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1、关于几类特殊函数的不定积分关于几类特殊函数的不定积分第一页，讲稿共三十九页哦有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分一、有理函数的积分第二页，讲稿共三十九页哦假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用
2、多项式除法,假分式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.第三页，讲稿共三十九页哦（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA 第四页，讲稿共三十九页哦（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后
3、为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM,都都是是常常数数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 第五页，讲稿共三十九页哦真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1第六页，讲稿共三十九页哦2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来
4、确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2第七页，讲稿共三十九页哦例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得第八页，讲稿共三十九页哦例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(
5、112.)1ln(11lnCxxx 解解第九页，讲稿共三十九页哦例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 第十页，讲稿共三十九页哦例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136第十一页，讲稿共三十九页哦Ctttt arctan3)1ln(
6、23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(第十二页，讲稿共三十九页哦说明说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2第十三页，讲稿共三十九页哦,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn
7、)(22,222atqpxx ,bMtNMx 记记第十四页，讲稿共三十九页哦,1)2(n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 第十五页，讲稿共三十九页哦三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxx
8、R2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分第十六页，讲稿共三十九页哦2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）第十七页，讲稿共三十九页哦例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux
9、 ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222第十八页，讲稿共三十九页哦duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 第十九页，讲稿共三十九页哦例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412ta
10、n832tan832tan24133Cxxxx 第二十页，讲稿共三十九页哦解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 第二十一页，讲稿共三十九页哦解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd.cot31cot3Cxx 结论结论比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳便知万能置换不一定是最佳方法方法,
11、故三角有理式的计算中先考虑其它手段故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.第二十二页，讲稿共三十九页哦例例9 9 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141第二十三页，讲稿共三十九页哦 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(co
12、scos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x.tan41Cx 第二十四页，讲稿共三十九页哦讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分第二十五页，讲稿共三十九页哦,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 第二十六页，讲稿共三十九页哦例例1111 求积分求积分.11
13、13 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.第二十七页，讲稿共三十九页哦例例1212 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 第二十八页，讲稿共三十九页哦简单无理式的积
14、分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结第二十九页，讲稿共三十九页哦思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？第三十页，讲稿共三十九页哦思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.第三十一页，讲稿共三十九页哦一一、填填空空题题：1 1、dxxxCBxxAdxx111323，其其 A_ _ _
15、 _ _,B_ _ _ _ _ _ _ _ _ ,C_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、dxxCxBxAdxxxx111111222,其其中中 A_ _ _ _ _ _,B_ _ _ _ _ _,C_ _ _ _ _ _ _ _；3 3、计计算算 ,sin2xdx可可用用万万能能代代换换 xsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,dx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、计计算算 ,mbaxdx令令 t_ _ _ _,x_ _ _ _,dx_ _ _ _ _ .练习题练习题第三十二页，讲稿共三十九页哦5 5、有理函数的原函数都是、有理函数
16、的原函数都是_.二、求下列不定积分：二、求下列不定积分：1 1、321xxxxdx；2 2、xxxdx221；3 3、dxx411；4 4、xdx2sin3；5 5、5cossin2xxdx；6 6、dxxx1111 ；7 7、xdxxx11；8 8、342)1()1(xxdx.第三十三页，讲稿共三十九页哦三、求下列不定积分三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：（用以前学过的方法）：1 1、dxxx31；2 2、dxxxxsincos1；3 3、241xxdx；4 4、dxxx32cossin；5 5、dxxx283)1(；6 6、dxxx sin1sin；7 7、dxxxxx)(33；8
17、8、dxexexx2)1(；9 9、dxxx22)1ln(；10 10、xdxx arcsin12；11 11、dxxxxx cossincossin；1212、)(xbaxdx.第三十四页，讲稿共三十九页哦二、二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21；2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224；3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ；2 2、-1 1,21,21；3 3、2212,12uduuu ；4 4、bax ,abt 2,dtat 2；5 5、初初等等函函数数 .练习题答
18、案练习题答案第三十五页，讲稿共三十九页哦 4 4、Cx 3tan2arctan321；5 5、Cx 512tan3arctan51；6 6、Cxxx )11ln(414；7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2,或或 Cxxx arcsin11ln2；8 8、Cxx 31123.第三十六页，讲稿共三十九页哦三三、1 1、Cxx 11)1(212；2 2、Cxx )sinln(；3 3、Cxxxx 233213)1(；4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2；5 5、Cxxx 484arctan81)1(8；6 6、Cxx 2tan12,或或Cxxx tansec；第三十七页，讲稿共三十九页哦7 7、Cxx 66)1(ln；8 8、Ceexexxx )1ln(1；9 9、Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln2222；1010、xxxxarcsin124)(arcsin22 Cx 42；1111、Cxxxx sin21cos21ln221)cos(sin21；1212、Cxbax arctan2.第三十八页，讲稿共三十九页哦感谢大家观看感谢大家观看9/5/2022第三十九页，讲稿共三十九页哦