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1、多维随机变量的数字特征1现在学习的是第1页，共81页第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数某些特征，因而不需要求出它的分布函数.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平人均赢利水平；例如例如：研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数平均粒数及每粒的及每粒的平均重量平均重量；检验棉花的质量时，既要注
2、意纤维的检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长平均长度度，又要注意，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;2现在学习的是第2页，共81页 考察一射手的水平，既要看他的考察一射手的水平，既要看他的平均环数平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数数据的波动据的波动是否小是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些
3、方面的重要特征地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性随机变量某一方面的概率特性 都可用都可用数字数字来描写来描写3现在学习的是第3页，共81页4现在学习的是第4页，共81页q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学数学 期望期望q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的 情况情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关 系的数系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容5现在学习的是第5页，共81页定义定义 设离散型随机变量设
4、离散型随机变量X 的分布列为的分布列为若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的的数学期望数学期望记为记为1.数学期望的定义数学期望的定义4.1 数学期望数学期望6现在学习的是第6页，共81页 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 若积分若积分绝对收敛，则称此积分的值为随机变量绝对收敛，则称此积分的值为随机变量 X 的的数学期望数学期望，记为，记为 数学期望简称数学期望简称期望期望，又称，又称均值均值 注意注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是它是一种一种加权平均加权平均7现在学习的是第
5、7页，共81页解解例例1 8现在学习的是第8页，共81页例例2 解解例例3 解解9现在学习的是第9页，共81页例例4 解解10现在学习的是第10页，共81页例例5解解11现在学习的是第11页，共81页例例6解解12现在学习的是第12页，共81页常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()13现在学习的是第13页，共81页分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)14现在学习的是第14页，共81页2.数学期望的性质数学期望的性质15现在学习的是第15页，共8
6、1页证明证明：仅就仅就证性质（证性质（4）16现在学习的是第16页，共81页解解引入随机变量引入随机变量 则有则有 例例717现在学习的是第17页，共81页故故（次）（次）18现在学习的是第18页，共81页例例819现在学习的是第19页，共81页解解20现在学习的是第20页，共81页21现在学习的是第21页，共81页3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望22现在学习的是第22页，共81页23现在学习的是第23页，共81页X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 1/8X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3例例9解解24
7、现在学习的是第24页，共81页解解例例1025现在学习的是第25页，共81页例例11解解26现在学习的是第26页，共81页解解 例例12 设二维连续随机变量设二维连续随机变量 的概率密度为的概率密度为27现在学习的是第27页，共81页数学期望的性质数学期望的性质注意注意:28现在学习的是第28页，共81页3.数学期望的简单应用数学期望的简单应用 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X 吨吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚每出售一吨可赚3万元万元,售不出去，则每吨需仓库保管费售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问万元，问 应该生产这中商品多少吨应该生产这中商品
8、多少吨,才能使平均利润才能使平均利润 最大？最大？例例1329现在学习的是第29页，共81页解解设每年生产设每年生产 y 吨的利润为吨的利润为 Y，2000 y 400030现在学习的是第30页，共81页故故 y=3500 时，时，EY 最大，最大，EY=8250万元万元31现在学习的是第31页，共81页 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验血,可采用两种可采用两种方法验血：方法验血：(1)分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；(1)将将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结个人的血混合在一起化验，若化验结 果为阴性果为阴性,则此则此 k 个人的血
9、只需化验一次；个人的血只需化验一次；若为阳性若为阳性,则对则对 k 个人的血逐个化验，找个人的血逐个化验，找 出有病者出有病者,这时这时 k 个人的血需化验个人的血需化验 k+1 次次.设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为 p，且每个，且每个人是否为阳性是相互独立的人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一试说明选择哪一种方法可以减少化验次数种方法可以减少化验次数.验血方案的选择验血方案的选择32现在学习的是第32页，共81页解解 为简单计，设为简单计，设 n 是是 k 的倍数，的倍数，设共分成设共分成 n/k 组组第第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X iXi P 1 k
10、+133现在学习的是第33页，共81页若若则则EX n例如，例如，34现在学习的是第34页，共81页4.2 35现在学习的是第35页，共81页36现在学习的是第36页，共81页37现在学习的是第37页，共81页例例1 解解例例2 38现在学习的是第38页，共81页解解39现在学习的是第39页，共81页4.3 方差方差引例引例 检验两批灯泡的质量检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样从中分别随机抽样5 5只只,测测得使用寿命得使用寿命(单位单位:小时小时)如下如下:A:2000 1500 1000 500 1000 A:2000 1500 1000 500 1000 B:1500 1500 100
11、0 1000 1000 B:1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏试比较这两批灯泡质量的好坏计算得计算得:平均寿命平均寿命分别为分别为:A:1200 B:1200:A:1200 B:1200 观察得观察得:A:A中中使用寿命偏离使用寿命偏离较大较大,B,B中使用寿命中使用寿命 偏偏离较小离较小,所以所以,B,B产品质量较好产品质量较好数学期望数学期望方差方差40现在学习的是第40页，共81页 1.方差的定义方差的定义(X-EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的的取值偏离平均值的 情况情况,是是X的函数的函数,也是随机变量也是随机变量 E(X-EX
12、)2 随机变量随机变量X的取值偏离平均值的的取值偏离平均值的平均偏离程度平均偏离程度 数数注注:方差反映了随机变量相对其均值的方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度偏离程度41现在学习的是第41页，共81页若若 X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为若若 X 为连续型随机变量，概率密度为为连续型随机变量，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：常用的计算方差的公式：42现在学习的是第42页，共81页 2.方差的性质方差的性质43现在学习的是第43页，共81页例例1 设设 X P(),求求 DX解解 3.方差的计算方差的计算44现在学习的是第44页，共81页例例2 设设 X
13、 B(n,p)，求，求 DX 解一解一 仿照上例求仿照上例求DX 解二解二 引入随机变量引入随机变量相互独立，相互独立，故故45现在学习的是第45页，共81页解解例例3 设设 X U(a,b)，求，求 DX 46现在学习的是第46页，共81页例例4 设设 X N(,2),求求 DX 解解47现在学习的是第47页，共81页常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()48现在学习的是第48页，共81页分布分布方差方差概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)49现
14、在学习的是第49页，共81页f(x)x0若若固定固定,改变改变,则则越大越大,曲线越平坦曲线越平坦,越小越小,曲线越陡峭曲线越陡峭小大方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同2 2的密度曲线反映出来的密度曲线反映出来:50现在学习的是第50页，共81页解解 例例551现在学习的是第51页，共81页证证例例652现在学习的是第52页，共81页例例7 已知已知X,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N(0,0.5),求求 E(|X Y|)解解故故53现在学习的是第53页，共81页例例8 设设X 表示独立射击直到击中目标表示独立射击直到击中目标 n
15、次为止次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为率为 p，求，求EX,DX 解解 令令 X i 表示击中目标表示击中目标 i-1 次后到第次后到第 i 次击中次击中 目标所需射击的次数，目标所需射击的次数，i=1,2,n 相互独立相互独立,且且54现在学习的是第54页，共81页55现在学习的是第55页，共81页故故56现在学习的是第56页，共81页例例9 求求 EY,DY 解解57现在学习的是第57页，共81页58现在学习的是第58页，共81页标准化随机变量标准化随机变量为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量.显然，显然，59现在学习的是第59页
16、，共81页仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：例如：P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025与与它们有相同它们有相同的期望的期望,方差方差但是分布但是分布却不同却不同60现在学习的是第60页，共81页但若已知分布的类型及期望和方差，常能但若已知分布的类型及期望和方差，常能确定分布确定分布例例10 已知已知 X 服从正态分布服从正态分布,EX =1.7,DX =3,Y=1 2 X,求求 Y 的密度函数的密度函数解解 61现在学习的是第61页，共81页例例11 已知已知 X 的密度函数为的密度函数为其中
17、其中 A,B 是常数，且是常数，且 EX=0.5(1)求求 A,B(2)设设 Y=X 2,求求 EY,DY 62现在学习的是第62页，共81页解解(1)63现在学习的是第63页，共81页(2)64现在学习的是第64页，共81页 4.4 协方差及相关系数协方差及相关系数问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系可能还有某种联系.问题是用一个什么样问题是用一个什么样的数去反映这种联系的数去反映这
18、种联系.数数反映了随机变量反映了随机变量X,Y 之间的某种关系之间的某种关系65现在学习的是第65页，共81页定义定义 称称为为X,Y 的的协方差协方差，记为，记为1.协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义为为X,Y 的的 相关系数相关系数若若称称 X,Y 不相关不相关称称66现在学习的是第66页，共81页因此因此,方差是协方差的特例方差是协方差的特例协方差刻画两个随机变量之间的协方差刻画两个随机变量之间的“某种某种”关系关系可以证明可以证明 若若(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,即即则则 67现在学习的是第67页，共81页若若(X,Y)为离散型，为离散型，若若(X,Y)为连续
19、型，为连续型，68现在学习的是第68页，共81页计算协方差计算协方差的常用公式的常用公式69现在学习的是第69页，共81页注注:70现在学习的是第70页，共81页注注:显然显然相关相关不相关不相关正相关正相关负相关负相关完全正相关完全正相关完全负相关完全负相关71现在学习的是第71页，共81页求求 Cov(X,Y),XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 已知已知 X,Y 的联合分布为的联合分布为XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1解解 1 0 p qX Y P 72现在学习的是第72页，共81页73现在学习的是第73页，共81页 例例2 设设(X,Y )N(1,12,2,22,),求求 XY 解解74现在学习的是第74页，共81页若若(X,Y)N(1,12,2,22,)则则X,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关75现在学习的是第75页，共81页例例3 设设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求求 XZ解解76现在学习的是第76页，共81页例例4解解77现在学习的是第77页，共81页78现在学习的是第78页，共81页79现在学习的是第79页，共81页例例5解解80现在学习的是第80页，共81页81现在学习的是第81页，共81页