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1、关于特殊函数的不定关于特殊函数的不定积分积分现在学习的是第1页，共29页第三节第三节 几种特殊函数的几种特殊函数的 不定积分不定积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分现在学习的是第2页，共29页基本积分法基本积分法:换元积分法换元积分法;分部积分法分部积分法.初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分例如例如,下列函数积分都不是初等函数下列函数积分都不是初等函数直接积分法直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分有重要应用的积分,都属
2、于都属于“积不出积不出”的范围的范围.现在学习的是第3页，共29页有理函数的定义有理函数的定义两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式真分式真分式;假分式假分式.现在学习的是第4页，共29页例例多项式的积分容易计算多项式的积分容易计算.真分式的积分真分式的积分.只讨论只讨论:多项式多项式真分式真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 +真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和现在学习的是第5页，共29页 对一般有理对一般有理真分式的积分真分式的积分,代数学中下述定理起着代数学中下述
3、定理起着关键性的作用关键性的作用.定理定理现在学习的是第6页，共29页部分分式部分分式(最简分式最简分式).).现在学习的是第7页，共29页 用此定理有理函数的积分就易计算了用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数有理函数的积分是初等函数.注注系数的确定系数的确定,一般有三种方法一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等等式两边同次幂系数相等;(2)赋值赋值;(3)求导与赋值结合使用求导与赋值结合使用.现在学习的是第8页，共29页例例 求求解解由多项式除法由多项式除法,有有 说明说明:当被积函数是当被积函数是假分式假分式时时,应把它
4、分为一个应把它分为一个多项式和一个真分式多项式和一个真分式,分别积分分别积分.假分式假分式现在学习的是第9页，共29页例例 求求解解 比较系数比较系数 因式分解因式分解现在学习的是第10页，共29页现在学习的是第11页，共29页代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取例例求求 解解 二次二次质因式质因式现在学习的是第12页，共29页现在学习的是第13页，共29页注注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中其中A,B,a,p,q都为常数都为常数,并设并设 几种典型部分分式的积分几种典型部分分式的积分之和之和n为大于为大于1的正整数的正整数.现在学习
5、的是第14页，共29页类型类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.二、二、简单无理函数的积分简单无理函数的积分现在学习的是第15页，共29页回代回代例例 解解 令令原式原式=现在学习的是第16页，共29页解解 令令 分部积分分部积分 回代回代例例 现在学习的是第17页，共29页三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过由三角函数和常数经过 有限次四则运算有限次四则运算构成的函数构成的函数.一般记为一般记为如如三、三、三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分对于三角函数有理式的积分,曾用换元法曾用换元法
6、 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数数 回答是肯定的回答是肯定的.现在学习的是第18页，共29页 由三角学知识可通过变换可通过变换事实上事实上,由由半角变换半角变换(或称万能代换）或称万能代换）则则表示表示.化为有理函数的积分化为有理函数的积分.现在学习的是第19页，共29页u的有理函数的有理函数现在学习的是第20页，共29页例例 求求解解由由万能代换万能代换现在学习的是第21页，共29页回代回代现在学习的是第22页，共29页例例 求求解解 法一法一回代回代现在学习的是第23页，共29页 法二法二修改修改万能代换公式万能代换公式令令说明说明及及的
7、有理式的积分时的有理式的积分时,更方便更方便.用代换用代换通常求含通常求含现在学习的是第24页，共29页 例例 求求 解解原式原式=这是有理函数的积分这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦如按部分分式法很麻烦.使分母为单项使分母为单项,作变换作变换分析分析分母是分母是100 次多项式次多项式,如作一个适当的变换如作一个适当的变换,而分子为多项而分子为多项,除一下除一下,化为和差化为和差的积分的积分.现在学习的是第25页，共29页例例 求求 解解原式原式=分项分项 凑微分凑微分 约去公因子约去公因子 配方配方现在学习的是第26页，共29页例例 求求 解解 比较系数比较系数 二次二次质因式质因式现在学习的是第27页，共29页现在学习的是第28页，共29页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第29页，共29页