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1、第三讲随机变量的函数与特征函数,3.1 随机变量的函数变换,这个函数关系的含义为：在随机试验E中，设样本空间为S=ei，对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系： 显然，Y的概率特性与X是有关系的。,3.1.1 一维变换,若随机变量X、Y满足下列函数关系 如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即 若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的概率密度求出Y的概率密度。,综合上述讨论，得到,如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值y可能对应X的两个或更多的值x1,x2, xn。,假定一个y值有两个x值与之对应，则有,一般地
2、，如果y=g(x)有n个反函数h1(y), h2(y), hn(y)，则,3.1.2 二维变换,设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度f(x1, x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且 求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2)。,如果随机变量Y是二维随机变量(X1,X2)的函数，即 可求Y的数学期望和方差。,3.2 随机变量的特征函数,3.2.1 特征函数的定义 随机变量X的特征函数就是由X组成的一个新的随机变量ejwX的数学期望，即,离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为,随机变量X的第二特征函数定义为特征函数的对数，即,对二维随机变量，可用类似的方法定义特征
3、函数,第二特征函数定义为,3.2.2 特征函数的性质性质1：,性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y的特征函数为,性质3：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若 则,3.2.3 特征函数与矩函数的关系矩函数与特征函数之间存在如下关系：,3.2.4 特征函数与概率密度的关系,3.3 常见分布,3.3.1 常见的离散型分布一. 两点分布 如果随机变量X的分布为 则称X服从两点分布，也称为贝努里分布。当a、b分别为0、1时，称这种分布为01分布。,二. 二项分布设随机试验E只有两种可能的结果且将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A发生m次的概率为称为二项分布。,三.泊松
4、分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,且分布密度为则称X服从泊松分布。,3.3.2 常见的连续分布一. 均匀分布设连续型随机变量X在有限区间a,b内取值，且其概率密度为则称X在区间a,b上服从均匀分布。,随机变量X的分布函数为,1)一维高斯分布 高斯变量X的概率密度为：,二. 高斯分布,概率分布函数,对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令 ，归一化后的概率密 度为,服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为,服从 的高斯变量Y，其特征函数为,（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且,特点：,（2）高斯变量之和仍为高斯变量。,例
5、：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量X1,X2之和的概率密度。,推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即 若Xi服从 ，则其和的数学期望和方差分别为,若有大量相互独立的随机变量的和 其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当 时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。,（3）中心极限定理,结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。,2）二维高斯分布 设X是均值为 ，方差为 的正态随机变量，Y是均值为 ，方差为 的正态随机变量，且X,Y的相关系数为 ，则二维随机变量(X,Y)为一个二维正态随机变量，其
6、联合概率密度函数为,设n维随机变量向量为Y，数学期望和方差向量为m和s，它们具有如下形式： Y= m= s=,协方差矩阵C C =,则n维联合概率密度函数为,三. 分布,1) 中心 分布 若n个互相独立的高斯变量X1, X2, Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和 的分布是具有n个自由度的 分布。,其概率密度为,当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1，而是 时，Y的概率密度为,性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n= n1+n2。,2) 非中心 分布 若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,n)的方差为 ，数学期望为 ，则
7、为n个自由度的非中心 分布。,其概率密度为 称为非中心分布参量,性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为 和 ，其和的自由度为n= n1+n2，非中心分布参量为,四. 瑞利分布和莱斯分布,1) 瑞利分布 对于两个自由度的 分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则为瑞利分布。,R的概率密度为,对n个自由度的 分布，若令 则R为广义瑞利分布,2) 莱斯分布 当高斯变量Xi(I=1,2,n)的数学期望为 不为零时， 是非中心 分布，而 则是莱斯分布。,对于任意n值有,3.4.1 随机序列收敛 设有随机变量X及随机变量序列Xn (n=1,2,)，均有二阶矩，且 则称随机变量序列Xn 依均方收敛于X，或者说，随机变量X是随机变量序列Xn 在n趋于无穷时的均方极限。（m.s.收敛）,3.4随机序列收敛,如果随机变量序列Xn满足 那么该序列k阶收敛于X。,以概率1收敛（a.e.收敛，准处处收敛，强收敛）,依概率收敛（p收敛，随机收敛）,分布收敛（d收敛，弱收敛）,四种收敛的关系,