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1、关于特殊函数的不关于特殊函数的不定积分定积分第1页，讲稿共29张，创作于星期二第三节第三节 几种特殊函数的几种特殊函数的 不定积分不定积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分第2页，讲稿共29张，创作于星期二基本积分法基本积分法:换元积分法换元积分法;分部积分法分部积分法.初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分例如例如,下列函数积分都不是初等函数下列函数积分都不是初等函数直接积分法直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分有重要应用
2、的积分,都属于都属于“积不出积不出”的范围的范围.第3页，讲稿共29张，创作于星期二有理函数的定义有理函数的定义两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式真分式真分式;假分式假分式.第4页，讲稿共29张，创作于星期二例例多项式的积分容易计算多项式的积分容易计算.真分式的积分真分式的积分.只讨论只讨论:多项式多项式真分式真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 +真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和第5页，讲稿共29张，创作于星期二 对一般有理对一般有理真分式的积分真分式的积分,代
3、数学中下述定理起着代数学中下述定理起着关键性的作用关键性的作用.定理定理第6页，讲稿共29张，创作于星期二部分分式部分分式(最简分式最简分式).).第7页，讲稿共29张，创作于星期二 用此定理有理函数的积分就易计算了用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数有理函数的积分是初等函数.注注系数的确定系数的确定,一般有三种方法一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等等式两边同次幂系数相等;(2)赋值赋值;(3)求导与赋值结合使用求导与赋值结合使用.第8页，讲稿共29张，创作于星期二例例 求求解解由多项式除法由多项式除法,有有 说明说明:
4、当被积函数是当被积函数是假分式假分式时时,应把它分为一个应把它分为一个多项式和一个真分式多项式和一个真分式,分别积分分别积分.假分式假分式第9页，讲稿共29张，创作于星期二例例 求求解解 比较系数比较系数 因式分解因式分解第10页，讲稿共29张，创作于星期二第11页，讲稿共29张，创作于星期二代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取例例求求 解解 二次二次质因式质因式第12页，讲稿共29张，创作于星期二第13页，讲稿共29张，创作于星期二注注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中其中A,B,a,p,q都为常数都为常数,并设并设 几种典型部分分式
5、的积分几种典型部分分式的积分之和之和n为大于为大于1的正整数的正整数.第14页，讲稿共29张，创作于星期二类型类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.二、二、简单无理函数的积分简单无理函数的积分第15页，讲稿共29张，创作于星期二回代回代例例 解解 令令原式原式=第16页，讲稿共29张，创作于星期二解解 令令 分部积分分部积分 回代回代例例 第17页，讲稿共29张，创作于星期二三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过由三角函数和常数经过有限次四则运算有限次四则运算构成的函数构成的函数.一般记为一般记为如如三、三、三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分和分部积分法讨论
6、过一些和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分对于三角函数有理式的积分,曾用换元法曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数函数 回答是肯定的回答是肯定的.第18页，讲稿共29张，创作于星期二 由三角学知识可通过变换可通过变换事实上事实上,由由半角变换半角变换(或称万能代换）或称万能代换）则则表示表示.化为有理函数的积分化为有理函数的积分.第19页，讲稿共29张，创作于星期二u的有理函数的有理函数第20页，讲稿共29张，创作于星期二例例 求求解解由由万能代换万能代换第21页，讲稿共29张，创作于星期二回代回代第22页，讲稿共29张，创作
7、于星期二例例 求求解解 法一法一回代回代第23页，讲稿共29张，创作于星期二 法二法二修改修改万能代换公式万能代换公式令令说明说明及及的有理式的积分时的有理式的积分时,更方便更方便.用代换用代换通常求含通常求含第24页，讲稿共29张，创作于星期二 例例 求求 解解原式原式=这是有理函数的积分这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦如按部分分式法很麻烦.使分母为单项使分母为单项,作变换作变换分析分析分母是分母是100 次多项式次多项式,如作一个适当的变换如作一个适当的变换,而分子为多项而分子为多项,除一下除一下,化为和差化为和差的积分的积分.第25页，讲稿共29张，创作于星期二例例 求求 解解原式原式=分项分项 凑微分凑微分 约去公因子约去公因子 配方配方第26页，讲稿共29张，创作于星期二例例 求求 解解 比较系数比较系数 二次二次质因式质因式第27页，讲稿共29张，创作于星期二第28页，讲稿共29张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第29页，讲稿共29张，创作于星期二