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1、2020-2021学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 集合A=3,2,1,0,1,2，集合B=x|2x1|1B.对xR，都有sinx1C.x0R，使得sinx01D.x0R，使得sinx13. 若角的终边经过点P（），则tan（ ） A.B.C.1D.4. 函数f(x)sin4x+2sinxcosxcos4x的最小正周期是（ ） A.B.C.D.25. 已知asin160，bcos50，ctan110，则a，b，c的大小关系为（ ） A.abcB.cbaC.cabD.acb，则B.若
2、ababb2C.D.lgx0是x0,0,0)的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A.B.f(2021)1C.函数y|f(x)|为偶函数D. 已知定义在R上的函数f(x)同时满足下列三个条件：f(x)是奇函数；xR，；当时，f(x)2x1；则下列结论正确的是（ ） A.f(x)的最小正周期TB.f(x)在-，上单调递增C.f(x)的图象关于直线对称D.当x(kZ)时，f(x)0三、填空题；本小题共4个小题，每小题5分，共20分。 已知弧长为的弧所对圆心角为60，则这条弧所在圆的半径为_ 已知为第二象限角，cos(）2sin(+)，则cos_ 计算：_ 某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：阶
3、梯年用量（千克）价格（元/千克）第一阶梯不超过10的部分6第二阶梯超过10而不超过20的部分8第三阶梯超过20的部分10则一户居民使用物资的年花费y元关于年用量x千克的函数关系式为_ ；若某居民使用该物资的年花费为100元，则该户居民的年用量为_千克四、解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 从“xR，f(2+x)f(2x)；方程f(x)0有两个实数根x1，x2，x1+x24；xR，f(x)f(2)”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答已知函数f(x)为二次函数，f(1)8，f(0)3，_ （1）求函数f(x)的解析式； （2）若不等式f(x)k
4、x0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围 2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1:f(t)at+b(a,bR)是按直线上升的地价，P2:g(t)clog2(d+t)(c,dR)是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数2006年对应的t值为0 （1）求f(t)，g(t)的解析式； （2）2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型（参考数据：log210
5、3.32） 已知函数f(x)sin(2x+)(00，0，-） （1）求A，K的值； （2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？ （3）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？ 若函数f(x)和g(x)的图象均连续不断，f(x)和g(x)均在任意的区间上不恒为0，f(x)的定义域为I1，g(x)的定义域为I2，存在非空区间A(I1I2)，满足：xA，均有f(x)g(x)0，则称区间A为f(x)和g(x)的“区间” （1）写出f(x)sinx和g(x)cosx在0,上的一个“区间”（无需证明）； （2）若f(x
6、)x3，1,1是f(x)和g(x)的“区间”，证明：g(x)不是偶函数； （3）若，且f(x)在区间(0,1上单调递增，(0,+)是f(x)和g(x)的“区间”，证明：g(x)在区间(0,+)上存在零点参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先利用绝对值不等式的解法求出集合B，然后再利用集合交集的定义进行求解即可【解答】解：因为集合A=3,2,1,0,1,2，B=x|2x1|2=x|12x1；故选：C3.【答案】C【
7、考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果【解答】角的终边经过点P（），则tan1，4.【答案】C【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】利用三角函数的倍角公式进行转化，结合辅助角公式进行化简求解即可【解答】f(x)sin4xcos4x+2sinxcosx(sin2xcos2x)(sin2x+cos2x)+2sinxcosxsin2x+sin2xcos2xsin2xcos2xsin(2x），则最小正周期T，5.【答案】C【考点】三角函数线【解析】判断a，b，c的范围，结合三角函数值的大小进行比较即可【解答】因为asin160cos70cos50
8、b，即0ab1，又因为ctan110tan700，即cab，6.【答案】D【考点】求函数的值函数的求值【解析】由f(a)1lg，得lg，由此能求出f(a)【解答】 函数，f(a)， f(a)1lg， lg， f(a)1lg1+lg1+7.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】代入已知数据求出r，即可求出I(t)的解析式，进而可以求解【解答】由R01+rT，R03.22，T10可得10r+13.22，所以r0.222，则I(t)erte0.222t，设题中所求病例增加至3倍所需天数为t1天，所以I(0)e01，e，即0.222t1ln3，所以t天，8.【答案】A【考点】函数的零点与方
9、程根的关系【解析】画出函数f(x)的图象，问题转化为ym和f(x)的图象有4个不同的交点，结合图象，求出m的范围即可【解答】画出函数f(x)的图象，如图示：，若方程f(x)m0有4个不相同的解，则ym和f(x)的图象有4个不同的交点，结合图象，0m1，二、多项选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用充分条件、必要条件、充要条件【解析】A举反例判断，B根据不等式性质判断，C用配方法求最大值判断，D根据对数函数性质及充分条件和必要条件概念判断【解答】对于
10、A，举反例，当a1，b1时，命题为假，所以A错；对于B，abab，abb2a2abb2，所以B对；对于C，所以C对；对于D，lgx00x1x1，反之未必成立，如x11，但lgx没有意义，lgx0不成立，所以lgx0是x1的充分不必要条件，所以D对【答案】A,C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可【解答】解：A，f(x)=3x的定义域为R，是奇函数，且是增函数，满足条件，故A符合题意；B，fx=tanx是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件，故B不符合题意；C，f(x)=3x3x=(3x3x)=f(x)，则函数f(x)是奇函数，在R上是增函数，满足条
11、件，故C符合题意；D，f(x)=xcos(x)=xcosx=f(x)，则f(x)是奇函数，f(0)=0，f()=，则f(x)不是增函数，不满足条件，故D不符合题意故选AC【答案】A,D【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【解析】结合图象求出A，代入点的坐标，求出的值，求出函数f(x)的解析式，判断A，B，根据函数的奇偶性判断C，计算f（+x)+f（x)的值，判断D【解答】由图象知：A2，T2-（-），故2，故f(x)2sin(2x+)， f(x)的图象过点（-，2)， 2sin(+)2，故sin(+)1， -+2k，kZ，故+2k，kZ， 00，x(0，），对于A，由上述知，只
12、须证为最小正周期，假设还存在正周期T(0,)，xR，f(x+T)f(x)，f(T)f(0+T)f(0)0T，若T，xR，f(x+）f(x)，f(x)f(x)f(x)0，矛盾，若T（，)，则T(0，），f(T）f(）f（+0)f(0)0，矛盾，所以假设不成立，则A对；对于B，首先当时，f(x)2x1是增函数，再由奇函数关于原点对称知，当时，f(x)也是增函数，f(x)在-，上单调递增，则B对；对于C，xR，f(2(）x)f(x)f(+x)f(x)f(x)，所以f(x)的图象不关于直线对称，则C错；对于D，当k2n时，xn，f(x)f(n)f(0)0，当k2n+1时，xn+，f(x)f(n+）f（
13、）f(0)0，则D对三、填空题；本小题共4个小题，每小题5分，共20分。【答案】3【考点】弧长公式【解析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果【解答】由弧长公式l，可得半径r3【答案】-【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用诱导公式可求得sin的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos的值【解答】因为cos(）2sin(+)sin+2sin3sin，可得sin，因为为第二象限角，则cos-【答案】-【考点】对数的运算性质【解析】利用指数和对数的性质、运算法则直接求解【解答】(lg5+lg2)+34-【答案】y,15【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据已知条件建立函
14、数关系式即可；（2）根据（1）的函数解析式即可求解【解答】（1）当0x10时，y6x，当1020时，y610+810+10(x20)10x60，所以函数的解析式为y，（2）由函数的解析式分析可得，只有8x20100，解得x15，故该户的年用量为15千克，故答案为：y，15四、解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。【答案】设函数f(x)的解析式为f(x)ax2+bx+c(a0)，由f(1)8，f(0)3，可得c3，ab5，若选条件xR，f(2+x)f(2x)，则f(x)的对称轴为x2，即-2，与ab5联立，可得a1，b4，此时f(x)x2+4x3；若选条件方程
15、f(x)0有两个实数根x1，x2，x1+x24，可得-4，与ab5联立，解得a1，b4，此时f(x)x2+4x3；若选条件xR，f(x)f(2)，则-2，与ab5联立，可得a1，b4，此时f(x)x2+4x3因为不等式f(x)kx0对一切实数x恒成立，所以x2+(4k)x30对一切实数x恒成立，所以(4k)2120，解得42k4+2，即实数k的取值范围是42，4+2【考点】函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）设f(x)ax2+bx+c(a0)，由f(1)8，f(0)3，可得c3，ab5，再根据所选条件，可得a，b之间的关系，解方程组即可得解；（2）
16、由二次函数的性质结合不等式恒成立，可得0，然后求出k的取值范围【解答】设函数f(x)的解析式为f(x)ax2+bx+c(a0)，由f(1)8，f(0)3，可得c3，ab5，若选条件xR，f(2+x)f(2x)，则f(x)的对称轴为x2，即-2，与ab5联立，可得a1，b4，此时f(x)x2+4x3；若选条件方程f(x)0有两个实数根x1，x2，x1+x24，可得-4，与ab5联立，解得a1，b4，此时f(x)x2+4x3；若选条件xR，f(x)f(2)，则-2，与ab5联立，可得a1，b4，此时f(x)x2+4x3因为不等式f(x)kx0对一切实数x恒成立，所以x2+(4k)x30对一切实数x
17、恒成立，所以(4k)2120，解得42k4+2，即实数k的取值范围是42，4+2【答案】由题意可知：f(0)60，f(12)120，所以b60，且12a+b120，解得a5，b60，所以f(t)5t+60，又g(0)60，g(12)120，所以，解得c30，d4，所以g(t)301og2(t+4)，若按照模型P1:f(t)5t+60，到2022年时，t16，f(16)140，直线上升是增长率为10%，不符合要求，若按照模型P2:g(t)301og2(t+4)，到2022年时，t16，g(16)301og220129.6，对数增长的增长率为，符合要求，综上，应该选择模型P2【考点】根据实际问题选
18、择函数类型【解析】（1）根据已知实际代入函数解析式解出a，b，c，d，即可求解；（2）分别求出两种模型的增长率，比较即可选择【解答】由题意可知：f(0)60，f(12)120，所以b60，且12a+b120，解得a5，b60，所以f(t)5t+60，又g(0)60，g(12)120，所以，解得c30，d4，所以g(t)301og2(t+4)，若按照模型P1:f(t)5t+60，到2022年时，t16，f(16)140，直线上升是增长率为10%，不符合要求，若按照模型P2:g(t)301og2(t+4)，到2022年时，t16，g(16)301og220129.6，对数增长的增长率为，符合要求，
19、综上，应该选择模型P2【答案】f(x）sin(2x+)，因为其为奇函数，所以-+k，kZ，解得k+，kZ，因为0，所以，所以f(x)sin(2x+），令-+2k2x+2k，kZ，解得-+kx+k，kZ，可得函数f(x)的单调递增区间-+k，+k，kZ证明：函数yf(x)的图象向右平移个单位，得到函数ysin2(x）+sin2x的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)sin4x的图象，因为x时，g(x)0,1，所以2g2(x)g(x)12g(x)+1g(x)10，得证【考点】正弦函数的单调性函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】（1）由已知利用正弦函数的奇
20、偶性，结合0，可求，进而根据正弦函数的单调性即可求解f(x)的单调递增区间（2）根据函数yAsin(x+)的图象变换可求g(x)的解析式，由已知可求g(x)0,1，分解因式可证2g2(x)g(x)10【解答】f(x）sin(2x+)，因为其为奇函数，所以-+k，kZ，解得k+，kZ，因为0，所以，所以f(x)sin(2x+），令-+2k2x+2k，kZ，解得-+kx+k，kZ，可得函数f(x)的单调递增区间-+k，+k，kZ证明：函数yf(x)的图象向右平移个单位，得到函数ysin2(x）+sin2x的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)sin4x的图象，
21、因为x时，g(x)0,1，所以2g2(x)g(x)12g(x)+1g(x)10，得证【答案】要使函数f(x)ln(22x)+ln(22x)有意义，则，解得1x1，即函数f(x)的定义域为(1,1)f(x)ln(22x)+ln(22x)f(x)，所以f(x)为偶函数若f(x)m恒成立，则mf(x)max，f(x)ln(22x)+ln(22x)ln(22x)(22x)ln52（+2x)，因为1x1，所以2x2，则2+2x，所以052（+2x)1，所以ln52（+2x)0，所以f(x)max0，即m0，所以实数m的取值范围是0,+)【考点】函数的定义域及其求法函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解
22、析】（1）利用真数大于0，可得函数的定义域；（2）利用奇偶函数的定义，可得函数f(x)的奇偶性；（3）若f(x)m恒成立，则mf(x)max，求出f(x)max即可求得m的取值范围【解答】要使函数f(x)ln(22x)+ln(22x)有意义，则，解得1x1，即函数f(x)的定义域为(1,1)f(x)ln(22x)+ln(22x)f(x)，所以f(x)为偶函数若f(x)m恒成立，则mf(x)max，f(x)ln(22x)+ln(22x)ln(22x)(22x)ln52（+2x)，因为1x1，所以2x2，则2+2x，所以052（+2x)1，所以ln52（+2x)0，所以f(x)max0，即m0，所
23、以实数m的取值范围是0,+)【答案】由题意，dAsin(t+)+K，由图可知d的最大值为6，最小值为2，即，解得A4，K2， 每分钟转1圈， 函数的周期为T，可得2，可得d4sin(2t+)+2， 依题意，可知当t0时，d0，即04sin+2，可得sin-，由-0，故盛水筒不在水中【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式三角函数模型的应用【解析】（1）由图可知d的最大值为6，最小值为2，由，解得A，K的值，求得函数的周期，利用周期公式可求，依题意，可知当t0时，d0，可得sin-，结合-，可得的值（2）令64sin(2t）+2，得sin(2t）1，求解t的值即可得解（3）由题意，5
24、4sin(2t0）+2，可得cos(2t0），利用两角差的正弦公式可求sin2(t0+）-的值，即可计算得解【解答】由题意，dAsin(t+)+K，由图可知d的最大值为6，最小值为2，即，解得A4，K2， 每分钟转1圈， 函数的周期为T，可得2，可得d4sin(2t+)+2， 依题意，可知当t0时，d0，即04sin+2，可得sin-，由-0，故盛水筒不在水中【答案】由题意得：f(x)sinx和g(x)cosx的定义域是R，当x，时，f(x)0，g(x)0，满足“区间”的定义，故在区间0,上的一个“区间”可以是，及其非空子集；证明：由题意，当x1,0)时，f(x)x30，故g(x)0， g(x
25、)在任意区间上不恒为0，故存在x11,0)，使得g(x1)0，又 g(x1)0， g(x1)g(x1)，故g(x)不是偶函数；证明：当x(1,+)时，f(x)+x+sin2x0+1+sin2x0，当x(0,1时， f(1)1+sin20，f（）+sin0，又 f(x)在区间(0,1上单调递增，故存在唯一t（，1)，使得f(t)0，且当x(0,t)时，f(t)0，当x(0,t)时，f(x)0，当x(t,+)时，f(x)0，故g(x)0且存在(t,+)使得g()0，故存在(,)，使得g()0，故g(x)在区间(0,+)上存在零点【考点】函数零点的判定定理【解析】（1）根据“区间”的定义求出f(x)
26、sinx和g(x)cosx在0,上的一个“区间”即可；（2）根据函数的奇偶性的定义证明即可；（3）根据“区间”的定义以及函数f(x)的单调性，证明即可【解答】由题意得：f(x)sinx和g(x)cosx的定义域是R，当x，时，f(x)0，g(x)0，满足“区间”的定义，故在区间0,上的一个“区间”可以是，及其非空子集；证明：由题意，当x1,0)时，f(x)x30，故g(x)0， g(x)在任意区间上不恒为0，故存在x11,0)，使得g(x1)0，又 g(x1)0， g(x1)g(x1)，故g(x)不是偶函数；证明：当x(1,+)时，f(x)+x+sin2x0+1+sin2x0，当x(0,1时， f(1)1+sin20，f（）+sin0，又 f(x)在区间(0,1上单调递增，故存在唯一t（，1)，使得f(t)0，且当x(0,t)时，f(t)0，当x(0,t)时，f(x)0，当x(t,+)时，f(x)0，故g(x)0且存在(t,+)使得g()0，故存在(,)，使得g()0，故g(x)在区间(0,+)上存在零点第21页 共24页 第22页 共24页