ax -G v x +5,x(a-1)1,贝UQ-6o a-4,a+2 a+5即Q V I时，不等式的解集为(a-3 ,时，时，a-l).【答案】TC由题意，函数f(x)=J W 6),因为函数/X)图象的相邻两个最高点的距离为7 T,所以T=n.可得3=2,又由函数/仅)为偶函数.n n得3+6=kn+2,第 19页 共 26页第 20页 共 26页n则=卜乂+3 ,k e z.因为 0 3 v/r,7T所以k=0时，（p=2 ,令 2k n-T T 2 x S 2k n,k Z,兀解得 k z r-2 s x S
20、k n,厂 冗 3冗 冗 冗 5冗X 匕-9-J 1-又 6 6 可得函数/仞的单调递增区间为-6 7,6 .71 7T 1将函数/仞的图象向右平移4个单位长度3 )的图象5,得到函数g/x)=兀即当4 x-3 =3 时，即X=-1 2时，最小值为-371 兀当7x-3 =0时1 2时，函数g仞取得最大值.【考点】正弦函数的单调性函数y=A s i n(w x+4)的图象变换【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合函数奇偶性和周期性质求出函数的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.(2)根据图象变换求出函数g仞的解析式，求出角的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可.【解答】由题意，函数用
21、6),因为函数力X j图象的相邻两个最高点的距离为7 T，所以T=TI.可得u)=2,又由函数/仅)为偶函数.n 7T得(P +6 =k n+2 ,7T则=依+3 ,/c e z.因为 0 V 3 7 1,n所以k=0时，(p=2 ,令 2k n-r e 2x 2 k r t,k Z,J T解得 k rt-2 x 5,与实际情况差别比较大，1O 3 81故选函数模型y=351og2x+10；因为 351og215+10=35*3.9+10=146.5,351og216+10=150,而 146.5 v 148 v 150,所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2.【考点】根据实
22、际问题选择函数类型【解析】(1)分别选择两个函数模型求出对应的参数，再令x=8求出y的值，与实际情况对比即可求解：(2)根 据(1)选择的函数模型代入数据比较即可求解.【解答】若选择数据化45片”4,80%由加0取2,”-4 5,解得刀=35,n=1 0,则 y=35102%+10,(mlog24+n=80当x=8时，y=351og28+10=115,与实际情况相符，由k,=8 0,解得卜=薨，则 丫 啜 嗯 尸，当x=8时，y=x(i f=.1 1 5,与实际情况差别比较大，故选函数模型y=351og2x+10；因为 351og215+1035x3.9+10=146.5,351og216+1
23、0=150,146.5 148 0,且a w 的图象经过点 2 ,7所以a=V 3,解得。=8,则 的=3x,因为X 户9,令 1=3乂，则 5 v tv 9,函数F(x)=-3f(x)+10-m在区间(5,2)内存在零点,即函数G(o=mo-m在区间亿切内有零点，所以 G/G(9)0,(2-m)(-17-m)0f所以实数m的 取 值 范 围 为17,7八由题意可得，函数f(x)=g(x)+h(x),6凶为偶函数,f (x)=g(x)+h(x)=4x可得f (-x)=g(-x)+h(-x)=3 r,g(x)=g(x)+h(x)=3x 即 L-g(x)+h(x)=3-x,解得 W3*+尸-33*
24、+3-8因为 2l nh(x)-l ng(x)-tO,t d l r rh?(x)g(x)所以o X .Q -X/3 +3 、2 cJ 4 )_ “(3穴-4交)2+4n 3X-6 X-n 3(3x-3 )2,设。=2*-3可因为0 x 4 2,且a=3=3-x在R上为单调递增函数,7 a|所以 3,t 4 1 na9+4=l n y (a-t-)l所以 2 a 2 aa的小工4因为 a Y a,4a=当且仅当 a,即a=2时取等号,第23页 共26页第24页 共26页所以t ln5,故实数t的取值范围为(-啊|n2).【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得，函数f(x)=g(x)
25、+h(x),h(x)为偶函数,f (x)=g(x)+h(x)=4x可得 f (-x)=g(-x)+h(-x)=3-x,g(x)(1)先利用函数/仅)过点 2 ,求出/仞的解析式，然后利用换元法，令t=3 3将问题转化为函数G=-3 t+1 0-m在区间已到内有零点，再利用零点的存在性 定 理 列 出G(9)0,且G H”的图象经过点(y-V3)7所以a=V 3,解得a=8,则力M=33因为 x e (0,4)x 9,令 t=31 则 5 v t 9,函数F(x)=-3f(x)+1 0-m在区间(5,2J内存在零点,即函数G/=-3 t+I 0-m在区间亿句内有零点，所以 G G(9)0,UP(2-m)(-17-m)0f所以实数m的 取 值 范 围 为7”g(x)+h(x)=3xgp L-g(x)+h(x)=3 x因为 21nMx)-lng(xj-12 0,解得t a 匡=4因为 a V a,4a=-当且仅当 a,即a=2时取等号，所以t ln5,故实数t的取值范围为/-8,ln 2 J.第25页 共26页第26页 共26页